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椭圆与双曲线的定义相仿，其标准方程相近，解题方法相通，因而注定它们有许多相似的性质.
“似”点1设[AB]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的任意一条弦，[Q]为[AB]的中点，则[kAB⋅kOQ=-b2a2].
证明 设[A(x1,y1),B(x2,y2)]，
则[Q(x1+x22,y1+y22)]，
[x21a2+y21b2=1]①，
[x22a2+y22b2=1]②，
[①-②]得[x21-x22a2+y21-y22b2=0],
当[x21≠x22]时，则[y1-y2x1-x2⋅y1+y2x1+x2=-b2a2] ，
即[kAB⋅kOQ=-b2a2].
同理可得：设[AB]是双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的任意一条弦，[Q]为[AB]的中点，则[kAB⋅kOQ=b2a2].
“似”点2设[P(x0,y0)]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]内一点，则以[P]为中点的弦所在直线的方程是[x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2].
证明易知直线[OP]的斜率[kOP=y0x0]，设此弦所在直线为[l]，由“似”点1可知，[kl⋅kOP=-b2a2] ，从而[kl=-b2x0a2y0]，则直线为[l]的方程为[y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)]，即[x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2].
同理可得：设[P(x0,y0)]是平面内一点，则以[P]为中点的双曲线[x2a2-y2b2=1][(a>b>0)]的弦所在直线的方程是[x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2].
“似”点3设[AB]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的任意一条过中心的弦，[M]为椭圆[C]上任意一点，则[kMA⋅kMB=-b2a2].
证明设[A(x0,y0),M(x,y)]，则[B(-x0,-y0)]，[x2a2+y2b2=1]，[x02a2+y02b2=1]，
则[y2=-b2a2(x2-a2)]，[y02=-b2a2(x02-a2)]，
从而[kMA⋅kMB=y-y0x-x0⋅y+y0x+x0=y2-y20x2-x20=-b2a2].
同理可得：设[AB]是双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的任意一条过中心的弦，[M]为双曲线上任一点，则[kMA⋅kMB=b2a2].
“似”点4设椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2]，点[P]为椭圆上任意一点[∠F1PF2=α]，则椭圆的焦点三角形的面积为[SΔF1PF2=b2tanα2].
证明由椭圆定义知[|PF1|+|PF2|=2a，①]
在[ΔPF1F2]中，由余弦定理知
[|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|⋅|PF2|cosα=4(a2-b2)，②]
由[①2-②]得[|PF1|⋅|PF2|=2b21+cosα,]
则[SΔF1PF2=12|PF1|⋅|PF2|sinα]
[=b2sinα1+cosα=b2tanα2].
同理可得：设双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2]，点[P]为双曲线上任意一点[∠F1PF2=α]，则双曲线的焦点角形的面积为[SΔF1PF2=b2tanα2].
“似”点5过椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]上任一点[P(x0,y0)]任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于[B、C]两点，则直线[BC]有定向且[kBC=b2x0a2y0].
证明设[B(x1,y1),C(x2,y2)]，
直线[PB:y-y0=k(x-x0)]，
则直线[PC:y-y0=-k(x-x0).]
由[y-y0=k(x-x0),x2a2+y2b2=1,]得
[(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.]
由[x0⋅x1=a2(y0-kx0)2-a2b2a2k2+b2]，
则[x1=a2(y0-kx0)2-a2b2(a2k2+b2)x0.]
同理可得[x2=a2(y0+kx0)2-a2b2(a2k2+b2)x0.]
则[kBC=y2-y1x2-x1=][-k(x1+x2-2x0)x2-x1][=b2x0a2y0].
同理可得：过双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]上任一点[P(x0,y0)]，任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于[B、C]两点，则直线[BC]有定向且.
不比不知道，一比吓一跳！椭圆与双曲线的相似性还有很多，如焦半径公式、过曲线上任意点的切线方程等,椭圆与双曲线可谓是一对“孪生姐弟”！因而，在学习椭圆和双曲线时，我们有必要对其常见的相似点进行一些探索和研究.
