小波分析是最近几十年发展起来的新兴学科，它是傅里叶分析的进一步发展，它已经在各种数值计算中发挥了重要的作用。超奇异积分的近似值和分数阶微分方程的数值解一直是近年来研究的重要课题。论文主要研究小波基函数在超奇异积分近似值以及分数阶微分方程数值解中的应用。目的是利用小波函数自身的性质降低超奇异积分的奇异性，减少超奇异积分的计算量，提高计算精度；将求分数阶微分方程数值解的问题转化为求代数方程的解，从而便于Matlab编程求解，同时对小波法求分数阶微分方程数值解的误差分析作进一步研究。首先，针对求区间上任意正整数阶超奇异积分的近似值。论文结合Legendre小波的定义及其性质，将区间内的超奇异积分转换为区间端点处的超奇异积分，使问题得以简化并且所得近似值比较精确。收敛性分析讨论了算法的收敛性。其次，论文充分利用Chebyshev小波的正交性、小波函数的可计算性以及广义函数论中重要公式，有效解决了圆周上超奇异积分以及带有Hilbert核的奇异积分近似值的问题。再次，论文采用Haar小波对一类变系数分数阶微分方程进行深入的研究，并给出了相应的误差分析，同时说明了算法的收敛性。算例验证了理论的正确性和方法的有效性。最后，结合分数阶积分的定义和算子矩阵的思想，论文给出了一种新的Haar小波分数阶积分算子矩阵，并得到了Haar小波分数阶微分算子矩阵。利用所得算子矩阵研究了一类分数阶偏微分方程的数值解法，误差分析给出了算法的误差估计式。