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今天我们要讨论的是两道简单有趣又非常神奇的算术题。
一、第一道题是这样的：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成三个三位数，使其中一个数减去另一个数得到的"差"等于第三个数。加减法算术题是学生经常做的，对这道题并不陌生。有的人说，我做这道题的时候，三下五除二就完成了，并且还得到了不同的答案；有的人说，我觉得它太难做了，弄个数试试，不行，再弄个数试试，还是不行......之所以遇到困难，感觉厌烦，或许是做题的方法不正确。
在这里，我想给大家介绍一些经验，相信在探究地过程中会发现好多奇妙、有趣的现象。大家在做运算的时候，通常都要用到竖式，在这里用起竖式来尤其方便。大家知道，加法运算定律里有个"交换率"，即"两个数相加，交换加数的位置，和不变"，而减法是加法的逆运算，在减式中，减数与差，就相当于加式中那两个加数，同样也可以交换它们的位置，如7-4=3、7-3=4，等式仍然成立。在我们要做的算术题里，要运算的是两个多位数的减法题，要是把"减数"与"差"里相同数位上的数字交换一下位置，等式照样是成立的。例如，交换"减数"与"差"的位置后，得到；交换"减数"与"差"里个位上数字的位置（以下简称换个位数字）后，得到，这些等式都是成立的。
當做三位数以上的减法题时，这种方法也同样适用。回到我们的减法算术题里来，例如，你找到了一个答案，换个位数字后，得到一个新答案；换十位数字后又得到一个答案；换百位数字的位置后，还能得到一个答案。按照题意，把以上四个答案里，"减数"与"差"的位置交换后，就又会得到四个答案，分别是：，，，，由一个答案竟变成了八个答案，是不是挺神奇的！
寻找答案，不像运算那么快，需要我们静下心来，反复演算、验证才能找到一个满意的答案。为了不走弯路，节省点宝贵的时间和精力，建议大家找到一个答案后，先把它调整为"基本答案"后。什么样的答案才可以算得上"基本答案"呢？这里是指，在答案里"减数"与"差"相比，各个数位上的数字都要大，如在答案中，7>1，8>6，3>2。经过不懈努力、反复演算，现已经积累了"基本答案"42个，现一一列举如下，以供参考（注：被减数上面的"·"是错位号）：
1.被减数9字开头
2.被减数8字开头
3.被减数7字开头
4. 被减数6字开头
5. 被减数5字开头
6. 被减数4字开头
根据这42个"基本答案"，再利用上面介绍的"一变八"的方法，就可以地找到42×8=336个答案。若大家有兴趣，可以继续努力寻找新的答案，衷心地期待着你们喜讯的到来。
仔细观察这些答案后会发现：在同一组里，被减数几乎相同，只是交换了个位和十位上数字的位置，便成了另外的一些答案。下面把这42个"基本答案"中所有的被减数整理分组排列如下：
1. 945，954，549，594，459，495；（全排列）
2. 846，864，648，468，486；
3. 918，981，819，891；
4. 729，792，927，972；
5. 936，963，639，693；
6. 837，873，738，783；
7. 657，675，567，576.
对比观察后我们又会发现：
1.按照上面"基本答案"的排列顺序，从上至下，被减数的百位数字，依次是9，8，7，6，5，4，这一串数字被称为"递减等差数列"，数字越来越小，相邻二数的差都等于1；而且它们的个位和十位上的数字之和分别为：9，10，11，12，13，14。这一串数字又被称为"递增等差数列"，数字越来越大，相邻二数的差也等于1。
2.被减数里，个位、十位和百位数字的"和"全等于18，能被9整除。所以这里的所有被减数都能被9整除，如945÷9=105，783÷9=87，639÷9=71，567÷9=63，486÷9=54......
