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案例一： 作业问题摘录
苏教版义务教育课程标准实验教科书配套习题册，六年级下册数学《补充习题》第73页第4题：两只蚂蚁分别从A点出发（如右下图），沿红、蓝两线爬行，最后又回到A点。（每段爬完但不重复）哪只蚂蚁爬的路线长？为什么？
图（1）
生甲：沿红线爬的路线长，因为画红线的时间比画蓝线的时间长2秒钟。
生乙：两只蚂蚁爬的路线一样长，因为把红线拉直了就和蓝线一样长。
生丙：沿蓝线爬的路线长，可以先测量红色圆和蓝色圆的直径，再计算周长，我发现蓝圆的周长长些。
一、透过学生作业看，不同层次的学生用不同解决问题的方式
学生甲模拟蚂蚁爬行，用笔画线，记录下所用时间进行比照。学生甲之所以这样做，是源于他的生活经验：走红线比蓝线要多转折几次，因而费时，费时就是走的路线长。学生乙通过仔细观察，感觉两条线一样长，但无法说清楚，只能采用他认为意识里可以想象的方式进行表达。学生丙用科学研究的方法，通过测量和计算来追寻结果，由于测量的误差，导致功亏一篑。
二、学生作业中出现的问题值得反思
从学生的作业态度看，无可非议的是：孩子们都是努力的，是勤于动脑动手的，尽管学生甲和丙的结果是错误的，但是我们不能一味地责怪学生的想法幼稚，思考肤浅，应该及时反思我们的教学。
1.缺乏引导的教学是盲目的
从上面案例可以看出，学生未能正确运用已经学过的“解决问题的策略”来进行思考，思维还处于浅层次状态：学生甲未能弄明白题目的意图，学生乙依靠印象猜测，学生丙是机械模仿。我想，学生出现的问题应与教师的教学有一定的关联。因为这道习题的出现不是随意的，而是建立在学生已经掌握一定的解决问题策略的基础之上。与之配套的教材第74页已经出现过类似的题型：计算图形（2）（如下图）的周长。
如果教师能引导学生观察水滴图的周长，把图形的周长分割成图（3）、平移成图（4），再进行图（4）小圆周长、大圆半周长计算，引导学生发现：小圆周长=大圆半周长，小圆周长 大圆半周长=大圆周长，这样水滴图的周长最终可以转化成图（5）大圆的周长。因此，在课堂教学中，教师不仅要关注学生的学习结果，更要引领学生经历图形转化的过程，处理好过程与结果的关系，帮助学生理解题意，掌握一定的解题方法，获得基本的数学学习经验。
2.缺失数学味的教学是肤浅的
图（2）水滴图周长的计算，如果仅仅停留在探求结果的层面是不够的。教师还应引导学生作进一步的观察和思考：图（2）中两个小的半圆直径之和与大的半圆直径之间有什么关系？那么周长之间会有什么关系？让学生感悟到不断转化的背后隐含着什么。经过教师的点拨，学生很快体会到图（2）可以转化成图（5），是源于小的半圆直径之和恰好是大的半圆直径。教师引领儿童经历数学化的过程，是数学课堂的点睛之笔，它可以很好地解决儿童思维的具体形象性和数学题目抽象性之间的矛盾，促使学生思维向更深层次发展。
3.缺少变式练习的教学是单薄的
接着，如果我们把图（2）的问题保留，只把图形进行适当的变化，使原题变成（如下图）：
让学生在相似的问题情境中，进一步理解知识，掌握技能技巧，达到培养积极情感和态度，促进儿童高层次发展的目标。这样的变式练习是培养学生思维能力、举一反三能力最有效的方法之一。当学生经历了这样的思维磨砺，再来思索图（1）的问题，学生的思考力会相应提升。
案例二：“认识平行”中画平行线的教学
师：你能自己动手画平行线吗？
生：能。
师：你说老师画。
生：先画一条直线，再按住尺子向下平移。（教师根据学生的比划在黑板上画，如下图。）
师：是这样画的吗？（得到学生的认可）如果平行线之间的距离再大一点，你能确定这样画一定是平行的吗？
生： （想了一会）不能确定。
师：怎么办呢？下面请出电脑老师画。（多媒体演示两遍画平行线的方法和步骤，教师再在黑板上示范。学生模仿试画。教师巡回检查。）发现有些学生这样画：
师：有同学这样画，对吗？
生：错的。
师：是的，应该用三角板的直角边与直尺的边靠起来。（教师纠正）
