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【内容摘要】有效教学理念成为教学行为的关键之一，是在教学过程中确定好有效教学因子。有效教学因子就是影响学生学习效果、效益的关键因素，实践表明，教师对教学素材的选择与确定，对教学契机的把握，对自身行为的精益求精，可以让有效教学因子更多地出现。
【关键词】高中数学 有效教学 有效教学因子
有效教学作为一种教学理念，其存在显然是有积极意义的。但一线教师更关心的是什么样的教学才有效！这显然是一个操作层面上的问题，不是靠教学理论所能解决的。笔者以为更有价值的努力，应当是通过对自身教学实践的分析，去寻找有效教学的因子，并能够在后续的教学中将这种有效教学因子的作用发挥好，这样才能真正实现有效教学的可持续发展。对此，笔者进行了长时间的研究，现以函数知识的复习课为例，谈谈笔者的思考。在系统阐述之前，笔者先简单介绍一下自身所理解的有效教学因子。
笔者以为，有效教学并不是一个笼统的概念，其具体到教学实践当中，应当是一个个有效教学因子驱动之下的学生学习行为。而有效教学因子，就是指在学生学习过程中，能够超越知识的简单重复，能够在新的数学知识构建、新的数学方法的发现与运用、新的数学思想的感悟上起到促进作用的教学素材或者说是教学契机，当然也可以师生互动的具体行为。
一、教学素材，需要认真设计的教学因子
不是所有的教学素材都能够成为有效教学因子，这是显而易见的事实。那么，如何选择教学素材，才能为有效教学奠基呢？来看函数复习课中的实例。
高中数学教学中，函数复习一般涉及到最基本的一次函数、二次函数等初中数学学习阶段积累的基本知识，也涉及到指数函数、对数函数和幂函数等更加复杂的知识。复习函数知识的时候，是逐个复习以形成一种递进的复习效果，还是建立一个函数模型，以让学生能够综合性地理解函数，直接关系到学生对函数知识的理解与掌握。笔者采用的是后一种思路，尽管这种思路存在着一个相对复杂的建模过程，但一旦模型建立，学生对函数知识的理解将更为深刻。那么，这样的一个函数模型如何生成呢？这与该过程中选择的教学素材有着直接的关系。
结合高中数学同行的教学智慧，笔者在教学中进行了这样的选择：首先，带有复习性质的素材呈现，如给学生呈现国王下棋奖励大米（棋盘上第一格一粒米，第二格两粒，第三格四列，以此翻番），或者是澳大利亚引入兔子最后泛滥成灾的例子，这两个例子一虚一实，正好满足了复习过程中学生的想象。同时，这两个例子的呈现，主要是帮学生建立一种带有增长（与函数随变量变化的本质是一致的）认识的函数模型。
在这样的基础上，教师再向学生呈现该例子的变式（同时也综合其它函数知识）：高二某班学生在社团活动中成立了一个投资公司，其有三种投资途径：A固定投资，每月固定收益200元；B半风险投资，每月收益50元，逐月递增；C高风险投资，第一个月收益10元，往后逐月翻倍。如果是你，你选择什么样的投资途径？
这样的例子直接呈现在学生面前时，很少有学生能够将之与函数迅速建立联系，这样教师的教学也就有了一个缓冲：可以先利用学生的原有经验来判断，然后基于函数模型来判断。而这样的缓冲实际上就是生成了一个有效教学的因子——当学生基于这些因子去思考时，会增强对函数的认识，函数模型也就会更加清晰。事实也证实了这样的判断：学生在这样的一个过程中，会直觉性地判断哪种投资收益更大，但这样的判断又往往是缺少数据或者说模型支撑的，因此不同学生的观点常常是不同的，且谁也说服不了对方；在这种情形下，教师引导学生从函数的角度去建立三种情况下的模型，而一旦学生将此实例与函数联系起来，思路就一下子明朗，分类讨论函数值也就成为自然的学习结果。
由此可见，在数学教学中设计出能够让学生思维有突破的素材，就能够让课堂具有有效教学的因子，从而可为有效教学奠定“物质”基础。
二、教学契机，有效教学发酵的关键因素
在上面所举的例子当中，实际上有一个因素不能忽视，那就是教学契机这一因素，好的素材加上好的教学契机，才会绽放出有效教学最美丽的花朵，笔者把基于教学契机的有效教学发生的过程，称之为发酵的过程，因为这个过程确实像发酵一样，可以让教学之效益更加明显。
