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【摘要】课后练习和习题是教材的重要组成部分，巧用课后练习和习题指导学生进行预习、巩固和复习，既优化了数学课堂的教学，同时也能培养学生独立思考、自主学习的能力。
【关键词】练习题预习巩固拓展思维
课堂教学是学校教学的主要形式之一，但数学的学习仅靠课堂教学是不够的，怎样将数学的教学延伸到课前、课后，这是教师需要好好思考的问题。很多教师和学生认为课后练习和习题比较简单，做一做、练一练就行，更不需要作深入的挖掘。而是将重心放在资料上的“海量”练习上。久而久之，课本便被置于一边，等到高三复习的时候再让学生“回归课本”，望着陌生的课本，学生脑中肯定是一片空白。
高中数学新课标教材中，每一课时后面均编有练习题，一节后也都设置习题，与教学内容构成一个完整的整体，而且是课堂教学过程的重要的组成部分。是巩固新授知识，形成解题技巧和方法，提高思维能力的重要组成部分，是课堂教学过程中不可忽视的一部分。课后练习的设计体现了教材的编排意图，也是课堂教学目标的具体呈现。因此，如何整合这些练习和习题，对优化数学教学流程具有非常重要的意义。本文以必修4 1.2《任意角的三角函数》这一节的练习和习题的使用为例，谈谈如何巧用课后练习题优化课堂教学。
一、 借助课后练习题，布置课前预习
良好的预习习惯直接影响学生课堂学习和课后的复习的效果，而且能激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考能力。预习不止是看看书上的内容，教师应该在布置预习任务时要求学生预习后利用课后练习题检验预习的效果。对于预习中出现的问题先在同学间交流，然后在课堂学习中及时进行质疑、讨论、解答。有利于提高学生预习的效果，培养学生自主学习、合作探究的能力。如在《任意角的三角函数》第一课时布置预习时，对于课本15页的练习题，要求完成1、2题后思考其他的变式情况，如P点坐标为（-6，-y）或（3a，-4a）时的求解，有助于学生对三角函数的定义的认识，学生能够举一反三，全面的思考、灵活的应用。长期的指导下学生便会预习、会思考，预习就会很充分，课上学习的时候也会很有目的性。
二、 借助课后练习题，巧妙设计导语
巧妙的导入，有助于激发学生学习的兴趣，体会知识的生成过程，对于理解知识及其会应用起到承上启下的作用。如在《任意角的三角函数》第二课时教学时，也可由课本17页练习T1导入。
练习1.利用三角函数的定义证明：
（1） sin2α cos2α=1（2）tanα=sinαcosα
分析：由三角函数的定义可知：sinα=yr ，cosαxr，tanα=yx（x≠0），证明（1）时可由左边入手 sin2α cos2α=（yr）2 （xr）2=x2 y2r2，而x2 y2=r2 即可证。证明（2）时需由右边sinαcosα =yx证其等于左边。从而得到同角三角函数关系式，这种代数的运算和化简，学生亲历化简、证明的过程，对于公式的理解和记忆起到事半功倍的效果。再结合课本上的几何导入，诠释了正弦、余弦、正切值之间的关系，这也就是我们所谓的备课中的“备学生、备学情”。毕竟我们的学生对于代数化的内容理解起来更容易一些，很多的内容也可以以学生容易理解和记忆的方式呈现。
三、 借助课后练习题，巩固课堂教学
新课程教材中的练习题和习题是结合教材精心编排的，对于巩固课堂内容、提高学生的思考和探索能力有提升的作用。我们发现很多试题都是由课后练习变式得到的。原因很简单，课后练习的设置是为了巩固学生知识而设置的，具有很强的代表性，是课程标准中对学生的“双基”考察的具体呈现。
