【摘 要】
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非线性延迟微分方程对于描述各种科学现象有着重要的作用,故其解及其解的特性是当今研究的热点之一,如解的存在性、全局稳定性与吸引性、振动性、Hopf分岔、混沌等特征.很多学者致力于该类方程自身与数值解的振动性研究,并探讨数值方法是否保持原方程的振动行为.本文主要讨论两类具有重要意义的非线性延迟微分方程的振动性,一类是广泛应用于生物学领域,常用来描述种群动态和肿瘤内部生长的非线性延迟Gompertz微分
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非线性延迟微分方程对于描述各种科学现象有着重要的作用,故其解及其解的特性是当今研究的热点之一,如解的存在性、全局稳定性与吸引性、振动性、Hopf分岔、混沌等特征.很多学者致力于该类方程自身与数值解的振动性研究,并探讨数值方法是否保持原方程的振动行为.本文主要讨论两类具有重要意义的非线性延迟微分方程的振动性,一类是广泛应用于生物学领域,常用来描述种群动态和肿瘤内部生长的非线性延迟Gompertz微分方程,另一类是用于描述单物种种群增长的广义非线性延迟Lotka-Volterra微分方程.第一章主要介绍自2000年以来关于非线性泛函微分方程的解的振动性的一些研究情况,以及其他学者对于本文涉及的两类方程做出的相关方面的研究.第二章研究了带单延迟项的非线性Gompertz微分方程的解析解和数值解的振动行为及渐近行为,利用不变振动变换将Gompertz方程线性化,再应用线性θ-方法于相应的线性方程得到差分格式,运用振动性理论推导得到原方程的解关于平衡点振动的充分条件,并且分析了方程的非振动行为发现非振动解终将趋于平衡点,最后用数值实验进行验证.第三章研究了两个非线性延迟Gompertz微分方程,利用泰勒公式分别线性化这两个方程,而后借助线性θ-方法和振动性理论进一步论证,得到方程解析解和数值解关于平衡点振动的充分条件,并对结果进行了数值实验的验证.第四章研究了一类广义非线性延迟Lotka-Volterra微分方程的振动性,对于线性化方程,分别应用显隐式欧拉法和线性θ-方法进行离散,一方面,利用振动性理论对离散后的差分格式进行分析,分别得到与三种不同数值方法相对应的数值解关于平衡点振动的充分条件;另一方面,也证得方程的非振动解是渐近稳定的,最后做了相应的数值实验验证本章所得结果.
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