在群与图的研究中，图的同构问题一直是一个热门问题.在本毕业论文中，我们主要研究双Cayley图的同构问题和BCI-群的Sylow子群的结构.　　二部图是一类很重要的图，而双Cayley图Γ是具有下列性质的特殊二部图:即图Γ的全自同构群Aut(Γ)包含一个在Γ的二部划分上作用分别正则的子群.事实上，这类图也可以通过群直接构造:设G是一个有限群，而S是群G的一个子集（允许含有群G的单位元），则群G关于子集S的双Cayley图是以G×{0，1}为点集和以{(g，0)，(sg，1)}(g∈G，s∈S）为边集的二部图，记作BCay(G,S).　　对任一有限群G和G的一个不含单位元的子集S，我们可以如下定义著名的图类Cayley图Γ=Cay(G，S):点集V(Γ)=G，弧集Arc(Γ)={（g，sg）|g∈G，s∈S).对同一个群G和同一个子集S，所作的Cayley图Cay(G，S)和双Cayley图BCay(G，S)有很紧密的联系，例如BCay(G，S)是Cay(G，S)的标准双覆盖.同时Cayley图Cay(G，S)和双Cayley图BCay(G，S)也有很大的不同，例如BCay(G，S)总是无向二部图，而Cay(G，S)是无向图当且仅当S=S-1;Cay(G，S)总是点传递图，而BCay(G，S)可能不点传递，例如[1]构造了边传递但不点传递的3度双Cayley图的无限族的例子.　　大家知道，对Cayley图的同构问题研究起步较早，称为Cayley图的CI性，并取得非常丰富的结果.而对双Cayley图同构问题的研究到目前为止结果还很少，因此对双Cayley图的同构问题的研究仍然具有重要意义.类似于Cayley图的CI性，我们可以定义双Cayley图的BCI性，参看定义2.6.　　在文献[2]中已经证明了任何有限群G都是1-BCI-群;G是2-BCI-群当且仅当对G中任意一对同阶元s与t，Aut(G)在s与t或t-1之间传递，参看引理2.21.所以本论文主要研究对m≥3的群的m-BCI性.我们知道有限群的Sylow子群的结构的了解对群本身的理解具有重要帮助，所以我们首先决定了3-BCI-群的Sylow子群结构的所有可能性.我们证明对一个3-BCI-群G:它的Sylow2-子群要么初等交换，要么循环，要么同构于Q8;Sylow p-子群是齐次循环群，其中p是|G|的一个奇素因子.　　其次，作为上述结论的应用，本文决定了所有的有限非交换单3-BCI-群.我们证明一个有限非交换单群G是3-BCI-群当且仅当G是交错群A5.　　再次，我们研究有限循环群的m-BCI性，并重点研究了2p阶循环群和循环p-群，其中p是素数.我们证明2p阶循环群是3-BCI-群;循环p-群是(p-1)-BCI-群.　　最后，我们决定了所有阶小于9的群的BCI性.除了二面体群D8，循环群Z8和交换群Z4×Z2外，所有的阶小于9的群都是BCI-群.