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近三十年来，人们在研究微分方程非零解的存在性时，常转化为研究相应泛函的非平凡临界点的存在性，并取得了很好的结果（文献[1]-[10]和文献[20]-[30]）.
2009年Li和Costa[10]将一类方程的非零解的存在性问题转化为研究下列形式泛函非平凡临界点的存在性问题Ψ(u)=1/2‖u‖2-∫RkV(x，u(x))dx并在一定条件下证明出泛函Ψ存在非平凡临界点。
本文是在文献[10]的基础上，研究带有小扰动项g(x)的泛函(o)（u）=1/2‖u‖2-∫RkV(x,u(x))dx-∫Rkg(x)u(x)dx的非平凡临界点的存在性问题。(公式略)
其中位势函数(o)满足条件（V0)-（V4)，条件（V3）称作Costa型非二次条件，即(V3)对于任意的x∈Rk，u∈Rn{0}，有u·Vu(x，u)＞2V(x，u)，存在确定的M2，v，δ＞0，使得u·Vu(x，u)-2V(x,u)≥M2|u|v＞0(V)x∈Rk，|u|≥δ(公式略)。
本文共分三章：
第一章是引论，介绍了背景知识（即本文所用到的变分法的理论依据）、研究对象、研究概况及课题来源和本文的三个创新点;
第二章介绍了与本文相关的临界点理论中的基础知识，并对其中关键性的定理给出证明;
第三章介绍了本文的主要结果，并利用Brezis-Niernberg型山路定理Lions引理等变分法对其进行证明.这部分主要分四步来完成：
1.根据泛函(o)的周期不变性和Lions引理证明出当扰动项g（x）∈Lq0(Rk)且存在有界（PS）d序列的泛函(o)(u)在条件(N1)-(N2)下存在非平凡临界点（定理3.1）;
2.根据条件（V0），（V1），(V4)证明出泛函(o)满足山路定理的几何条件，从而由Brezis-Niernberg型山路定理知泛函(o)存在（PS)d序列（引理1(-)引理4）;
3.根据条件(V0)，(V1)，(V3)以及插值不等式、嵌入不等式、Yang不等式等证明出此(PS)d序列是有界的(引理5);
4.证明出泛函(o)满足定理3.1中的条件，从而证明出本文结论(定理3.2).