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我们用变分方法研究了二阶Hamilton系统的周期解、同宿轨，以及RN上一类四阶椭圆方程解的存在性和多重性. 本文共分为4章，第1章为引言. 第2章，我们研究以下二阶Hamilton系统｛ü(t)+A(t)u(t)+▽H(t，u(t))=0 a.e.t∈[0,T]，u(0)-u(T)=(u)(0)-(u)(T)=0,其中T＞0，A(t)为N×N阶连续的对称矩阵.我们考虑了两种情形:H(t，x)在无穷远处超二次或者在原点次二次.利用Bartsch的喷泉定理和Kajikiya的对称山路引理，我们获得了无穷多个周期解的存在性结果，统一和推广了已有的结论. 第3章，我们考虑了二阶扰动的Hamilton系统 ü(t)-λL(t)u(t)+▽W(t，u(t))=f(t)，其中λ≥1为参数，L∈G（R，RN2）是正定的但不必一致正定的矩阵函数，并且当|x|→∞时，W(t，x)是渐近二次或者超二次的.利用Ekeland变分原理和山路引理，当f∈L2(R，RN{0}）充分小时，我们证明了两个非平凡的同宿轨的存在性结果. 第4章，我们研究了如下四阶椭圆方程｛△2u-△u+λV（x）u=f（x，u），u∈H2(RN)，其中△2:=△(△)表示双调和算子，λ≥1为参数，V∈C(RN，R)且f∈C（RN×R，R）.首先，我们考虑了λ=1和V(x)满足:inf∈RNV(x)≥a＞0，并且对任意的b＞0，meas{x∈RN:V(x)≤b}＜+∞（meas表示RN上的Lebesgue测度）的情形.使用对称山路引理，我们获得了无穷多个高能量的和低能量的解，统一和推广了Yin-Wu(J.Math.Anal.Appl.375(2011)699-705)的结论.然后，我们考虑了更一般的情形:V(x)≥0对所有的x∈RN成立，且存在b＞0使得meas{x∈RN:V(x)≤b}＜+∞，当λ＞1充分大时，我们建立了存在性和多重性结果.