近代实分析的重要研究对象之一是函数空间,尤其是以实变函数论与泛函分析课程内容为先导、着重研究由实变量函数所构成的各种各样的函数空间以及这些空间的等价刻画和奇异积分算子在这些函数空间上的有界性。主要的函数空间有:Lebesgue空间、连续函数空间、Hardy空间以及有界平均振动函数空间BMO等。函数空间理论构成了调和分析的重要部分,它们为近代分析的研究提供了很合适的框架。近年来,与Hermite算子相关的函数空间的研究引起了广泛的关注。黄际政老师曾经用Lusin面积积分算子刻画了Hardy空间。后来,黄际政老师和王亚琼师姐利用与Hermite算子相关的Carleson测度刻画了有界平均振动函数空间BMO。本文的目的是在他们的研究基础上进一步研究和拓展这一课题。研究函数空间的主要工作之一就是给出它们的等价刻画。例如,利用热极大函数和平方函数等刻画经典的Hardy空间,利用Carleson测度刻画经典的BMO空间或Morrey-Campanato空间等。在本文中,我们首先定义了与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度,然后我们利用分数阶Carleson测度给出了与Hermite算子相关的BMO空间和Hardy空间的前对偶空间的等价刻画。本文首先介绍了分数阶半群,并利用从属性公式来得到了相应积分核的估计;其次对Poisson半群的积分核做了精确的估计;然后我们给出了与Hermite算子相关的Hardy空间的对偶空间Campanato空间的Carleson测度刻画;最后,给出了与Hermite算子相关的Hardy空间的前对偶空间的等价刻画。