如1.2.1《任意角的三角函数》课后练习T5是根据角确定正弦、余弦、正切值的符号，只要找到角所在的象限便可，而T6则是T5的变式，根据余弦和正切值的符号确定角所在的象限，训练学生的逆向思维。要求学生对于任意角的三角函数值在各个象限的符号要记忆清楚，而这一知识点则是由三角函数的定义中x，y的符号确定的。将本节的内容串在了一起，学生找到知识点之间的联系，对于本节内容的理解和应用都有深入的提升。又如1.2.2《同角三角函数关系》中练习T2巩固例题1，学生模仿例1进行求解。而在做T3时则要注意，去掉了角所在的象限，在求解时应该讨论角所在的象限，进行分类讨论。而这一方法就可以直接应用到T4中。学生弄清楚T2、T3、T4之间的关系，对于以后出现的利用同角三角函数进行求值题就不会遗漏，应用自如。
四、 借助课后练习题，拓展思维能力
数学课要是想讲的精彩、有深度，除了要清晰的展现知识结构、基础题型，对于重点题型进行变式就成为当堂课的亮点。而单纯的从例题中变式学生不太容易接受，只有学生在掌握该题型基础之上的变式才是有效的。以此教师在备课时“备教材”上要多花些功夫，适时、有效的变式能够拓展学生的数学思维能力。
如1.2.1课后练习中，完成练习T1、T2的讲解，可以要求学生完成变式1：
若角 的终边经过点P（4a，-3a）（a≠0），求sin α，cos α的值。
分析：模仿例题步骤，先求出r=（4a）2 （-3a）2 =25a2，由于a≠0且r>0所以r=5︳a︳ ，从而分a>0和a<0两种情况分类讨论。巩固了解题的过程，培养学生严谨的分析和思考的能力。
变式2：若点P在角 -23π的终边上，且到原点的距离为2，则点P的坐标为_______
分析：条件1“若点P在角 -23π的终边上”可以求出点P所在终边角的正弦、余弦值分别为sin（-23π）=-32，cos（-23π）=-12条件2“点P到原点的距离为2”即r=2，需要逆用三角函数的定义sin（-23π）=-32=yr ，cos（-23π）=-12=yr， 进行求解，从而得到x=-1，y=-3即P（-1，-3） .本题需要引导学生在分析题目条件时，要适时的将题目条件转换成数学符号，然后找到相关的定义和公式以及适用的题型，这就需要学生灵活的运用知识点进行相关的变形与应用。有助于提高学生的逆向思维的能力。
许多课后练习题的设置也有一定的探究性。如1.2.1练习T8要求根据单位圆中的正弦线和余弦线，发现正弦函数值有怎样的变化规律？本题通过角在各个象限的变化可以总结出对应正弦值的变化，为后面学习三角函数单调性作了铺垫。学生通过观察和思考总结出来的规律，在画出三角函数图象之后得到了验证，相信学生的学习数学的兴趣会更加的浓厚。课本上的许多结论他们也能总结出来，增加的学生学习数学的自信。
而一节内容后习题中“思考 运用”，“探究 拓展”的设置，更是对本节内容的拓展，学生通过研究、讨论总结出来的结论和解题的方法，可以提高学生对于本节知识的认识。对一些学有余力的学生来说，是既吃饱又吃好。
五、 借助课后练习题，构建知识结构
教学中发现，学生对于当堂知识和题型容易掌握。在学完一节几课时的内容后，如果让其讲出这几课时的内容是什么、有哪些题型时、需要注意什么的时候，学生往往无从说起。不是学生对于知识点和题型没掌握，而是我们的学生课后不重视总结和归纳。高中数学课堂容量大，知识点和题型多。学生掌握的知识点零散，没有系统性。而练习题和习题包含了本节的重点和难点，学生在复习的时候可以将习题中题目进行归类，并和相应的知识点对接，一边检验知识点的掌握情况，一边训练解题和思考的能力，系统的复习本节的内容，帮助学生构建了本节的知识结构。在习题中 “感受 理解”，“思考 运用”，“探究 拓展”三个等级的设置，实现了练习的分层，给学生提供多层次、多种类的选择，以满足不同层次学生发展的需要。由此可见，练习题将课堂所学的内容延伸到了课后的复习中，而且具有很强的指导性意义。
因此，对于课后练习题的认识不再是课后的练习题，做一做就算了的，教师在今后的教学中应该用于指导学生预习、巩固和复习，将这些练习和习题渗透到课前、课中、课后，并带动学生共同完成，有助于优化数学的教学。夯实“双基”，提高学生的自主学习、合作探究的积极性，提升学生学习数学的兴趣和自信。
参考文献
[1]张同峰 《要充分认识课后习题的重要性》《中学生数理化（高中版）》 2005年01期