上面的描述中提到的教学契机就是那个“缓冲”时间，而缓冲的时间也就换来了学生思维缓冲的空间，使得学生有机会将自己的原有认识与新的问题情境产生有益的互动。实际教学中，学生一开始会下意识地认为第三种投资收益最大，因为“风险”二字的暗示，因为前面所举事例的影响，而当学生建立了函数模型，认识到第一种模型的月收益就是y=200，第二种模型就是y=50x，第三种模型就是y=10×2x。而最终所比较的收益其实就是y的值，这样三个函数出现在学生面前时，一个实际问题就变成了数学问题。在这个过程中蕴藏着一个重大的转变，即学生通过数学思维，将实际问题进行抽象，并利用函数模型建立出一个解决问题的模型。从数学思想方法的角度来看，这样的数学建模，恰恰是函数知识复习过程中所要重视的。如果教师在这个时候抓住这一契机，进行数学思想方法与数学建模的教育，也能够让有效教学更进一步。
同样，在后续的教学中，教师还可以引导学生的思维进一步深入：要比较y值的大小，有哪些思路，具体可以怎样进行分类讨论？显然，图像在此时会成为学生的自然选择，而这也正是笔者的教学预期——让学生认识函数图像的作用，一点也不亚于函数解析式的作用。因为图像与解析式相比，相差的不仅仅是形式，更是数学思想，一种化数为形的思想，一种培养学生图形直觉的思想。而在高中数学学习过程中，很多学生之所以感觉数学困难，恰恰是因为他们无法及时地将抽象的数与式的形式，转换成图的形式——毕竟人总是喜欢形象思维的，高中学生也不例外。因此，这样的引导过程实际上也是一个教学契机，而在函数复习过程中抓住这一契机，实施函数图像的教学，原本就是重点之一。 教学经验表明，当三种不同形式的函数图像出现在同一个坐标上时，其形状、函数图像交点、函数图像与坐标轴的交点等所代表的意义，往往超乎学生的想象，而也只有在这样的复习课上，在这种综合性的函数问题中，学生才能遇到如此综合性的情形。忽视了复习过程中的这一细节，本课复习的有效性就会打一个折扣。
三、教学行为，体现教师智慧的教学因子
当教师带着教学反思的眼光看待自己的教学过程时，会发现自身的教学行为往往对教学效果有着直接的影响，这里且不谈数学之外的一般性教学因素，如教师的衣着、声音等，就从数学自身的角度来看，教师对数学教学过程中的行为把握，也是有效教学因子的重要组成部分。考虑到前后行文的一致性，这里就从教学契机的把握上来进行阐述。
众所周知，教学契机并不是那么容易把握的，其就同食物中的维生素一样，是极其容易流失的。对数学学习稍有感觉的学生，其实是可以体会到教师在课堂上对教学契机的把握能力的，这个时候他们看到的往往就是教师的教学行为。
记得笔者在函数的复习课当中遇到这样的一种情形：当研究三种函数的图像时，笔者首先选择在黑板上画图，为了体现自身的基本功，笔者特地在没有辅助的情况下，直接画出了y=10×2x的图像，尤其是当学生发现数据代入后图像仍然比较准确时，就感觉到老师原来对函数图像的直觉是如此之好。但有一个数学基础较好且平时能说会道的学生插嘴：其实用不着这么麻烦，可以用电脑直接生成图像嘛！这样的思路其余学生也可能有，但是真正操作过的几乎没有。笔者起初一愣，然后直接打开教室所配的电脑，问学生：“说，用什么工具？几何画板还是Excel？”看到笔者胸有成竹，该同学迅速答道：“Excel”。于是笔者打开Excel应用软件，调出函数公式，输入相关的数据，结果函数图像直接生成。在此基础上，笔者还借助手机拍下在黑板上画的图像，然后借助图像处理软件，一分钟内完成了图像透明度处理，以及图片与Excel生成的图像重叠的工作，结果两图高度吻合。结果是学生一声喝彩！
这可能只是课堂上的一个细节，但背后却是相对坚实的基本功所支撑的有效的教学行为，其给学生最大的暗示就是“精确”（这个词是由学生自己说出来的）。数学本身就是追求精确的学科，学生对数学图形原本就具有“挖掘图形特征”的学习需要，挖掘图形特征的基础是图形的准确度，无论是解析几何还是平面几何还是立体几何，对它们形成良好的直觉，是教学的重要指向。在实际教学中，笔者抓住学生挑战教师的机会，表现出了自身对图像良好的直觉性，其在引发学生惊叹的同时，实际上也给了学生一种暗示，那就是在数学学习中，追求精确应当是一个基本需要。而如果忽视了这一教学契机，又怎么会有这样的教学效果呢？
综上所述，高中数学教学中，教师要善于选择教学素材、善于把握教学契机、善于借力自身行为，以为学生的学习寻求更多的有效教学因子。
【参考文献】
[1] 肖凌戆. 高中数学有效教学综述，《中国数学教育》，2011（2）.
