【摘 要】
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本文主要研究代数图论中相互关联的两个重要问题：其一是关于一些弧正则图类的刻画,其二是关于图的正则覆盖的研究.一个图称为弧正则图,如果其全自同构群在其弧集上是正则的.弧正则图是最重要的对称图之一.众所周知,确定图的全自同构群是代数图论中的根本问题之一,且常常是非常困难的.而弧正则图与其全自同构群密切相关,所以弧正则图的刻画受到了众多学者的关注,参见[22,23,24,25,27,29,35,47,6
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本文主要研究代数图论中相互关联的两个重要问题：其一是关于一些弧正则图类的刻画,其二是关于图的正则覆盖的研究.一个图称为弧正则图,如果其全自同构群在其弧集上是正则的.弧正则图是最重要的对称图之一.众所周知,确定图的全自同构群是代数图论中的根本问题之一,且常常是非常困难的.而弧正则图与其全自同构群密切相关,所以弧正则图的刻画受到了众多学者的关注,参见[22,23,24,25,27,29,35,47,67,69,70,87].如果一个正整数不能被任意素数的平方或立方整除,则分别称其为平方自由或立方自由的.文献[98]证明了不存在3度4倍奇平方自由阶弧正则图.本文第三章将其拓展到任意素数度的情形.我们证明了不存在任意奇素数度的4倍奇平方自由阶弧正则图,并完全分类了4倍奇平方自由阶素数度X-弧正则图,分类由两个无限族的图类构成.在第四章中,我们给出了8倍奇平方自由阶素数度弧正则图的刻画,发现了一些新的有趣的正则图类.研究传递图的一个典型方法是作正规商图,其思想是将研究的图归约到较小的图的研究.由此,传递图的研究一般可以分为以下两个步骤进行：（1）研究相关的基图（即没有非平凡的正规商图的图）；（2）研究所得基图的正则覆盖或多重覆盖.所以,研究图的正则覆盖成为了代数图论中十分重要的研究课题,并得到大量的研究结果,参见[2,11,12,30,43,48,60,61,63,66,68,92].但是,这些结果中的绝大部分都是关于一些小阶数的对称图的覆盖,关于图的无穷类的覆盖很少：文献[20,21]分类了完全图的2-弧传递正则覆盖（其覆盖变换群为循环群,初等交换群ZP2和Zp3）.由于完全图作为典型的对称图类,经常作为正规商图出现在很多图类的研究中,所以研究完全图的具有较弱对称性的正则覆盖就成为了一个有意义的研究问题.本文第五章刻画素数幂阶的完全图的边传递循环正则覆盖,发现了新的图类.此外,利用对称图覆盖的电压赋值理论,我们确定了8阶完全图的素数度弧传递正则覆盖.在第六章,我们完全分类了Petersen图的边传递亚循环正则覆盖.作为分类结果的应用,证明了不存在3度5m阶弧正则图,其中m为与15互素的立方自由的正整数.
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