有限元法、边界元法以及广义差分法是求解许多工程问题的常用的数值方法.边界元方法适于求解线性、均质问题无界区域问题,但是受问题及区域的复杂性的限制;有限元及有限体积法则适用于有界区域,可以求解非线性的、非均质的问题.自然边界元法是中国学者首次提出的一种边界元方法,该方法不但有一般边界元方法所共有的优点.而且还有许多独特的特点. 无界区域上偏微分方程边值问题的求解一直备受人们关注,人们尝试着用各种数值方法来克服由区域无限性所带来的困难.另一方面区域分解算法已成为近年来计算数学研究的热门领域. 本文基于自然边界归化方法,研究无界区域上对于各向异性常系数椭圆型偏微分方程问题的一种重叠型区域分解算法. 本文还将CC型对偶剖分的广义差分法与自然边界元方法相结合,解决—类半线性各向异性椭圆型外边值问题. 第一章介绍本文的研究内容,该课题的研究意义、研究现状、发展趋势以及有关有限元、自然边界元、广义差分法的基本理论. 第二章,提出对于各项异性常系数椭圆型偏微分方程问题的一种重叠型区域分解算法即Schwarz交替算法,证明了在连续情形下最大模意义下的几何迭代收敛性并通过Fourier分析以及共焦椭圆边界的性质获得了不依赖各项异性程度的最优的迭代收敛因子;利用极值原理证明了离散情形下得几何收敛性;得到了迭代收敛解的误差估计;进一步精细的分析了压缩因子并与数值例子一致.最后,数值结果证实了理论分析的正确性,也进一步证明了在无界区域上解各项异性椭圆型偏微分方程的优越性.第三章,将CC型对偶剖分的广义差分法与自然边界元方法相结合,解决一类半线性各向异性椭圆型方程外边值问题,利用广义差分法进行离散化,得到差分格式,形成非线性方程组,根据有限元与自然边界元误差估计理论和广义差分法黼值理论,获得一阶的误差估计.