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摘 要：教学“函数的单调性”时，应从函数的基本概念出发，引导学生将直观粗略的几何图像转化为抽象精细的代数关系；以“集合—对应”语言为抓手，引导学生将复杂的无限模式转化为简单的有限模式，从而充分理解函数单调性的本质。具体可分“分析一次函数f（x）=kx”“分析二次函数f（x）=x2”“分析一般函数”“剖析序关系”四个步骤进行。
关键词：教育数学 函数单调性 “集合—对应”语言
作为中学数学的核心概念之一，函数是描述事物变化过程中数量关系的基本模型，函数的单调性是刻画函数变化规律的重要工具。在高中学习“函数的单调性”时，学生已经有了从家到学校“两点一线”“单调不变”的生活经验以及一次函数、二次函数、反比例函数图像“上升、下降”“单调变化”的数学经验，但是缺乏运用文字、符号语言，精确、细致地描述现象，定义概念的能力。
教育数学认为要“从头脑中找概念”，就是要基于已有的知识和经验，理解新的知识和经验。在高中，函数概念是通过“集合—对应”语言来精细定义的。因此，教学“函数的单调性”时，教师应从函数的基本概念出发，引导学生将直观粗略的几何图像转化为抽象精细的代数关系；以“集合—对应”语言为抓手，引导学生将复杂的无限模式转化为简单的有限模式，从而充分理解函数单调性的本质。
一、教材分析：从物理操作到心理操作
人教版高中数学教材先给出一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图像，引导学生发现“上升”“下降”的特征；再列出二次函数f（x）=x2的对应值表，引导学生明确“随着x的增大，f（x）增大或减小”；然后利用二次函数f（x）=x2的解析式，引导学生得到“当x1f（x2）”的描述，从而引出函数单调性的定义。
上述教材设计大体上是可取的，但是也具有一定的局限性。具体而言，通过粗略观察宏观图像和具体计算几个数值，发现函数变化规律，判断函数的性质，属于直观感知和归纳推理，其结论不一定可靠。此时，学生还处于物理操作阶段，没有进入心理操作阶段，只是经验性地认识了函数的单调性，没有思辨性地领会到函数的本质对单调性的形成的基础重要性。因此，需要从对解析式的精细分析中，跨越直观走向抽象，跨越具体走向一般。
二、教学改进：基于“集合—对应”语言
（一）分析一次函数f（x）=kx
两点确定一条直线，即可以用有限个点来表示无限个点，故探求一次函数f（x）=kx的变化规律只需取两点。从“集合—对应”语言出发，任取x轴上的两点x1、x2，x1→f（x1）与x2→f（x2）均是一一对应，两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））可以确定一条直线，即这两点的运动轨迹：直线f（x）=kx。对于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，若kAB>0，则当x1 因此，对于直线模型，欲判断其单调性，只需任取x1、x2∈R：若当x1f（x2），则一次函数为减函数。
（二）分析二次函数f（x）=x2
二次函数f（x）=x2不再是简单的直线，而是复杂的曲线。从“集合—对应”语言出发，对于x轴上的任意两点x1、x2，经过一一对应可以得到f（x1）=x21、f（x2）=x22两个相应的函数值，从而得到两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），这两点可以确定一条直线。当两点x1、x2取遍x轴上的所有值时，两点A、B可以跑遍整条曲线，直线AB可以取遍曲线的所有割线和切線（当两点重合时，即为切线）。
无论是割线，还是切线，都可以帮助我们从直线的性状来了解曲线的性状，即可以把对二次函数单调性的探究化归到对直线性状的探究。对于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，当kAB<0时，若x1f（x2），说明直线的变化趋势在此区间上一直都是向下的，也就表明二次函数f（x）=x2在此区间上的变化趋势是单调递减的；单调递增的情况是类似的。
这样，就得到了二次函数单调性的判断法：对任意x1、x2∈（-∞，0），若x1f（x2），所以f（x）=x2在此区间上单调递减；对任意x1、x2∈（0，+∞），若x1 （三）分析一般函数
可以发现，不论是比较简单的直线模型，还是较为复杂的曲线模型，都可以从“集合-对应”语言出发，通过分析两点所确定的直线的变化规律来探究函数的单调性。基于此，不难想到利用同样的方法探究一般函数模型的单调性，即从直线的角度认识曲线。
以图1所示函数的单调性探究为例，具体步骤如下：（1）找自变量的代表。因为自变量在水平直线上变动，故可用两点来代替，如图2所示。（2）从自变量到因变量作对应。给定x轴上的两个值x1、x2，对应之后得到与之相对应的函数值f（x1）与f（x2），如图3所示。（3）作直线。过两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））作直线，如图4所示。（4）利用直线的性状研究曲线的性态。
函数的单调性其实说的是自变量的变化与因变量的变化是否同步的问题。自变量在水平轴上变化，对一系列x1 经过这样的处理，如果要定义函数在某一区间上的单调性，进行两次“简化”即可。以定义单调增函数为例，在区间（a，b）上对自变量x取定一系列值x1 从更深层次剖析，单调性乃是序关系的体现，故要从“集合—对应—关联”思想入手理解。排序不等式指出，若x1x2y1+x1y2，变形可得（x1-x2）（y1-y2）>0，即y2-y1x2-x1>0。这就是单调性定义的一种变式表达。因此，函数的单调性同时考虑自变量的序和因变量的序，还考虑两者的关联（对应，内在逻辑）。这些见解的获得，均需要对已有知识进行“重认识”和“再建构”，对头脑中获得的经验进行思辨。
参考文献：
[1] 庞雅丽，徐章韬.单调性：从思想到技巧[J].数学通报，2012（10）.
