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该文研究偏微分方程中三个重要的不等式:Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式，Nash不等式和Isoperimetric不等式.对于这三个不等式的证明，该文主要运用偏微分方程的思想.具体来说，该文用拉普拉斯方程的基本解引入位势证明Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式;运用热方程的Poisson公式证明Nash不等式;运用一个关于拉普拉斯算子的Poisson方程的解逼近Isoperimetric不等式.另一方面，这三个不等式有某种意义下的等价性.首先，该文证明L1形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等价于Isoperimetric不等式;其次，该文证明了L2形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等价于Nash不等式.最后，该文找到了一种推广了的Nash不等式即Lp(1＜p＜n)形式的Nash不等式，并证明它等价于1＜p＜n的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式.