关于勒让德多项式的研究可以追溯到上世纪.而到现在为止所知道的勒让德多项式系数的确定都是用调和分析的方法来证明的,还未见有微分几何的证明.1.本文给出了确定勒让德多项式所有系数统一的微分几何新证明,作为特例,也得到了切比雪夫多项式的完整公式.我们得出的结果与经典结果一致,但表达式与经典结果不一样,结果中自然的出现了球面拉普拉斯的特征根.2.确定了勒让德多项式用伯恩斯坦多项式来表示的系数,得到了勒让德多项式的另一表达式.3.得到了一些组合恒等式.研究方法如下:在N（d,n）=Cd+n-1d-1-Cd+n-3d-1维球谐函数空间Hnd中任取一组标准正交基Sjn（ξ）,其中Hnd中元素为Rd上n次齐次调和多项式在Sd-1上的限制.可以证明存在n次一元多项式Q（t）,使得∑j=1NSjn（ξ）Sjn（η）=Q（t）,t=ξ·η.令Pnd（t）=ωd-1/NQ（t）,Pnd（t）称为勒让德多项式.因为Sd-1是Rd的子流形,我们也用微分几何中活动标架法得到了Sd-1和Rd中函数拉普拉斯算子之间的经典关系,由此推出Hnd中元素都是球面拉普拉斯的特征函数.注意勒让德多项式中自变量t原本是球面上任意两点ξ,η内积.那么,勒让德多项式作为ξ和η的二元函数,它既是关于ξ的n阶球谐函数,又是η的球谐函数.所以把勒让德多项式改写成Pnd（ξ·η）时,它是关于ξ或η的球面拉普拉斯算子的特征函数,即（?）利用吴发恩2005年得到球面上坐标函数的拉普拉斯和梯度的结果,我们可以计算上式中Pnd（ξ·η）的拉普拉斯.通过比较系数得到系数之间的递推公式.再令勒让德多项式的表达式中欧氏空间维数d=2即可得切比雪夫多项式.王昆杨和李落清在其著作中提到勒让德多项式可以表示为伯恩斯坦多项式的多项式,但没有给出具体的表达式.注意这里的勒让德多项式可以表示为伯恩斯坦多项式的多项式是指,当n为偶数时,做一个变量替换后,该表达式可用一组伯恩斯坦多项式表示;当n为奇数时,可用自变量t与当n为偶数时的类似表达式的乘积表示.本文由勒让德多项式的高斯表示,再利用二项式定理和任意维单位球面的体积公式得到勒让德多项式用伯恩斯坦多项式来表示的系数.最后通过比较勒让德多项式两个表达式的系数,得到一些组合恒等式.