学习画平行线是这节课的难点，尽管教师通过电脑演示和自己示范，但仍然有一些学生没能掌握方法；尽管老师也作了纠正，但我认为教师处理这个错误太过急躁，没有充分发挥它应有的有效教学资源的功能。事实上学生发生这样的错误不仅表现在课堂上，课后的作业中也很常见。究其原因是学生在上新课之前就已经默认了“随意”画法，尽管有电脑的演示、教师的示范，但学生意识中的错误认识并未完全清除，正确的认识又未能建立。在教学的这一环节，我们应该调整上课的节奏，不妨驻足停留，引导学生找出犯错的原因及纠正的方法，及时巩固画平行线的正确方法。这样既可以培养学生认真对待错误，辨析错误，纠正错误的能力，又能培养学生良好的思维品质，提高学习能力，使我们的课堂教学更有效。
一、辨明曲折
针对画平行线中出现的错误，我们可以组织学生讨论：
（1）这样画有没有发挥直尺的作用？与“随意”画有没有区别？
（2）你知道错在哪里吗？
通过思辨，让学生明白虽然画的时候用上了两把尺，但实际上这样画并没有发挥直尺的作用，仍然不能确定所画的直线一定是平行线。
二、引导纠错
当学生明晰了错误后，我们可以这样启发学生的思维：你能想到哪种方法进行纠正？看谁的方法容易操作？这样充分发挥学生的聪明才智，从学生的视角看错误，纠正错误，教师再引导点拨，学生的思维才能步入正轨：改法一（如下图），需要改变三角板的位置，三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边紧靠直尺边，然后把三角板向上或向下平移。改法二，可以不改变三角板的位置，只需把直尺的边紧靠三角板的一条直角边，斜边与已知直线重合，再平移三角板（如下图）。
三、强化训练
强化训练不仅能进一步巩固正确画法，而且有利于发展学生的空间思维能力。
1.画已知直线的平行线。
2.过A点画已知直线的平行线。
课堂教学中，学生由于认知水平、注意力等方面存在差异，有些学生对新知的理解会产生偏差，甚至出现错误。作为教师应及时发现，把握时机，调整课堂节奏，把“错误”作为一种不可或缺的教学资源，加以开发利用，努力提高自己课堂教学的应变能力，同时启发学生思维，使学生的思维能力得到发展。?
苏教版义务教育课程标准实验教科书配套习题册，六年级下册数学《补充习题》第73页第4题：两只蚂蚁分别从A点出发（如右下图），沿红、蓝两线爬行，最后又回到A点。（每段爬完但不重复）哪只蚂蚁爬的路线长？为什么？
图（1）
生甲：沿红线爬的路线长，因为画红线的时间比画蓝线的时间长2秒钟。
生乙：两只蚂蚁爬的路线一样长，因为把红线拉直了就和蓝线一样长。
生丙：沿蓝线爬的路线长，可以先测量红色圆和蓝色圆的直径，再计算周长，我发现蓝圆的周长长些。
一、透过学生作业看，不同层次的学生用不同解决问题的方式
学生甲模拟蚂蚁爬行，用笔画线，记录下所用时间进行比照。学生甲之所以这样做，是源于他的生活经验：走红线比蓝线要多转折几次，因而费时，费时就是走的路线长。学生乙通过仔细观察，感觉两条线一样长，但无法说清楚，只能采用他认为意识里可以想象的方式进行表达。学生丙用科学研究的方法，通过测量和计算来追寻结果，由于测量的误差，导致功亏一篑。
二、学生作业中出现的问题值得反思
从学生的作业态度看，无可非议的是：孩子们都是努力的，是勤于动脑动手的，尽管学生甲和丙的结果是错误的，但是我们不能一味地责怪学生的想法幼稚，思考肤浅，应该及时反思我们的教学。
1.缺乏引导的教学是盲目的
从上面案例可以看出，学生未能正确运用已经学过的“解决问题的策略”来进行思考，思维还处于浅层次状态：学生甲未能弄明白题目的意图，学生乙依靠印象猜测，学生丙是机械模仿。我想，学生出现的问题应与教师的教学有一定的关联。因为这道习题的出现不是随意的，而是建立在学生已经掌握一定的解决问题策略的基础之上。与之配套的教材第74页已经出现过类似的题型：计算图形（2）（如下图）的周长。
如果教师能引导学生观察水滴图的周长，把图形的周长分割成图（3）、平移成图（4），再进行图（4）小圆周长、大圆半周长计算，引导学生发现：小圆周长=大圆半周长，小圆周长 大圆半周长=大圆周长，这样水滴图的周长最终可以转化成图（5）大圆的周长。因此，在课堂教学中，教师不仅要关注学生的学习结果，更要引领学生经历图形转化的过程，处理好过程与结果的关系，帮助学生理解题意，掌握一定的解题方法，获得基本的数学学习经验。
