随着计算机的发展,有限元法已经成为科学与工程中主要的数值计算方法,并在各个领域中得到了广泛的应用。但有限元法也有解决不理想的问题,无网格法为有效的解决这些问题带来了希望。无网格法在效率等方面还存在诸多的问题有待于研究,本文主要对基函数的性质进行研究。本文介绍了无网格法所涉及的基本原理,并对基函数、权函数、形函数的性质、离散方案、本质边界条件的施加、不连续性处理、积分求解方案等问题做了简述。在内积空间的定义下,基于无网格伽辽金法,对基函数的性质进行研究,推导了无网格形函数及其导函数的表达式,内积的书写形式便于研究基函数的性质与推导形函数及其导数。基于效率的考虑,使用正交基函数作为无网格法的基函数,对形函数及其导数的表达式进行了推导,并对正交基函数进行改进。对多项式基、正交基、改进正交基构成的形函数及导函数进行对比,从数学的角度来说,三者的精度是一样的,但正交基不需要对矩阵求逆,可提高计算效率,克服了求解病态方程组带来的困难;改进正交基具有正交基的特性,在求高阶导数时较正交基更具有优势。提出了局部正交无网格法,用局部正交无网格法进行振动分析与裂纹应力强度因子的计算。工程结构和机械设备在长时间疲劳、腐蚀、磨损的作用下,往往出现多处裂纹,容易造成灾难性事故,对结构进行断裂可靠性分析具有重要现实意义。文中将材料参数、裂纹尺寸、载荷等影响结构可靠性的因素视为随机变量,采用径向基函数神经网络模拟结构的极限状态函数及其导函数,基于无网格法对含多裂纹结构进行断裂可靠性分析。