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摘要：“数感”自1954年首次提出以来，就成为众多学者研究的热点问题。国内数感研究起步较晚，2001年新一轮的数学课程改革在关于学习内容的说明中描述了数感的主要表现，20年间国内学者对数感的讨论研究主要集中于数感的内涵、数感的作用和数感的培养策略三方面。
关键词：中小学数感;研究动态;研究启示
中图分类号：G623.5
文献标识码：A
文章编号：2095-624X（2021）29-0006-02
随着现代信息技术的快速发展，人们在生活中需要处理纷繁复杂的数学信息，而数感能有效帮助人们分析判断并做出合理选择。因此，在数学教育领域，数感已经成为学者们研究的热点问题之一。自Dantzig在1954年首次提出数感概念以来，数感的研究已有60多年的历史。2001年，教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准（实验稿）》），其中在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现，明确提出将数感作为学生学习的主要内容，体现了数学教学中培养学生数感的重要性。数感概念提出20年来，国内越来越多的学者开始将理论和具体教学实践相结合，提出各自的见解及相应的策略。笔者研究查找了中国知网2001—2020年间关于数感研究的相关文献，发现目前国内学者主要集中于研究数感的内涵、数感的作用和数感的培养策略等方面，但还存在如具体的数感教学设计较少、缺乏成熟的数感课程等问题。
一、研究综述
（一）数感的内涵
2001年，《数学课程标准（实验稿）》描述了数感的主要体现：“理解数的意义、会用多种方法表示数、能在具体的情境中把握数的大小、能用数表达和交流信息、能为解决问题而选择适当的算法、能估计运算的结果并对其合理性做出解释。” [1]此后，国内学者对数感的内涵展开了多维度的讨论，主要分为以下几类。理解说：以马云鹏为代表的学者们认为人们可以依据数感快速做出数学判断和选择策略[2];直觉说：叶蓓蓓提出数感是人在面对数字以及数学信息时产生的，数感的本质就是数学直觉[3]，因而数学感觉即数学的内在的感觉过程;感悟说：史宁中等认为数感不仅是一种感悟，还包括思维的成分，将感性经验与理性思维相结合即数感的形成过程[4]。
在2012年出版的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“数感”成为十大核心概念之首，并对数感的内涵给出了明确的定义：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟[5]。教师通过数学教学引导学生感悟数感，使学生在数学学习的过程中形成并发展自身的数感，这是新课程标准对教育工作者提出的新要求。
（二）数感的作用
在数学学习中，数感具有激发学生学习探究的欲望、避免学习枯燥的功能。拥有良好数感的人，在生活中能灵活地将实际问题抽象化，并使其数学化，能联系与之相关的数学知识、策略，在解决问题时拥有多种方法可选择。除了实际问题的解决，拥有良好数感的学生还善于创造性地解决数字问题，这种能力在常规的笔算测试中较为突出，部分心算活动也能得益于此。从教育价值角度来看，数感还有助于学生根据数学认知进行个性化的建构。数感较好的学生，能够借助自身对数字的敏感程度建立起独特的数学概念网络，从而得以创造性 地解决数学问题，接纳新的数学知识。
可以说，数感不仅是学生数学学习中的一种心智技能，还是学生学习生活中所必须具备的基本数学素养，其在新知识的学习和知识的内化阶段尤为重要。在小学阶段，数感是学生学习数学概念和数学技能的一个重要媒介，良好的数感是学生开展更高阶层的数学学习和深化数学思维所必需的。小学是学生系统接受数学教育的第一阶段，对小学阶段的学生进行数感的培养，主要在于引导学生能够“数学地”思考、“数学地”交流并且能够解决现实中的数学问题。这要求教师充分把握教材中已有的实际问题，并善于组织学生开展小组活动，规范数学用语并鼓励学生进行数学交流。数感能力的培养，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，增强信心，还能推动学生物理、化学等与数学相关领域的学习，使学生的思维不局限于常规方法，学习生活更具有创造性、探索性。