2.缺失数学味的教学是肤浅的
图（2）水滴图周长的计算，如果仅仅停留在探求结果的层面是不够的。教师还应引导学生作进一步的观察和思考：图（2）中两个小的半圆直径之和与大的半圆直径之间有什么关系？那么周长之间会有什么关系？让学生感悟到不断转化的背后隐含着什么。经过教师的点拨，学生很快体会到图（2）可以转化成图（5），是源于小的半圆直径之和恰好是大的半圆直径。教师引领儿童经历数学化的过程，是数学课堂的点睛之笔，它可以很好地解决儿童思维的具体形象性和数学题目抽象性之间的矛盾，促使学生思维向更深层次发展。
3.缺少变式练习的教学是单薄的
接着，如果我们把图（2）的问题保留，只把图形进行适当的变化，使原题变成（如下图）：
让学生在相似的问题情境中，进一步理解知识，掌握技能技巧，达到培养积极情感和态度，促进儿童高层次发展的目标。这样的变式练习是培养学生思维能力、举一反三能力最有效的方法之一。当学生经历了这样的思维磨砺，再来思索图（1）的问题，学生的思考力会相应提升。
案例二：“认识平行”中画平行线的教学
师：你能自己动手画平行线吗？
生：能。
师：你说老师画。
生：先画一条直线，再按住尺子向下平移。（教师根据学生的比划在黑板上画，如下图。）
师：是这样画的吗？（得到学生的认可）如果平行线之间的距离再大一点，你能确定这样画一定是平行的吗？
生： （想了一会）不能确定。
师：怎么办呢？下面请出电脑老师画。（多媒体演示两遍画平行线的方法和步骤，教师再在黑板上示范。学生模仿试画。教师巡回检查。）发现有些学生这样画：
师：有同学这样画，对吗？
生：错的。
师：是的，应该用三角板的直角边与直尺的边靠起来。（教师纠正）
学习画平行线是这节课的难点，尽管教师通过电脑演示和自己示范，但仍然有一些学生没能掌握方法；尽管老师也作了纠正，但我认为教师处理这个错误太过急躁，没有充分发挥它应有的有效教学资源的功能。事实上学生发生这样的错误不仅表现在课堂上，课后的作业中也很常见。究其原因是学生在上新课之前就已经默认了“随意”画法，尽管有电脑的演示、教师的示范，但学生意识中的错误认识并未完全清除，正确的认识又未能建立。在教学的这一环节，我们应该调整上课的节奏，不妨驻足停留，引导学生找出犯错的原因及纠正的方法，及时巩固画平行线的正确方法。这样既可以培养学生认真对待错误，辨析错误，纠正错误的能力，又能培养学生良好的思维品质，提高学习能力，使我们的课堂教学更有效。
一、辨明曲折
针对画平行线中出现的错误，我们可以组织学生讨论：
（1）这样画有没有发挥直尺的作用？与“随意”画有没有区别？
（2）你知道错在哪里吗？
通过思辨，让学生明白虽然画的时候用上了两把尺，但实际上这样画并没有发挥直尺的作用，仍然不能确定所画的直线一定是平行线。
二、引导纠错
当学生明晰了错误后，我们可以这样启发学生的思维：你能想到哪种方法进行纠正？看谁的方法容易操作？这样充分发挥学生的聪明才智，从学生的视角看错误，纠正错误，教师再引导点拨，学生的思维才能步入正轨：改法一（如下图），需要改变三角板的位置，三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边紧靠直尺边，然后把三角板向上或向下平移。改法二，可以不改变三角板的位置，只需把直尺的边紧靠三角板的一条直角边，斜边与已知直线重合，再平移三角板（如下图）。
三、强化训练
强化训练不仅能进一步巩固正确画法，而且有利于发展学生的空间思维能力。
1.画已知直线的平行线。
2.过A点画已知直线的平行线。
课堂教学中，学生由于认知水平、注意力等方面存在差异，有些学生对新知的理解会产生偏差，甚至出现错误。作为教师应及时发现，把握时机，调整课堂节奏，把“错误”作为一种不可或缺的教学资源，加以开发利用，努力提高自己课堂教学的应变能力，同时启发学生思维，使学生的思维能力得到发展。?