分数阶微积分已有很长的历史。 早在1695年,在Leibniz和L’Hospital的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念。 在近三个世纪内,人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域。 然而在最近几十年内,许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,这些性质在经典模型中是常常被忽视的。如今,分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题。 　　本文的工作如下： 　　第一部分是绪论,主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状,以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作。 　　第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville边值问题正解的存在性。 我们的主要方法是对非线性部分f (y)进行重新定义,使其转化成非奇异的 positone 边值问题, 然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性semipositone Sturm-Liouville边值问题的正解的存在性。 　　第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程 Dirichlet 边值问题正解的存在性。 我们的主要思想是重新研究非线性部分f(t,χ(t),Dβ0+χ(t),使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题,然后再对每一个重新定义的非线性部分为fn(t,χ(t),Dβ0+χ(t)的边值问题,证明其存在正解xn ,最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程 Dirichlet 边值问题的正解的存在性。