（三）数感的培养策略
学生数感的好坏并不是天生的，而是学生在数学学习活动中不断累积和感悟发展的。因此，培养学生数感的关键在于引导学生主动地在具体的问题情境中探索、发现，并且能根据现实情境提出数学问题，找出数学模型，在问题解决过程中合作探究，学会使用数学语言去交流。当前，国内研究较多的是一线教师根据自己的教学实践，倾向于将数感的培养融于具体的教学内容和教学策略中展开。
第一，分阶段培养学生的数感。根据学生的认知发展水平，数感的培养在小学时期可以分为三个阶段：第一个阶段为一、二年级，第二个阶段为三、四、五年级，第三个阶段为六年级。其中，小学低年级是学生数感培养的关键时期。随着数系的扩展、认知水平的提升， 小学生对于数的意义会有更多的感悟，也能通过多种表征方式来理解数。史宁中等学者指出，数感发展的几个阶段主要包括：感悟多少、用数表示多少、建立数与数之间的联系、数的计算、数系的扩充和形成[6]。
第二，采用多样的教学方法培养学生的数感。不同的教学方法，可以直接影响学生数感的发展，而不同教学设计的编排和教师言语的引导，与学生能否充分经历数的抽象过程十分相关。杨德清对台湾一所小学的部分六年级学生进行了关于数感发展的实证研究，通过前后测试成绩的对比和课堂反馈，发现课堂教学中交互性的多媒体使用有利于教师引导学生积极参与合作与交流，能使小组之间相互启发，学生反映强烈，参与度高，对学生数感能力的培养十分有效 [7]。此外，一题多变的教学方法不仅可以提高学生对数学问题的数学敏感度，还可以解决中高年级学生语言文字理解能力弱的问题。
第三，基于现实问题的解决来培养学生的数感。除了教材中已有的现实问题，教师不仅可以从工作、教研中发掘新颖的数学素材，还可亲身示范引导学生带着数学的眼光去探究生活中的实际问题，并将其转换成数学相关的问题进行解答。这样有利于提高学生对数学问题和数字的敏感度。在问题的解决过程中，教师还需要引导学生有效地整合自己在整個学习过程中的知识经验，把解决问题时的各种感受用数学语言表达出来，鼓励学生养成使用数学语言进行数学交流的习惯，这是数感培养的关键所在。 二、國内20年数感研究的启示
（一）数感研究中具体的教学内容设计较少
在20年的数感研究中，2011年前学者们主要集中于对数感内涵的探讨和数感作用的阐释;2012年后，许多一线教师开始参与到数感培养的探讨中。通过培养学生的数感意识、发展学生的数感能力和创新数感思维三方面展开，主要是结合具体的教学内容展开讨论。在数感研究中，具体的教学设计较为缺失，大部分学者是从已有的课堂教学中分析某个课例的某个环节来阐述如何培养学生“数感”的。这样的研究实践性较低，如数与代数中从三年级“分数的初步认识”到五年级“分数的再认识”和六年级“利用分数解决实际问题”，这样的模块化数感培养几乎没有。
（二）数感可以培养学生的数学核心素养。
美国学校数学标准委员会在1987年提出将数感作为有效的数学教学计划的成分之一，基本目标为：学会“数学地”推理，学会“数学地”交流，具有“数学地”解决问题的能力。数感的建立可以帮助学生学会用数学思维、数学的眼光看待生活中的实际问题，学会“数学地”思考。在学习数学的过程中，数感好的学生能够通过形状记忆数字，在此基础上对数的概念产生独特的理解，并形成自己的数字网络。在这一过程中，数感能提高学生持续探究的兴趣，引导学生形成良好的自主学习探究意识，促进学生创新能力不断提升。数学核心素养是学生必须掌握的专业能力，而数感是学生认识数学、应用数学的重要手段，因此，学生数感的培养也是核心素养发展的必经之路。
（三）数感的培养需要开发完整的数感课程
