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摘 要:初一代数中由两个或两个以上基本等量关系复合而成的应用题是很普遍的。本文主要介绍了运用类比法将此类问题与行程问题作比较,找出共同点,从而突变此类问题的难点,进一步培养学生分析问题与解决问题的能力。
关键词:初一代数 类比法 行程问题
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00112-02
初一代数列方程求解的应用题有很多基本类型,它们各自的基本等量关系各不相同,多而杂且容易混淆,从而成为学生学习过程中的难点。运用类比的方法,找出它们的共同特点,可以使学生触类旁通,突破列方程解应用题的难关。
一 运用类比方法,探寻共同规律
匀速直线运动中,单位时间内通过的路叫做速度,用v表示,用t表示物体运动的时间,用S表示物体在时间t内通过的路程,则有v·t=S。这就是中学数学中的行程问题,它的基本等量关系是:速度×时间=路程。初一学生对行程问题个个都有生活经验,人人都具有基本相同的知识平台。如果学生能将其它基本问题同行程问题类比分析求解,无疑会收到事倍功半的效果。
例1,一辆汽车计划每小时行驶80km,几小时后,这两汽车将行驶20800km?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(上)6页第8题,有改动)
显然,例1是行程问题,它的基本等量关系是:速度×时间=路程。然而,如果把汽车行驶20800km看成是给驾驶员的一项任务,那么此题又是一个工程问题:汽车行驶20800km就是工作总量,而每小时行驶80km就是工作效率,行驶完20800km所用的时间就是工作时间。它的基本等量关系是:工作效率×工作时间=工作总量。这就是说,行程问题可以看成工程问题,工程也可以看成行程问题。
事实上,几乎所有的行程问题都可以看成工程问题;反之,所用的工程问题都可以看成行程问题。即遇到行程问题时可以与工程问题类比,遇到工程问题时可以与行程问题类比。
例2,某商店在某一时间以60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,问该衣服的进价是多少元?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(上)第95页探究,有改动)
这是商品交换中的利润率问题,它的基本等量关系是:商品利润率×商品进价=商品的利润。其中,商品的利润=商品的售价-商品的进价。把它与行程问题比较,基本等量关系中商品的利润率可以看成“速度”;商品的进价可以看成“时间”;商品的利润可以看成“路程”。也就是说,遇到商品的利润率问题时,可以把它与行程问题类比。
例3,一个长方形的长减少5㎝,宽增加2㎝,就成为一个正方形,并且这两个图形的面积相等,问这个长方形的长宽各是多少?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(下)第104页第9题)
这是矩形的面积问题,它的基本等量关系是:矩形的长×矩形的宽=矩形的面积。基本关系中矩形的长可以看成行程问题中的“速度”;矩形的宽可以看成行程问题中的“时间”;矩形的面积可以看成行程问题中的“路程”。这就是说,遇到矩形的面积问题时,可以把它与行程问题类比。
把上面的行程问题、工程问题、商品的利润率问题、矩形的面积问题组成一个类比表(如下):
分析此表不难发现,这些基本等量关系有一个共同特征:两个量的乘积等于第三量,并且都可以同行程问题类比。
据此,把基本等量关系中,凡具有两个量的乘积等于第三个量的实际问题,都可以与我们所熟习的行程问题类比。当学生认识了这一特征时,列方程解应用题就可以举一反三,收到事半功倍的效果。事实上浓度问题、利息问题、打折问题、纳税问题、产量问题等等都可以与行程问题比较类比。
二 抓住规律,突破难关
例4,某种商品的进价是250元,按标价的九折销售时,利润为15.2%,这种商品的标价是多少元?(选自人教版2005年6月第2版九义教材七年级(上)第100页第4题。)
分析:此题由商品的利润率问题和打折问题复合而成,它的基本关系是:商品的利润率×商品进价=商品利润和标价折数×标价=售价。设该商品的标价为x元,把与题相关的基本等量关系和数据同行程问题类比列表如下:
根据题中商品利润=商品售价-商品进价,这一等量关系列方程为:x·90%-250=250·15.2%
解这个方程得x=320,即此商品标价为320元。
例5,甲乙两种作物的单位面积产量是1:1.5,现要把一块长200m、宽100m的长方形分成两块小长方形土地,分别种植这两种作物,怎样划分这块土地,使甲乙两种作物的总产量的比是3:4(结果保留整数)?(选自人教版2005年6月第2版九义教材七年级(下)第106页探究2)
分析:此题由面积问题和产量问题复合而成,它的基本等量关系分别是:矩形的长×矩形的宽=矩形的面积和单产×面积=总产。把与题相关的基本等量关系和数据同行程问题类比列表如下:
设种植甲种作物的长方形长为xm,乙种作物的长方形长为ym,根据种植甲种作物的长方形的长+种植乙种作物的长方形的长=200m和甲种作物的总产量:乙种作物的总产量=3:4两个相等关系,列方程组为:x+y=200100x·1:100y·1.5=3:4
解这个方程组得x=107y=93,即种植甲种作物的长方形长为107m,种植乙种作物的长方形长为93m。
