近年来,超常材料的发展及其应用引起了人们的广泛关注,其中梯度折射率的非匀质材料得到了深入的研究。通过调节梯度材料的参数,一些奇特的光学现象,比如光的弯曲、汇聚和准直,以及光学梯度透镜,都可以被实现。作为另一种经典波,声波与电磁波在介质中的传播方程在数学上具有惊人的相似性。因此,光学中的各种概念和理论可以有效地类比到声学中。受到光学梯度透镜的原理和应用前景的启发和激励,研究人员提出了声学梯度透镜的概念。到目前为止,实现声学梯度透镜的一个方法是利用声子晶体。通过合理调控声子晶体在声传播路径方向上的结构参数,可以简单地调控材料的声学折射率分布。由于这种方法没有利用共振单元,能够避免声能量的损耗。因此,我们有理由预期由声学梯度折射率材料组成的系统具有通过各种不同的方式操作声波的可能,这将会在声学器件和其他声学领域产生深刻的影响。虽然声学梯度折射率材料已被广泛的研究,但是研究人员主要考虑此类材料用于设计声透镜的能力,并且他们的研究仅限于一种特殊的情况,即梯度折射率材料的折射率沿径向方向按照平方反比律分布,而声学梯度折射率材料在声波操控方面的潜力尚未得到足够关注。此外,声波在声学梯度折射率材料中传播的详细理论亦没有得到充分的研究。本文提出了一种由径向对称的声学梯度折射率材料组成的系统,其折射率的梯度分布系数可以是任意的,并对此进行了系统而深入的研究。本文分为以下几个部分。第一章,绪论,回顾了声子晶体、声超常材料和声梯度折射率材料的理论和实验的研究背景,介绍了这几类材料中声传播的研究内容和最新进展。第二章,介绍了几种计算声波在材料中传播的方法。从固体理论出发,介绍了晶体结构的一些基础知识。然后在此基础上给出声波在人工结构中传播的方程。最后介绍了几种声波在材料中传播的计算方法,包括平面波展开法和有限元方法,为之后的数值模拟做理论准备。第三章,首先简要介绍声梯度折射率材料的发展过程,特别是声梯度折射率材料的相关概念和机理。然后提出了由任意梯度分布的声梯度折射率材料构成的声学梯度透镜。我们从爱因斯坦场方程出发,推导了声波在声梯度折射率材料中的传播轨迹,介绍了声梯度折射率材料操控声波的原理,然后用有限元方法数值计算了声波在几种不同折射率梯度分布的材料中传播的声场,并验证了之前的结论。之后我们进一步严格推导了声波在声梯度折射率材料中传播的波动方程,并通过理论分析严格计算了声波在几种不同折射率梯度分布的材料中传播的声场。结果表明,严格的理论计算与有限元数值计算的结果吻合得非常好。第四章,我们在通过求解声波在声梯度折射率材料中传播的轨迹方程的过程中,得到一种特殊的解,描述了声波围绕声梯度折射率材料的中心对称点做圆周运动的奇特现象。我们用有限元法和多重散射法对此进行了数值验证。最后在第五章中,给出了本文的主要结论以及对今后工作的展望。本文的主要创新点在于：1.提出了一种自由设计声梯度透镜的思路。与传统的声梯度透镜相比,这种结构在调控参数上更加灵活,也能实现更多的操作声波的功能。2.将声波在声梯度折射率材料中的传播与光波在重力场中的传播联系起来,将声梯度折射率材料类比成“声势场”。从爱因斯坦场方程出发,严格推导了声波在声梯度折射率材料中的传播轨迹,并在此基础上发现了一个有趣的特解。这个特解描述了声波在沿某种特殊参数的声梯度折射率材料的边界传播时,将围绕声梯度折射率材料的中心对称点做圆周运动。对此我们进行了理论与数值计算验证。3.严格推导了声波在声梯度折射率材料中的传播方程,并通过有限元方法和理论分析法计算出了声波在声梯度折射率材料中的传播声场。两种不同的方法所计算得出的结果表现出高度的一致性。