“似”点1设[AB]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的任意一条弦，[Q]为[AB]的中点，则[kAB⋅kOQ=-b2a2].
证明 设[A(x1,y1),B(x2,y2)]，
则[Q(x1+x22,y1+y22)]，
[x21a2+y21b2=1]①，
[x22a2+y22b2=1]②，
[①-②]得[x21-x22a2+y21-y22b2=0],
当[x21≠x22]时，则[y1-y2x1-x2⋅y1+y2x1+x2=-b2a2] ，
即[kAB⋅kOQ=-b2a2].
同理可得：设[AB]是双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的任意一条弦，[Q]为[AB]的中点，则[kAB⋅kOQ=b2a2].
“似”点2设[P(x0,y0)]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]内一点，则以[P]为中点的弦所在直线的方程是[x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2].
证明易知直线[OP]的斜率[kOP=y0x0]，设此弦所在直线为[l]，由“似”点1可知，[kl⋅kOP=-b2a2] ，从而[kl=-b2x0a2y0]，则直线为[l]的方程为[y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)]，即[x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2].
同理可得：设[P(x0,y0)]是平面内一点，则以[P]为中点的双曲线[x2a2-y2b2=1][(a>b>0)]的弦所在直线的方程是[x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2].
“似”点3设[AB]是椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的任意一条过中心的弦，[M]为椭圆[C]上任意一点，则[kMA⋅kMB=-b2a2].
证明设[A(x0,y0),M(x,y)]，则[B(-x0,-y0)]，[x2a2+y2b2=1]，[x02a2+y02b2=1]，
则[y2=-b2a2(x2-a2)]，[y02=-b2a2(x02-a2)]，
从而[kMA⋅kMB=y-y0x-x0⋅y+y0x+x0=y2-y20x2-x20=-b2a2].
同理可得：设[AB]是双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的任意一条过中心的弦，[M]为双曲线上任一点，则[kMA⋅kMB=b2a2].
“似”点4设椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2]，点[P]为椭圆上任意一点[∠F1PF2=α]，则椭圆的焦点三角形的面积为[SΔF1PF2=b2tanα2].
证明由椭圆定义知[|PF1|+|PF2|=2a，①]
在[ΔPF1F2]中，由余弦定理知
[|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|⋅|PF2|cosα=4(a2-b2)，②]
由[①2-②]得[|PF1|⋅|PF2|=2b21+cosα,]
则[SΔF1PF2=12|PF1|⋅|PF2|sinα]
[=b2sinα1+cosα=b2tanα2].
同理可得：设双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2]，点[P]为双曲线上任意一点[∠F1PF2=α]，则双曲线的焦点角形的面积为[SΔF1PF2=b2tanα2].
“似”点5过椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]上任一点[P(x0,y0)]任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于[B、C]两点，则直线[BC]有定向且[kBC=b2x0a2y0].
证明设[B(x1,y1),C(x2,y2)]，
直线[PB:y-y0=k(x-x0)]，
则直线[PC:y-y0=-k(x-x0).]
由[y-y0=k(x-x0),x2a2+y2b2=1,]得
[(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.]
由[x0⋅x1=a2(y0-kx0)2-a2b2a2k2+b2]，
则[x1=a2(y0-kx0)2-a2b2(a2k2+b2)x0.]
同理可得[x2=a2(y0+kx0)2-a2b2(a2k2+b2)x0.]
则[kBC=y2-y1x2-x1=][-k(x1+x2-2x0)x2-x1][=b2x0a2y0].
同理可得：过双曲线[x2a2-y2b2=1][(a,b>0)]上任一点[P(x0,y0)]，任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于[B、C]两点，则直线[BC]有定向且.
不比不知道，一比吓一跳！椭圆与双曲线的相似性还有很多，如焦半径公式、过曲线上任意点的切线方程等,椭圆与双曲线可谓是一对“孪生姐弟”！因而，在学习椭圆和双曲线时，我们有必要对其常见的相似点进行一些探索和研究.