初一代数中由两个或两个以上基本等量关系复合而成的应用题是很普遍的,把它们与行程问题类比同课本上的方法相结全,可以进一步培养和增强分析问题、解决问题的能力,从而突破列方程解应用题的难关。
关键词:初一代数 类比法 行程问题
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00112-02
初一代数列方程求解的应用题有很多基本类型,它们各自的基本等量关系各不相同,多而杂且容易混淆,从而成为学生学习过程中的难点。运用类比的方法,找出它们的共同特点,可以使学生触类旁通,突破列方程解应用题的难关。
一 运用类比方法,探寻共同规律
匀速直线运动中,单位时间内通过的路叫做速度,用v表示,用t表示物体运动的时间,用S表示物体在时间t内通过的路程,则有v·t=S。这就是中学数学中的行程问题,它的基本等量关系是:速度×时间=路程。初一学生对行程问题个个都有生活经验,人人都具有基本相同的知识平台。如果学生能将其它基本问题同行程问题类比分析求解,无疑会收到事倍功半的效果。
例1,一辆汽车计划每小时行驶80km,几小时后,这两汽车将行驶20800km?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(上)6页第8题,有改动)
显然,例1是行程问题,它的基本等量关系是:速度×时间=路程。然而,如果把汽车行驶20800km看成是给驾驶员的一项任务,那么此题又是一个工程问题:汽车行驶20800km就是工作总量,而每小时行驶80km就是工作效率,行驶完20800km所用的时间就是工作时间。它的基本等量关系是:工作效率×工作时间=工作总量。这就是说,行程问题可以看成工程问题,工程也可以看成行程问题。
事实上,几乎所有的行程问题都可以看成工程问题;反之,所用的工程问题都可以看成行程问题。即遇到行程问题时可以与工程问题类比,遇到工程问题时可以与行程问题类比。
例2,某商店在某一时间以60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,问该衣服的进价是多少元?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(上)第95页探究,有改动)
这是商品交换中的利润率问题,它的基本等量关系是:商品利润率×商品进价=商品的利润。其中,商品的利润=商品的售价-商品的进价。把它与行程问题比较,基本等量关系中商品的利润率可以看成“速度”;商品的进价可以看成“时间”;商品的利润可以看成“路程”。也就是说,遇到商品的利润率问题时,可以把它与行程问题类比。
例3,一个长方形的长减少5㎝,宽增加2㎝,就成为一个正方形,并且这两个图形的面积相等,问这个长方形的长宽各是多少?(摘自人教版2005年6月第2版九义教科书七年级(下)第104页第9题)
这是矩形的面积问题,它的基本等量关系是:矩形的长×矩形的宽=矩形的面积。基本关系中矩形的长可以看成行程问题中的“速度”;矩形的宽可以看成行程问题中的“时间”;矩形的面积可以看成行程问题中的“路程”。这就是说,遇到矩形的面积问题时,可以把它与行程问题类比。
把上面的行程问题、工程问题、商品的利润率问题、矩形的面积问题组成一个类比表(如下):
分析此表不难发现,这些基本等量关系有一个共同特征:两个量的乘积等于第三量,并且都可以同行程问题类比。
据此,把基本等量关系中,凡具有两个量的乘积等于第三个量的实际问题,都可以与我们所熟习的行程问题类比。当学生认识了这一特征时,列方程解应用题就可以举一反三,收到事半功倍的效果。事实上浓度问题、利息问题、打折问题、纳税问题、产量问题等等都可以与行程问题比较类比。
二 抓住规律,突破难关
例4,某种商品的进价是250元,按标价的九折销售时,利润为15.2%,这种商品的标价是多少元?(选自人教版2005年6月第2版九义教材七年级(上)第100页第4题。)
分析:此题由商品的利润率问题和打折问题复合而成,它的基本关系是:商品的利润率×商品进价=商品利润和标价折数×标价=售价。设该商品的标价为x元,把与题相关的基本等量关系和数据同行程问题类比列表如下:
根据题中商品利润=商品售价-商品进价,这一等量关系列方程为:x·90%-250=250·15.2%
解这个方程得x=320,即此商品标价为320元。
例5,甲乙两种作物的单位面积产量是1:1.5,现要把一块长200m、宽100m的长方形分成两块小长方形土地,分别种植这两种作物,怎样划分这块土地,使甲乙两种作物的总产量的比是3:4(结果保留整数)?(选自人教版2005年6月第2版九义教材七年级(下)第106页探究2)
分析:此题由面积问题和产量问题复合而成,它的基本等量关系分别是:矩形的长×矩形的宽=矩形的面积和单产×面积=总产。把与题相关的基本等量关系和数据同行程问题类比列表如下:
设种植甲种作物的长方形长为xm,乙种作物的长方形长为ym,根据种植甲种作物的长方形的长+种植乙种作物的长方形的长=200m和甲种作物的总产量:乙种作物的总产量=3:4两个相等关系,列方程组为:x+y=200100x·1:100y·1.5=3:4
解这个方程组得x=107y=93,即种植甲种作物的长方形长为107m,种植乙种作物的长方形长为93m。
初一代数中由两个或两个以上基本等量关系复合而成的应用题是很普遍的,把它们与行程问题类比同课本上的方法相结全,可以进一步培养和增强分析问题、解决问题的能力,从而突破列方程解应用题的难关。