（作者单位：江苏省海安县南莫中学）
【关键词】高中数学 有效教学 有效教学因子
有效教学作为一种教学理念，其存在显然是有积极意义的。但一线教师更关心的是什么样的教学才有效！这显然是一个操作层面上的问题，不是靠教学理论所能解决的。笔者以为更有价值的努力，应当是通过对自身教学实践的分析，去寻找有效教学的因子，并能够在后续的教学中将这种有效教学因子的作用发挥好，这样才能真正实现有效教学的可持续发展。对此，笔者进行了长时间的研究，现以函数知识的复习课为例，谈谈笔者的思考。在系统阐述之前，笔者先简单介绍一下自身所理解的有效教学因子。
笔者以为，有效教学并不是一个笼统的概念，其具体到教学实践当中，应当是一个个有效教学因子驱动之下的学生学习行为。而有效教学因子，就是指在学生学习过程中，能够超越知识的简单重复，能够在新的数学知识构建、新的数学方法的发现与运用、新的数学思想的感悟上起到促进作用的教学素材或者说是教学契机，当然也可以师生互动的具体行为。
一、教学素材，需要认真设计的教学因子
不是所有的教学素材都能够成为有效教学因子，这是显而易见的事实。那么，如何选择教学素材，才能为有效教学奠基呢？来看函数复习课中的实例。
高中数学教学中，函数复习一般涉及到最基本的一次函数、二次函数等初中数学学习阶段积累的基本知识，也涉及到指数函数、对数函数和幂函数等更加复杂的知识。复习函数知识的时候，是逐个复习以形成一种递进的复习效果，还是建立一个函数模型，以让学生能够综合性地理解函数，直接关系到学生对函数知识的理解与掌握。笔者采用的是后一种思路，尽管这种思路存在着一个相对复杂的建模过程，但一旦模型建立，学生对函数知识的理解将更为深刻。那么，这样的一个函数模型如何生成呢？这与该过程中选择的教学素材有着直接的关系。
结合高中数学同行的教学智慧，笔者在教学中进行了这样的选择：首先，带有复习性质的素材呈现，如给学生呈现国王下棋奖励大米（棋盘上第一格一粒米，第二格两粒，第三格四列，以此翻番），或者是澳大利亚引入兔子最后泛滥成灾的例子，这两个例子一虚一实，正好满足了复习过程中学生的想象。同时，这两个例子的呈现，主要是帮学生建立一种带有增长（与函数随变量变化的本质是一致的）认识的函数模型。
在这样的基础上，教师再向学生呈现该例子的变式（同时也综合其它函数知识）：高二某班学生在社团活动中成立了一个投资公司，其有三种投资途径：A固定投资，每月固定收益200元；B半风险投资，每月收益50元，逐月递增；C高风险投资，第一个月收益10元，往后逐月翻倍。如果是你，你选择什么样的投资途径？
这样的例子直接呈现在学生面前时，很少有学生能够将之与函数迅速建立联系，这样教师的教学也就有了一个缓冲：可以先利用学生的原有经验来判断，然后基于函数模型来判断。而这样的缓冲实际上就是生成了一个有效教学的因子——当学生基于这些因子去思考时，会增强对函数的认识，函数模型也就会更加清晰。事实也证实了这样的判断：学生在这样的一个过程中，会直觉性地判断哪种投资收益更大，但这样的判断又往往是缺少数据或者说模型支撑的，因此不同学生的观点常常是不同的，且谁也说服不了对方；在这种情形下，教师引导学生从函数的角度去建立三种情况下的模型，而一旦学生将此实例与函数联系起来，思路就一下子明朗，分类讨论函数值也就成为自然的学习结果。
由此可见，在数学教学中设计出能够让学生思维有突破的素材，就能够让课堂具有有效教学的因子，从而可为有效教学奠定“物质”基础。
二、教学契机，有效教学发酵的关键因素
在上面所举的例子当中，实际上有一个因素不能忽视，那就是教学契机这一因素，好的素材加上好的教学契机，才会绽放出有效教学最美丽的花朵，笔者把基于教学契机的有效教学发生的过程，称之为发酵的过程，因为这个过程确实像发酵一样，可以让教学之效益更加明显。