通过这些探索的过程，你是不是觉得数学的确挺神奇的！
二、第二道算术题是这样的，请把"0，1，2，3，4，5，6，7，8，9"这十个数字填在竖式的方格里，使等式成立。（为了更便于观察，我们把它改为）
也许有人会觉得，这道题有10个数字，第一题中有9个数字，这道题的答案会更多吧？其实不然，他好像被戴上了一个紧箍咒（和是四位数，必须通过进位，因此千位上的数字只能是数字"1"），大受限制，答案反而比第一道题少了许多。我们现在把已经找到的答案罗列如下：
第一组：
第二组：
这第二道算术题，既然是加法题，正好可以使用加法运算定律中的交换率，但是有个问题，两个"加数"中，我们该选用哪个加数经调整后才能符合"基本答案"的要求呢？其他，无论选哪个都是可以的。为了与第一道题保持一致，我们不妨约定，也把中间"不大不小"的那个数当作"基本答案"的参照数，但要把它各个数位上的数字都调整得比第一个加数相同数位上的数字大点。如在答案中，7>3，6>2，5>4。再根据前面介绍的"一变八"的方法，就可以一共得到12×8=96个答案。大家不妨可以进行深入地探究。
综合第二道题的"基本答案"，通过观察我们可以发现：
1.在同一行里，无论是第一个加数、第二个加数还是"和"中，各个数都像可以打乱后，在粘接起来一样，就是说，它们也属于"排列"类型，可惜都不是"全排列"标准。
2. 1和0都在"和"里，只有1才"有权"占据最高位置--四位数的第一位"千位"，在第一组里"和"中的0均在百位上，运算第一排竖式时，很少进位，运算第二、三排竖式时则要进位三次；在第二组里"和"中的0均在十位上，运算竖式时都要进位三次。
3.在所有的答案里，"和"的各个数位上的数字之和都是9的整数倍，即这个"和"能被9整除。所以，本题所有答案的"和"均能被9整除，例如，1089÷9=121，1602÷9=178，1503÷9=167......
我们通过计算、对比、分析，这两道简单的算术题是不是很有趣呀！它们的答案里蕴藏着许多的秘密，因而特别神奇。只要我们用善于发现的眼光去观察、去对比、去分析，像这样的奥秘还有很多，让我们不断去探寻数学的奥妙吧！
一、第一道题是这样的：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成三个三位数，使其中一个数减去另一个数得到的"差"等于第三个数。加减法算术题是学生经常做的，对这道题并不陌生。有的人说，我做这道题的时候，三下五除二就完成了，并且还得到了不同的答案；有的人说，我觉得它太难做了，弄个数试试，不行，再弄个数试试，还是不行......之所以遇到困难，感觉厌烦，或许是做题的方法不正确。
在这里，我想给大家介绍一些经验，相信在探究地过程中会发现好多奇妙、有趣的现象。大家在做运算的时候，通常都要用到竖式，在这里用起竖式来尤其方便。大家知道，加法运算定律里有个"交换率"，即"两个数相加，交换加数的位置，和不变"，而减法是加法的逆运算，在减式中，减数与差，就相当于加式中那两个加数，同样也可以交换它们的位置，如7-4=3、7-3=4，等式仍然成立。在我们要做的算术题里，要运算的是两个多位数的减法题，要是把"减数"与"差"里相同数位上的数字交换一下位置，等式照样是成立的。例如，交换"减数"与"差"的位置后，得到；交换"减数"与"差"里个位上数字的位置（以下简称换个位数字）后，得到，这些等式都是成立的。
當做三位数以上的减法题时，这种方法也同样适用。回到我们的减法算术题里来，例如，你找到了一个答案，换个位数字后，得到一个新答案；换十位数字后又得到一个答案；换百位数字的位置后，还能得到一个答案。按照题意，把以上四个答案里，"减数"与"差"的位置交换后，就又会得到四个答案，分别是：，，，，由一个答案竟变成了八个答案，是不是挺神奇的！
寻找答案，不像运算那么快，需要我们静下心来，反复演算、验证才能找到一个满意的答案。为了不走弯路，节省点宝贵的时间和精力，建议大家找到一个答案后，先把它调整为"基本答案"后。什么样的答案才可以算得上"基本答案"呢？这里是指，在答案里"减数"与"差"相比，各个数位上的数字都要大，如在答案中，7>1，8>6，3>2。经过不懈努力、反复演算，现已经积累了"基本答案"42个，现一一列举如下，以供参考（注：被减数上面的"·"是错位号）：
1.被减数9字开头
2.被减数8字开头
3.被减数7字开头
4. 被减数6字开头
5. 被减数5字开头
6. 被减数4字开头
根据这42个"基本答案"，再利用上面介绍的"一变八"的方法，就可以地找到42×8=336个答案。若大家有兴趣，可以继续努力寻找新的答案，衷心地期待着你们喜讯的到来。
仔细观察这些答案后会发现：在同一组里，被减数几乎相同，只是交换了个位和十位上数字的位置，便成了另外的一些答案。下面把这42个"基本答案"中所有的被减数整理分组排列如下：
1. 945，954，549，594，459，495；（全排列）
2. 846，864，648，468，486；
3. 918，981，819，891；
4. 729，792，927，972；
5. 936，963，639，693；
6. 837，873，738，783；
7. 657，675，567，576.