[2] 涂荣豹.“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J].数学教育学报，2004（11）.
关键词：教育数学 函数单调性 “集合—对应”语言
作为中学数学的核心概念之一，函数是描述事物变化过程中数量关系的基本模型，函数的单调性是刻画函数变化规律的重要工具。在高中学习“函数的单调性”时，学生已经有了从家到学校“两点一线”“单调不变”的生活经验以及一次函数、二次函数、反比例函数图像“上升、下降”“单调变化”的数学经验，但是缺乏运用文字、符号语言，精确、细致地描述现象，定义概念的能力。
教育数学认为要“从头脑中找概念”，就是要基于已有的知识和经验，理解新的知识和经验。在高中，函数概念是通过“集合—对应”语言来精细定义的。因此，教学“函数的单调性”时，教师应从函数的基本概念出发，引导学生将直观粗略的几何图像转化为抽象精细的代数关系；以“集合—对应”语言为抓手，引导学生将复杂的无限模式转化为简单的有限模式，从而充分理解函数单调性的本质。
一、教材分析：从物理操作到心理操作
人教版高中数学教材先给出一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图像，引导学生发现“上升”“下降”的特征；再列出二次函数f（x）=x2的对应值表，引导学生明确“随着x的增大，f（x）增大或减小”；然后利用二次函数f（x）=x2的解析式，引导学生得到“当x1
上述教材设计大体上是可取的，但是也具有一定的局限性。具体而言，通过粗略观察宏观图像和具体计算几个数值，发现函数变化规律，判断函数的性质，属于直观感知和归纳推理，其结论不一定可靠。此时，学生还处于物理操作阶段，没有进入心理操作阶段，只是经验性地认识了函数的单调性，没有思辨性地领会到函数的本质对单调性的形成的基础重要性。因此，需要从对解析式的精细分析中，跨越直观走向抽象，跨越具体走向一般。
二、教学改进：基于“集合—对应”语言
（一）分析一次函数f（x）=kx
两点确定一条直线，即可以用有限个点来表示无限个点，故探求一次函数f（x）=kx的变化规律只需取两点。从“集合—对应”语言出发，任取x轴上的两点x1、x2，x1→f（x1）与x2→f（x2）均是一一对应，两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））可以确定一条直线，即这两点的运动轨迹：直线f（x）=kx。对于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，若kAB>0，则当x1
（二）分析二次函数f（x）=x2
二次函数f（x）=x2不再是简单的直线，而是复杂的曲线。从“集合—对应”语言出发，对于x轴上的任意两点x1、x2，经过一一对应可以得到f（x1）=x21、f（x2）=x22两个相应的函数值，从而得到两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），这两点可以确定一条直线。当两点x1、x2取遍x轴上的所有值时，两点A、B可以跑遍整条曲线，直线AB可以取遍曲线的所有割线和切線（当两点重合时，即为切线）。
无论是割线，还是切线，都可以帮助我们从直线的性状来了解曲线的性状，即可以把对二次函数单调性的探究化归到对直线性状的探究。对于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，当kAB<0时，若x1
这样，就得到了二次函数单调性的判断法：对任意x1、x2∈（-∞，0），若x1
可以发现，不论是比较简单的直线模型，还是较为复杂的曲线模型，都可以从“集合-对应”语言出发，通过分析两点所确定的直线的变化规律来探究函数的单调性。基于此，不难想到利用同样的方法探究一般函数模型的单调性，即从直线的角度认识曲线。
以图1所示函数的单调性探究为例，具体步骤如下：（1）找自变量的代表。因为自变量在水平直线上变动，故可用两点来代替，如图2所示。（2）从自变量到因变量作对应。给定x轴上的两个值x1、x2，对应之后得到与之相对应的函数值f（x1）与f（x2），如图3所示。（3）作直线。过两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））作直线，如图4所示。（4）利用直线的性状研究曲线的性态。
函数的单调性其实说的是自变量的变化与因变量的变化是否同步的问题。自变量在水平轴上变化，对一系列x1
参考文献：
[1] 庞雅丽，徐章韬.单调性：从思想到技巧[J].数学通报，2012（10）.
[2] 涂荣豹.“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J].数学教育学报，2004（11）.