薄板结构在面内非线性载荷作用下的屈曲破坏,是航空、汽车、船舶工业中薄板结构经常出现的破坏形式。因而受到人们的广泛关注。至今已有众多学者引入了多种方法,试图去解决这一问题,取得了一定的研究成果。按薄板小挠度弯曲理论,要进行屈曲分析需首先确定面内应力分布。然而,针对在非线性载荷作用下的薄板面内应力分布,已有的文献却始终未能给出一个令人满意的解析解。尽管数值方法对求解各种形式复杂多样的作用载荷下的面内应力分布,是一个很好的补充,但是,行之有效的解析方法仍然是不可或缺的。有鉴于此,本文引入Hamilton求解体系,利用Hamilton求解体系有关平面矩形域的求解理论,求解了矩形薄板在两对边承受非线性载荷作用下的面内应力分布。在正确的面内应力分布基础上,采用伽辽金方法对四边简支、四边固支矩形薄板的屈曲问题展开了研究。工作的主要内容如下:1.运用Hamilton求解体系,根据平面矩形域本征向量展开解法,得到了各向同性材料矩形薄板在对称变形下,对应于零本征值和非零本征值的本征向量解——面内应力分布通解。2.基于Hamilton求解体系给出的面内应力分布通解,依据必须满足的应力边界条件,利用级数的方法,运用符号运算软件Maple,导出了矩形薄板在非线性分布载荷下的面内应力表达式,给出了不同长宽比情况下的面内应力分布图。通过与DQ法计算结果的比较,显示了本文求解的正确性与有效性。3.考虑到应力分布表达式的复杂性,采用伽辽金方法,将薄板挠度函数表达为满足薄板弯曲位移边界条件的三角级数形式。建立伽辽金方程,将求解薄板的屈曲临界载荷问题转化为特征值问题。给出了一组不同长宽比的矩形薄板在四边简支和四边固支时,抛物线、半余弦非线性分布载荷形式下的临界载荷。与已有文献研究结果的比较表明,本文的求解结果更为接近于精细有限元网格以及DQ法给出的数值计算结果。基于所给出的结果,可望为工程应用中矩形薄板在非线性分布载荷下的屈曲分析提供一种更为合理的方法。