上面的描述中提到的教学契机就是那个“缓冲”时间，而缓冲的时间也就换来了学生思维缓冲的空间，使得学生有机会将自己的原有认识与新的问题情境产生有益的互动。实际教学中，学生一开始会下意识地认为第三种投资收益最大，因为“风险”二字的暗示，因为前面所举事例的影响，而当学生建立了函数模型，认识到第一种模型的月收益就是y=200，第二种模型就是y=50x，第三种模型就是y=10×2x。而最终所比较的收益其实就是y的值，这样三个函数出现在学生面前时，一个实际问题就变成了数学问题。在这个过程中蕴藏着一个重大的转变，即学生通过数学思维，将实际问题进行抽象，并利用函数模型建立出一个解决问题的模型。从数学思想方法的角度来看，这样的数学建模，恰恰是函数知识复习过程中所要重视的。如果教师在这个时候抓住这一契机，进行数学思想方法与数学建模的教育，也能够让有效教学更进一步。
同样，在后续的教学中，教师还可以引导学生的思维进一步深入：要比较y值的大小，有哪些思路，具体可以怎样进行分类讨论？显然，图像在此时会成为学生的自然选择，而这也正是笔者的教学预期——让学生认识函数图像的作用，一点也不亚于函数解析式的作用。因为图像与解析式相比，相差的不仅仅是形式，更是数学思想，一种化数为形的思想，一种培养学生图形直觉的思想。而在高中数学学习过程中，很多学生之所以感觉数学困难，恰恰是因为他们无法及时地将抽象的数与式的形式，转换成图的形式——毕竟人总是喜欢形象思维的，高中学生也不例外。因此，这样的引导过程实际上也是一个教学契机，而在函数复习过程中抓住这一契机，实施函数图像的教学，原本就是重点之一。 教学经验表明，当三种不同形式的函数图像出现在同一个坐标上时，其形状、函数图像交点、函数图像与坐标轴的交点等所代表的意义，往往超乎学生的想象，而也只有在这样的复习课上，在这种综合性的函数问题中，学生才能遇到如此综合性的情形。忽视了复习过程中的这一细节，本课复习的有效性就会打一个折扣。
三、教学行为，体现教师智慧的教学因子
当教师带着教学反思的眼光看待自己的教学过程时，会发现自身的教学行为往往对教学效果有着直接的影响，这里且不谈数学之外的一般性教学因素，如教师的衣着、声音等，就从数学自身的角度来看，教师对数学教学过程中的行为把握，也是有效教学因子的重要组成部分。考虑到前后行文的一致性，这里就从教学契机的把握上来进行阐述。
众所周知，教学契机并不是那么容易把握的，其就同食物中的维生素一样，是极其容易流失的。对数学学习稍有感觉的学生，其实是可以体会到教师在课堂上对教学契机的把握能力的，这个时候他们看到的往往就是教师的教学行为。
记得笔者在函数的复习课当中遇到这样的一种情形：当研究三种函数的图像时，笔者首先选择在黑板上画图，为了体现自身的基本功，笔者特地在没有辅助的情况下，直接画出了y=10×2x的图像，尤其是当学生发现数据代入后图像仍然比较准确时，就感觉到老师原来对函数图像的直觉是如此之好。但有一个数学基础较好且平时能说会道的学生插嘴：其实用不着这么麻烦，可以用电脑直接生成图像嘛！这样的思路其余学生也可能有，但是真正操作过的几乎没有。笔者起初一愣，然后直接打开教室所配的电脑，问学生：“说，用什么工具？几何画板还是Excel？”看到笔者胸有成竹，该同学迅速答道：“Excel”。于是笔者打开Excel应用软件，调出函数公式，输入相关的数据，结果函数图像直接生成。在此基础上，笔者还借助手机拍下在黑板上画的图像，然后借助图像处理软件，一分钟内完成了图像透明度处理，以及图片与Excel生成的图像重叠的工作，结果两图高度吻合。结果是学生一声喝彩！
这可能只是课堂上的一个细节，但背后却是相对坚实的基本功所支撑的有效的教学行为，其给学生最大的暗示就是“精确”（这个词是由学生自己说出来的）。数学本身就是追求精确的学科，学生对数学图形原本就具有“挖掘图形特征”的学习需要，挖掘图形特征的基础是图形的准确度，无论是解析几何还是平面几何还是立体几何，对它们形成良好的直觉，是教学的重要指向。在实际教学中，笔者抓住学生挑战教师的机会，表现出了自身对图像良好的直觉性，其在引发学生惊叹的同时，实际上也给了学生一种暗示，那就是在数学学习中，追求精确应当是一个基本需要。而如果忽视了这一教学契机，又怎么会有这样的教学效果呢？
综上所述，高中数学教学中，教师要善于选择教学素材、善于把握教学契机、善于借力自身行为，以为学生的学习寻求更多的有效教学因子。
【参考文献】
[1] 肖凌戆. 高中数学有效教学综述，《中国数学教育》，2011（2）.
（作者单位：江苏省海安县南莫中学）