[2]《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》2007年6月第三版P11-P23
【关键词】练习题预习巩固拓展思维
课堂教学是学校教学的主要形式之一，但数学的学习仅靠课堂教学是不够的，怎样将数学的教学延伸到课前、课后，这是教师需要好好思考的问题。很多教师和学生认为课后练习和习题比较简单，做一做、练一练就行，更不需要作深入的挖掘。而是将重心放在资料上的“海量”练习上。久而久之，课本便被置于一边，等到高三复习的时候再让学生“回归课本”，望着陌生的课本，学生脑中肯定是一片空白。
高中数学新课标教材中，每一课时后面均编有练习题，一节后也都设置习题，与教学内容构成一个完整的整体，而且是课堂教学过程的重要的组成部分。是巩固新授知识，形成解题技巧和方法，提高思维能力的重要组成部分，是课堂教学过程中不可忽视的一部分。课后练习的设计体现了教材的编排意图，也是课堂教学目标的具体呈现。因此，如何整合这些练习和习题，对优化数学教学流程具有非常重要的意义。本文以必修4 1.2《任意角的三角函数》这一节的练习和习题的使用为例，谈谈如何巧用课后练习题优化课堂教学。
一、 借助课后练习题，布置课前预习
良好的预习习惯直接影响学生课堂学习和课后的复习的效果，而且能激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考能力。预习不止是看看书上的内容，教师应该在布置预习任务时要求学生预习后利用课后练习题检验预习的效果。对于预习中出现的问题先在同学间交流，然后在课堂学习中及时进行质疑、讨论、解答。有利于提高学生预习的效果，培养学生自主学习、合作探究的能力。如在《任意角的三角函数》第一课时布置预习时，对于课本15页的练习题，要求完成1、2题后思考其他的变式情况，如P点坐标为（-6，-y）或（3a，-4a）时的求解，有助于学生对三角函数的定义的认识，学生能够举一反三，全面的思考、灵活的应用。长期的指导下学生便会预习、会思考，预习就会很充分，课上学习的时候也会很有目的性。
二、 借助课后练习题，巧妙设计导语
巧妙的导入，有助于激发学生学习的兴趣，体会知识的生成过程，对于理解知识及其会应用起到承上启下的作用。如在《任意角的三角函数》第二课时教学时，也可由课本17页练习T1导入。
练习1.利用三角函数的定义证明：
（1） sin2α cos2α=1（2）tanα=sinαcosα
分析：由三角函数的定义可知：sinα=yr ，cosαxr，tanα=yx（x≠0），证明（1）时可由左边入手 sin2α cos2α=（yr）2 （xr）2=x2 y2r2，而x2 y2=r2 即可证。证明（2）时需由右边sinαcosα =yx证其等于左边。从而得到同角三角函数关系式，这种代数的运算和化简，学生亲历化简、证明的过程，对于公式的理解和记忆起到事半功倍的效果。再结合课本上的几何导入，诠释了正弦、余弦、正切值之间的关系，这也就是我们所谓的备课中的“备学生、备学情”。毕竟我们的学生对于代数化的内容理解起来更容易一些，很多的内容也可以以学生容易理解和记忆的方式呈现。
三、 借助课后练习题，巩固课堂教学
新课程教材中的练习题和习题是结合教材精心编排的，对于巩固课堂内容、提高学生的思考和探索能力有提升的作用。我们发现很多试题都是由课后练习变式得到的。原因很简单，课后练习的设置是为了巩固学生知识而设置的，具有很强的代表性，是课程标准中对学生的“双基”考察的具体呈现。
如1.2.1《任意角的三角函数》课后练习T5是根据角确定正弦、余弦、正切值的符号，只要找到角所在的象限便可，而T6则是T5的变式，根据余弦和正切值的符号确定角所在的象限，训练学生的逆向思维。要求学生对于任意角的三角函数值在各个象限的符号要记忆清楚，而这一知识点则是由三角函数的定义中x，y的符号确定的。将本节的内容串在了一起，学生找到知识点之间的联系，对于本节内容的理解和应用都有深入的提升。又如1.2.2《同角三角函数关系》中练习T2巩固例题1，学生模仿例1进行求解。而在做T3时则要注意，去掉了角所在的象限，在求解时应该讨论角所在的象限，进行分类讨论。而这一方法就可以直接应用到T4中。学生弄清楚T2、T3、T4之间的关系，对于以后出现的利用同角三角函数进行求值题就不会遗漏，应用自如。
