【摘 要】
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本文主要研究分数阶非线性非局部方程——分数阶快速扩散方程、分数阶调和映射及其热流和分数阶Landau–Lifshitz–Gilbert方程,我们提出逼近其弱解的有限元格式,并证明这些格式相应的收敛性.对于欧式空间中多面体有界区域上的分数阶快速扩散方程,本文提出空间变量上的连续分段线性有限元Galerkin逼近和时间变量上的后向Euler离散格式,给出近似解的先验估计和收敛性分析,并进一步将结果推广
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本文主要研究分数阶非线性非局部方程——分数阶快速扩散方程、分数阶调和映射及其热流和分数阶Landau–Lifshitz–Gilbert方程,我们提出逼近其弱解的有限元格式,并证明这些格式相应的收敛性.对于欧式空间中多面体有界区域上的分数阶快速扩散方程,本文提出空间变量上的连续分段线性有限元Galerkin逼近和时间变量上的后向Euler离散格式,给出近似解的先验估计和收敛性分析,并进一步将结果推广到具有更一般积分核的抛物型积分方程.对于分数阶调和映射,首先基于能量泛函的极小值问题我们给出分数阶调和映射方程的一类迭代算法,并证明该算法的收敛性.然后我们讨论分数阶调和映射热流弱解的存在性,基于分数阶调和映射热流的向量表达形式给出一类逼近弱解的完全离散有限元格式.该格式的解满足离散能量守恒定律并且在三角剖分的节点处完全满足球面约束条件.进一步我们证明该格式的解弱收敛于分数阶调和映射热流的精确解.我们的结果也提供了一种构造分数阶调和映射方程弱解的方式.对于分数阶Landau–Lifshitz–Gilbert方程,我们给出一类完全离散有限元隐格式算法,利用Brouwer不动点定理证明该算法的解存在.进一步我们也证明该算法的解无条件弱收敛到原方程的精确解.
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