国内外学者都注重在课堂教学中培养学生的数感，强调学生的经历体验。国外更注重数感相关课程的开发，设计与问题相关的情境活动，有目的地培养学生的数感。如以游戏活动为核心的“数字世界”课程，在该课程中，学生通过亲身经历和体验游戏活动，对数的运算以及数量关系有了深刻的理解，并且，数感课程结构还从课堂延伸到课后。美国开发了一种家庭活动“数字积木”课程，该 课程指导家长在家庭教育活动中发展孩子的数感，学校课堂游戏和家庭练习活动这两者之间相互联系和补充。目前国内还没有较为成熟的数感课程，依然强调在具体的学校教学内容中培养学生的数感。要开发完整的数感课程，首先要确定数感课程的理论基础，将教学建立在学生已有的数学学习经验之上，连接新知识与学生脑海中原有的经验，形成一个可生长的、不断扩张的知识体系。其次，要创新数感课程结构，尝试将课堂教学活动与家庭练习活动相补充，将各自功能发挥到最大。最后，在数感课程中，教师要引导学生把活动中的经历体验进行提炼，启发学生思考，使学生进一步加深对数的理解和感悟。
数感，本身就是模糊的，难以以某种形式、某个内容将其固化，因此才给相关的理论与实践研究带来了困难。当前，数学课程改革已经把标准运算法则的教学转化为让学生学会辨别数字模式和数字关系，并在两者之间展开相关的教学。这样，学生才能提升对数字的洞察力，并对数字产生“感觉”，使人眼中的世界有了量化的意味。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]马云鹏，史炳星.认识数感与发展数感[J].数学教育学报，2002（2）：46-49.
[3]叶蓓蓓.对数感的再认识与思考[J].数学教育学报，2004（2）：34-36.
[4][6]史宁中，吕世虎.对数感及其教学的思考[J].数学教育学报，2006（2）： 9-11.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[7]Der Ching Yang.Teaching and Learning Number Sense[J].School Science and Mathematics，2002（4）：157.
关键词：中小学数感;研究动态;研究启示
中图分类号：G623.5
文献标识码：A
文章编号：2095-624X（2021）29-0006-02
随着现代信息技术的快速发展，人们在生活中需要处理纷繁复杂的数学信息，而数感能有效帮助人们分析判断并做出合理选择。因此，在数学教育领域，数感已经成为学者们研究的热点问题之一。自Dantzig在1954年首次提出数感概念以来，数感的研究已有60多年的历史。2001年，教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准（实验稿）》），其中在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现，明确提出将数感作为学生学习的主要内容，体现了数学教学中培养学生数感的重要性。数感概念提出20年来，国内越来越多的学者开始将理论和具体教学实践相结合，提出各自的见解及相应的策略。笔者研究查找了中国知网2001—2020年间关于数感研究的相关文献，发现目前国内学者主要集中于研究数感的内涵、数感的作用和数感的培养策略等方面，但还存在如具体的数感教学设计较少、缺乏成熟的数感课程等问题。
一、研究综述
（一）数感的内涵
2001年，《数学课程标准（实验稿）》描述了数感的主要体现：“理解数的意义、会用多种方法表示数、能在具体的情境中把握数的大小、能用数表达和交流信息、能为解决问题而选择适当的算法、能估计运算的结果并对其合理性做出解释。” [1]此后，国内学者对数感的内涵展开了多维度的讨论，主要分为以下几类。理解说：以马云鹏为代表的学者们认为人们可以依据数感快速做出数学判断和选择策略[2];直觉说：叶蓓蓓提出数感是人在面对数字以及数学信息时产生的，数感的本质就是数学直觉[3]，因而数学感觉即数学的内在的感觉过程;感悟说：史宁中等认为数感不仅是一种感悟，还包括思维的成分，将感性经验与理性思维相结合即数感的形成过程[4]。