四、 借助课后练习题，拓展思维能力
数学课要是想讲的精彩、有深度，除了要清晰的展现知识结构、基础题型，对于重点题型进行变式就成为当堂课的亮点。而单纯的从例题中变式学生不太容易接受，只有学生在掌握该题型基础之上的变式才是有效的。以此教师在备课时“备教材”上要多花些功夫，适时、有效的变式能够拓展学生的数学思维能力。
如1.2.1课后练习中，完成练习T1、T2的讲解，可以要求学生完成变式1：
若角 的终边经过点P（4a，-3a）（a≠0），求sin α，cos α的值。
分析：模仿例题步骤，先求出r=（4a）2 （-3a）2 =25a2，由于a≠0且r>0所以r=5︳a︳ ，从而分a>0和a<0两种情况分类讨论。巩固了解题的过程，培养学生严谨的分析和思考的能力。
变式2：若点P在角 -23π的终边上，且到原点的距离为2，则点P的坐标为_______
分析：条件1“若点P在角 -23π的终边上”可以求出点P所在终边角的正弦、余弦值分别为sin（-23π）=-32，cos（-23π）=-12条件2“点P到原点的距离为2”即r=2，需要逆用三角函数的定义sin（-23π）=-32=yr ，cos（-23π）=-12=yr， 进行求解，从而得到x=-1，y=-3即P（-1，-3） .本题需要引导学生在分析题目条件时，要适时的将题目条件转换成数学符号，然后找到相关的定义和公式以及适用的题型，这就需要学生灵活的运用知识点进行相关的变形与应用。有助于提高学生的逆向思维的能力。
许多课后练习题的设置也有一定的探究性。如1.2.1练习T8要求根据单位圆中的正弦线和余弦线，发现正弦函数值有怎样的变化规律？本题通过角在各个象限的变化可以总结出对应正弦值的变化，为后面学习三角函数单调性作了铺垫。学生通过观察和思考总结出来的规律，在画出三角函数图象之后得到了验证，相信学生的学习数学的兴趣会更加的浓厚。课本上的许多结论他们也能总结出来，增加的学生学习数学的自信。
而一节内容后习题中“思考 运用”，“探究 拓展”的设置，更是对本节内容的拓展，学生通过研究、讨论总结出来的结论和解题的方法，可以提高学生对于本节知识的认识。对一些学有余力的学生来说，是既吃饱又吃好。
五、 借助课后练习题，构建知识结构
教学中发现，学生对于当堂知识和题型容易掌握。在学完一节几课时的内容后，如果让其讲出这几课时的内容是什么、有哪些题型时、需要注意什么的时候，学生往往无从说起。不是学生对于知识点和题型没掌握，而是我们的学生课后不重视总结和归纳。高中数学课堂容量大，知识点和题型多。学生掌握的知识点零散，没有系统性。而练习题和习题包含了本节的重点和难点，学生在复习的时候可以将习题中题目进行归类，并和相应的知识点对接，一边检验知识点的掌握情况，一边训练解题和思考的能力，系统的复习本节的内容，帮助学生构建了本节的知识结构。在习题中 “感受 理解”，“思考 运用”，“探究 拓展”三个等级的设置，实现了练习的分层，给学生提供多层次、多种类的选择，以满足不同层次学生发展的需要。由此可见，练习题将课堂所学的内容延伸到了课后的复习中，而且具有很强的指导性意义。
因此，对于课后练习题的认识不再是课后的练习题，做一做就算了的，教师在今后的教学中应该用于指导学生预习、巩固和复习，将这些练习和习题渗透到课前、课中、课后，并带动学生共同完成，有助于优化数学的教学。夯实“双基”，提高学生的自主学习、合作探究的积极性，提升学生学习数学的兴趣和自信。
参考文献
[1]张同峰 《要充分认识课后习题的重要性》《中学生数理化（高中版）》 2005年01期
[2]《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》2007年6月第三版P11-P23