【摘 要】
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Kv表示一个有v个顶点的完全图.两个完全图Kr和Kc的卡氏积图,记为Kr×Kc,满足任意两个不同的顶点(a1,b1)和(a2,b2)相邻当且仅当a1=a2或者b1=b2.一个完全图Kv的Kr×Kc-填充(或K
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Kv表示一个有v个顶点的完全图.两个完全图Kr和Kc的卡氏积图,记为Kr×Kc,满足任意两个不同的顶点(a1,b1)和(a2,b2)相邻当且仅当a1=a2或者b1=b2.一个完全图Kv的Kr×Kc-填充(或Kr×Kc-覆盖),也称为r×c格子区组填充(或覆盖),是一个二元组(X,A),其中X为Kv的顶点集,A是Kv的一簇与Kr×Kc同构的子图(称为格子区组),满足Kv中每一条边至多(或至少)出现在某个子图中一次.在一个r×c格子区组填充(或覆盖)中,若Kv中每一条边恰恰出现在某个子图中一次,则称该填充(或覆盖)为r×c格子区组设计.台湾组合学家F.Hwang等最早定义了格子区组设计,并阐述了其在基因分组测试中的应用.从那以后,格子区组设计的存在性问题吸引了诸多学者的研究兴趣.2×3格子区组设计存在的必要条件是v≡1(mod9),J.Carter在1989年证明了该必要条件也是充分的当v(?)1(mod9)时,我们需要考虑相应的填充和覆盖问题.最近,L.Wang等基本解决了2×3格子区组填充的存在性,遗留了两个可能的例外.本文主要研究2×3格子区组填充和覆盖的存在性.一方面,我们解决了2×3格子区组填充的两个可能例外,从而完全确立了2×3格子区组填充的存在性；另一方面,本文基本解决了2×3格子区组覆盖的存在性.另外,我们还基本解决了型为gu的K2×K3-GDD的存在性.
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