在2012年出版的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“数感”成为十大核心概念之首，并对数感的内涵给出了明确的定义：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟[5]。教师通过数学教学引导学生感悟数感，使学生在数学学习的过程中形成并发展自身的数感，这是新课程标准对教育工作者提出的新要求。
（二）数感的作用
在数学学习中，数感具有激发学生学习探究的欲望、避免学习枯燥的功能。拥有良好数感的人，在生活中能灵活地将实际问题抽象化，并使其数学化，能联系与之相关的数学知识、策略，在解决问题时拥有多种方法可选择。除了实际问题的解决，拥有良好数感的学生还善于创造性地解决数字问题，这种能力在常规的笔算测试中较为突出，部分心算活动也能得益于此。从教育价值角度来看，数感还有助于学生根据数学认知进行个性化的建构。数感较好的学生，能够借助自身对数字的敏感程度建立起独特的数学概念网络，从而得以创造性 地解决数学问题，接纳新的数学知识。
可以说，数感不仅是学生数学学习中的一种心智技能，还是学生学习生活中所必须具备的基本数学素养，其在新知识的学习和知识的内化阶段尤为重要。在小学阶段，数感是学生学习数学概念和数学技能的一个重要媒介，良好的数感是学生开展更高阶层的数学学习和深化数学思维所必需的。小学是学生系统接受数学教育的第一阶段，对小学阶段的学生进行数感的培养，主要在于引导学生能够“数学地”思考、“数学地”交流并且能够解决现实中的数学问题。这要求教师充分把握教材中已有的实际问题，并善于组织学生开展小组活动，规范数学用语并鼓励学生进行数学交流。数感能力的培养，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，增强信心，还能推动学生物理、化学等与数学相关领域的学习，使学生的思维不局限于常规方法，学习生活更具有创造性、探索性。
（三）数感的培养策略
学生数感的好坏并不是天生的，而是学生在数学学习活动中不断累积和感悟发展的。因此，培养学生数感的关键在于引导学生主动地在具体的问题情境中探索、发现，并且能根据现实情境提出数学问题，找出数学模型，在问题解决过程中合作探究，学会使用数学语言去交流。当前，国内研究较多的是一线教师根据自己的教学实践，倾向于将数感的培养融于具体的教学内容和教学策略中展开。
第一，分阶段培养学生的数感。根据学生的认知发展水平，数感的培养在小学时期可以分为三个阶段：第一个阶段为一、二年级，第二个阶段为三、四、五年级，第三个阶段为六年级。其中，小学低年级是学生数感培养的关键时期。随着数系的扩展、认知水平的提升， 小学生对于数的意义会有更多的感悟，也能通过多种表征方式来理解数。史宁中等学者指出，数感发展的几个阶段主要包括：感悟多少、用数表示多少、建立数与数之间的联系、数的计算、数系的扩充和形成[6]。
第二，采用多样的教学方法培养学生的数感。不同的教学方法，可以直接影响学生数感的发展，而不同教学设计的编排和教师言语的引导，与学生能否充分经历数的抽象过程十分相关。杨德清对台湾一所小学的部分六年级学生进行了关于数感发展的实证研究，通过前后测试成绩的对比和课堂反馈，发现课堂教学中交互性的多媒体使用有利于教师引导学生积极参与合作与交流，能使小组之间相互启发，学生反映强烈，参与度高，对学生数感能力的培养十分有效 [7]。此外，一题多变的教学方法不仅可以提高学生对数学问题的数学敏感度，还可以解决中高年级学生语言文字理解能力弱的问题。
