【摘 要】
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分数阶微积分是整数阶到任意阶的推广.随着自然科学的发展,复杂工程的大量需求,分数阶微积分理论和它的应用受到极大的关注.近年来,分数阶微分方程的应用性在很多的科学领域里面都有重要体现,比如分数阶微分方程常被用于经济要素变化趋势,大脑组织扩散模型,图像处理,自然环境理论等领域.关于分数阶微分方程可解性的探索是人们努力的方向,并且在实际问题的需要下,给方程添加必要的边值条件,使得其应用性更为广泛.近几十
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分数阶微积分是整数阶到任意阶的推广.随着自然科学的发展,复杂工程的大量需求,分数阶微积分理论和它的应用受到极大的关注.近年来,分数阶微分方程的应用性在很多的科学领域里面都有重要体现,比如分数阶微分方程常被用于经济要素变化趋势,大脑组织扩散模型,图像处理,自然环境理论等领域.关于分数阶微分方程可解性的探索是人们努力的方向,并且在实际问题的需要下,给方程添加必要的边值条件,使得其应用性更为广泛.近几十年来,涉及经典分数阶以及推广的分数阶的非局部的,带积分的,耦合的,多点的,混合的边值问题的研究颇为丰富.事实上,关于上述分数阶微分方程正解存在唯一性的研究吸引了很多学者,也有一定的研究成果,但可以探索的问题还有很多.本文研究了几类分数阶微分方程边值问题存在多个正解的情况,其中边界条件包含积分边界条件及多点边界条件.采用的泛函分析方法主要有Banach压缩映像原理,Schauder不动点定理,Guo-Krasnoselskii不动点定理,Leggett-Williams不动点定理以及Avery-Peterson不动点理论.本文主要包括以下四章:第一章,介绍了分数阶微分方程边值问题的研究背景,然后给出主要研究工作以及一些必要的相关定义和引理.第二章,讨论了一类具ψ-Caputo导数的分数阶微分方程边值问题解的存在性问题.通过Banach压缩映像原理和Schauder不动点定理得到了该分数阶微分方程解的唯一性和存在性结果.第三章,研究了一类带有积分和多点边值条件的分数阶微分方程的正解问题.借助Green函数及其性质,先利用Guo-Krasnoselskii不动点定理得到该类边值问题的正解存在性,再利用Leggett-Williams不动点定理,得到了确保该问题至少存在三个正解的充分性条件.第四章,考虑了一类混合边值条件下非线性分数阶微分方程.利用Avery-Peterson不动点理论得到该分数阶微分方程至少存在三个正解的充分性条件,最后通过例子说明所得结果的应用性.
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