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Bayes学派的观点是将未知参数θ看成一个随机变量,根据参数的先验信息确定其先验分布π(θ),因此选择合适的先验分布是Bayes学派要首先解决的问题。经验Bayes最早是由Robbins(1951,1955)提出的,通俗地讲,经验Bayes是利用已有数据来估计未知参数的先验的某些性质的方法。主要包括参数经验Bayes和非参数经验Bayes,前者是假设参数的先验分布属于某一有超参数的分布类,后者典型地只假设是独立同分布的。近年来,关于经验Bayes的讨论和研究越来越多,既有在方法论上的研究也有应用领域的讨论。
在讨论参数的Bayes估计及经验Bayes估计的问题上,国内外很多学者做了很多开创性的工作,他们选取一些有代表性的密度函数族,对这些函数所含的参数做出估计,然后选用适当的损失函数来讨论估计的渐近最优性和其收敛速度。比如对于刻度指数族的研究,前人做过很多工作,伽玛函数Γ(α,β)是特殊的刻度指数函数,本文所研究的伽玛函数Γ(θ,1/2)更是伽玛分布中的一个特例,对它的研究是很有意义的。
本文主要工作有以下两个方面:一是利用密度函数核估计方法构造了在平方损失函数下Γ(θ,1/2)的参数的经验Bayes估计,证明了该估计的渐近最优性并得到了其收敛速度;二是引入LINEX损失函数,并在均方损失和损失函数下得到正的指数族的参数的相应的Bayes估计、经验Bayes估计、极大似然估计,然后对它们做比较。