第三，基于现实问题的解决来培养学生的数感。除了教材中已有的现实问题，教师不仅可以从工作、教研中发掘新颖的数学素材，还可亲身示范引导学生带着数学的眼光去探究生活中的实际问题，并将其转换成数学相关的问题进行解答。这样有利于提高学生对数学问题和数字的敏感度。在问题的解决过程中，教师还需要引导学生有效地整合自己在整個学习过程中的知识经验，把解决问题时的各种感受用数学语言表达出来，鼓励学生养成使用数学语言进行数学交流的习惯，这是数感培养的关键所在。 二、國内20年数感研究的启示
（一）数感研究中具体的教学内容设计较少
在20年的数感研究中，2011年前学者们主要集中于对数感内涵的探讨和数感作用的阐释;2012年后，许多一线教师开始参与到数感培养的探讨中。通过培养学生的数感意识、发展学生的数感能力和创新数感思维三方面展开，主要是结合具体的教学内容展开讨论。在数感研究中，具体的教学设计较为缺失，大部分学者是从已有的课堂教学中分析某个课例的某个环节来阐述如何培养学生“数感”的。这样的研究实践性较低，如数与代数中从三年级“分数的初步认识”到五年级“分数的再认识”和六年级“利用分数解决实际问题”，这样的模块化数感培养几乎没有。
（二）数感可以培养学生的数学核心素养。
美国学校数学标准委员会在1987年提出将数感作为有效的数学教学计划的成分之一，基本目标为：学会“数学地”推理，学会“数学地”交流，具有“数学地”解决问题的能力。数感的建立可以帮助学生学会用数学思维、数学的眼光看待生活中的实际问题，学会“数学地”思考。在学习数学的过程中，数感好的学生能够通过形状记忆数字，在此基础上对数的概念产生独特的理解，并形成自己的数字网络。在这一过程中，数感能提高学生持续探究的兴趣，引导学生形成良好的自主学习探究意识，促进学生创新能力不断提升。数学核心素养是学生必须掌握的专业能力，而数感是学生认识数学、应用数学的重要手段，因此，学生数感的培养也是核心素养发展的必经之路。
（三）数感的培养需要开发完整的数感课程
国内外学者都注重在课堂教学中培养学生的数感，强调学生的经历体验。国外更注重数感相关课程的开发，设计与问题相关的情境活动，有目的地培养学生的数感。如以游戏活动为核心的“数字世界”课程，在该课程中，学生通过亲身经历和体验游戏活动，对数的运算以及数量关系有了深刻的理解，并且，数感课程结构还从课堂延伸到课后。美国开发了一种家庭活动“数字积木”课程，该 课程指导家长在家庭教育活动中发展孩子的数感，学校课堂游戏和家庭练习活动这两者之间相互联系和补充。目前国内还没有较为成熟的数感课程，依然强调在具体的学校教学内容中培养学生的数感。要开发完整的数感课程，首先要确定数感课程的理论基础，将教学建立在学生已有的数学学习经验之上，连接新知识与学生脑海中原有的经验，形成一个可生长的、不断扩张的知识体系。其次，要创新数感课程结构，尝试将课堂教学活动与家庭练习活动相补充，将各自功能发挥到最大。最后，在数感课程中，教师要引导学生把活动中的经历体验进行提炼，启发学生思考，使学生进一步加深对数的理解和感悟。
数感，本身就是模糊的，难以以某种形式、某个内容将其固化，因此才给相关的理论与实践研究带来了困难。当前，数学课程改革已经把标准运算法则的教学转化为让学生学会辨别数字模式和数字关系，并在两者之间展开相关的教学。这样，学生才能提升对数字的洞察力，并对数字产生“感觉”，使人眼中的世界有了量化的意味。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]马云鹏，史炳星.认识数感与发展数感[J].数学教育学报，2002（2）：46-49.
[3]叶蓓蓓.对数感的再认识与思考[J].数学教育学报，2004（2）：34-36.
[4][6]史宁中，吕世虎.对数感及其教学的思考[J].数学教育学报，2006（2）： 9-11.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[7]Der Ching Yang.Teaching and Learning Number Sense[J].School Science and Mathematics，2002（4）：157.