对比观察后我们又会发现：
1.按照上面"基本答案"的排列顺序，从上至下，被减数的百位数字，依次是9，8，7，6，5，4，这一串数字被称为"递减等差数列"，数字越来越小，相邻二数的差都等于1；而且它们的个位和十位上的数字之和分别为：9，10，11，12，13，14。这一串数字又被称为"递增等差数列"，数字越来越大，相邻二数的差也等于1。
2.被减数里，个位、十位和百位数字的"和"全等于18，能被9整除。所以这里的所有被减数都能被9整除，如945÷9=105，783÷9=87，639÷9=71，567÷9=63，486÷9=54......
通过这些探索的过程，你是不是觉得数学的确挺神奇的！
二、第二道算术题是这样的，请把"0，1，2，3，4，5，6，7，8，9"这十个数字填在竖式的方格里，使等式成立。（为了更便于观察，我们把它改为）
也许有人会觉得，这道题有10个数字，第一题中有9个数字，这道题的答案会更多吧？其实不然，他好像被戴上了一个紧箍咒（和是四位数，必须通过进位，因此千位上的数字只能是数字"1"），大受限制，答案反而比第一道题少了许多。我们现在把已经找到的答案罗列如下：
第一组：
第二组：
这第二道算术题，既然是加法题，正好可以使用加法运算定律中的交换率，但是有个问题，两个"加数"中，我们该选用哪个加数经调整后才能符合"基本答案"的要求呢？其他，无论选哪个都是可以的。为了与第一道题保持一致，我们不妨约定，也把中间"不大不小"的那个数当作"基本答案"的参照数，但要把它各个数位上的数字都调整得比第一个加数相同数位上的数字大点。如在答案中，7>3，6>2，5>4。再根据前面介绍的"一变八"的方法，就可以一共得到12×8=96个答案。大家不妨可以进行深入地探究。
综合第二道题的"基本答案"，通过观察我们可以发现：
1.在同一行里，无论是第一个加数、第二个加数还是"和"中，各个数都像可以打乱后，在粘接起来一样，就是说，它们也属于"排列"类型，可惜都不是"全排列"标准。
2. 1和0都在"和"里，只有1才"有权"占据最高位置--四位数的第一位"千位"，在第一组里"和"中的0均在百位上，运算第一排竖式时，很少进位，运算第二、三排竖式时则要进位三次；在第二组里"和"中的0均在十位上，运算竖式时都要进位三次。
3.在所有的答案里，"和"的各个数位上的数字之和都是9的整数倍，即这个"和"能被9整除。所以，本题所有答案的"和"均能被9整除，例如，1089÷9=121，1602÷9=178，1503÷9=167......
我们通过计算、对比、分析，这两道简单的算术题是不是很有趣呀！它们的答案里蕴藏着许多的秘密，因而特别神奇。只要我们用善于发现的眼光去观察、去对比、去分析，像这样的奥秘还有很多，让我们不断去探寻数学的奥妙吧！