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摘 要:变式教学作为一种有效的教学策略,在实践中被广泛应用并发挥着积极作用。为增强变式教学的针对性与有效性,以下几点需要倍加关注:(1)加强对变式教学本质的理解;(2)注意变式的“量”与“度”;(3)适时地归纳、概括、总结;(4)渗透变中不变的思想;(5)既要关注概念性变式,也要关注过程性变式;(6)提高学生的智力参与程度。
关键词:变式教学;数学;注意点
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2009)06-0037-03
变式教学作为一种传统的、典型的数学教学方式,它不仅有着广泛的理论基础,而且也经过了实践的检验(青浦实验等)。实践证明:变式教学是一种有效的教学策略,而且历年的中考、高考中均有部分试题是教材中结论、例题、习题的变式。因此,教学中必须足够重视变式,并要科学地、恰当地运用,只有这样才能最大可能地发挥其应有的作用。
一、变式教学简介
变式是通过变更对象的非本质特征,变更观察事物的角度或方法,突出对象的本质特征,突出那些隐蔽的本质要素;[1]变式教学则是通过变式的方法与途径进行教学,让学生在变式中思维,在变式中把握知识的本质和规律。数学变式教学通常泛指:基本概念、定理、命题的辨析;公式的变形及应用;一题多解、一法多用;此外,还包括知识形成过程中问题的设计等。
变式教学一般包括“概念性变式”和“过程性变式”两个方面。概念性变式是利用概念变式与非概念变式,揭示概念的本质属性和非本质属性,使学生获得对概念的多角度理解,进而建立新概念与已有概念的本质联系;过程性变式是通过变式展示知识的发生、发展、形成过程,使学生理解知识的来龙去脉,形成知识网络,从而抓住问题的本质,加深对问题的理解[2]。
变式教学的主要作用:有助于学生更好地理解知识,促进知识正迁移;有助于学生形成良好的知识网络,优化认知结构;可以增加有效认知负荷,促进学生灵活地、创造性地进行学习;有助于把师生真正从题海中解放出来,减轻学生学业负担;可以用来评价学生对知识的掌握程度,提高教与学的效率等。
二、变式教学应注意的几个问题
由于对变式教学的本质及相关问题认识不清,在变式教学中经常出现“片面”适从,或“形式”跟从的现象,导致了变式教学的异化、形式化(诸如演变成题海战术等)。为了更好地发挥变式教学的作用,切实提高教学效率,以下几点需要加倍关注与重视。
1.加强对变式教学本质的理解。
变式的本质究竟是什么?对具体的学科而言,变式到底应该变什么?怎么变?这些问题都是教师首先要明确的,明确以后能够增强变式教学的针对性与有效性。
变式教学的本质是通过改变知识的非本质属性,多角度的凸显知识的本质属性。它的目的是帮助学生更准确、全面、深刻地理解知识。在此过程中,什么在变?知识的外在表现形式、非本质属性在变。什么不变?知识的本质属性、根本特征不变。
怎么变,即变式有哪些基本方式和途径?对于数学而言,变式的形式主要包括:(1)变换解题方法,也就是常见的一题多解,多题一解,解决一类问题等;(2)对例题、习题的变化或引申,比如将问题一般化、特殊化,改变条件、结论或互换条件结论等;(3)变换问题的呈现方式,如改变题目的背景,改变问题的题型(变封闭题型为开放题型)等;(4)改变数字、改变符号,如解决一元一次方程的问题,都是对ax b=c这种一般形式进行数字、符号的变化。
2.注意变式的“量”与“度”。
把握变式的量很重要。变式并不是多多益善,需要追求质的提高,也就是说变式不在多,而在精,关键是要有典型性和代表性。变式数量过多,容易异化为题海战术,加重学生负担,带来不良影响;当然也要避免过少,过少则达不到预期的效果。
比如,等差数列概念中涉及了3个变量:a1、d 、an .因此只需要3类变式即可:在数列{an}中,(1)已知a1、d,求an;(2)已知a1、an,求d;(3)已知an、d,求a1 .其它的题目都是在此基础上进行的变化与综合。
把握变式的度也很重要,主要是指难度。难度太小,也容易演变为题海战术,比如只是变换数字、符号,往往起不了太大作用。有一定难度的变式,才能较好地激发学生积极思考,促进学生思维发展。因此,变式教学要避免简单地重复。变式的难度太大,则又走到了另一个极端:学生不能掌控,容易产生挫败感,失去信心与兴趣,也不能产生高层次思维。[3]变式要由易到难,层层递进,变式的度掌握在“学生跳一跳,够得着”即可,也就是说变式要尽可能在学生思维与知识的“最近发展区”内进行。
3.适时地归纳、概括、总结。
既然变式是对知识非本质属性进行的变化,那么,变式的表现形式自然就千差万别。因此,如果拘泥于变式的表面形式,而不能从中总结、概括出一般的规律与结论,不把握知识的本质属性,还是不能深刻理解与掌握知识。缺乏必要的归纳、概括、总结,容易造成“只见树木,不见森林”的片面认识;何况对知识一知半解,也不利于知识的有效迁移。
适时地归纳、概括、总结是必要的,也很重要,这也是变式教学的本质所要求的。首先,适时地归纳、概括、总结,有利于学生掌握知识的核心内容,掌握解决一类问题的方法与技能;其次,通过这种方式可以促使学生最大可能地理解知识,了解知识之间的相互联系,提高知识的使用效率,这也有助于学生形成有效的、优化的知识结构;第三,在一定程度上,它还可以培养学生思维的深刻性,提高学生的概括能力与反思能力。
总之,变式讲解结束以后,一定要适时地加以归纳、概括、总结。它可以由教师引导学生进行,也可以由学生独自进行。关键在于使学生深刻地掌握知识的本质属性,系统地了解知识的来龙去脉及其相互关系。
4.渗透“变”中“不变”的思想。
变中不变是重要的数学思想之一。但是,对于变式教学,我们往往过多地关注或者局限于变式中变化的部分,忽视变式中最本质的内容——不变的部分。
套用文学写作中常见的一句话:变式实际上是“形散神不散”。“形”就是指这些变式的外在表现形式、表面特征,也就是非本质属性,它是不断变化的;“神”就是指变式的本质属性,它一直都没有变,也不会变。
在变式教学中,教师要有意识地引导学生从“变”的表象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探求“变”的规律,逐步增强学生的应变能力;培养其灵活多变的思维品质;培养其探索精神和创新意识,从而把知识的理解能力的提高真正落到实处。毕竟,“变”是为了更好地领会与掌握“不变”。
以“函数y = Asin(ωx φ)的图象”为例。函数图象随着A、ω、φ的变化而不断地改变,那么,这样的变化有没有规律可循呢?如果有,规律是什么?规律就是不变性。尽管在A、ω、φ取具体的数以后,y = Asin(ωx φ)变成了不同的函数,但它们依然存在着不变的成分:A变化时,函数的值域在变,但定义域、周期不变;φ变化时,函数图象的形状没有改变,定义域、值域也没有变化,变化的只是图象的位置:图象发生了平移;ω变化时,函数的周期改变,但函数的定义域、值域不变。(注:这里只针对一个变量而言。)理解这些“变中不变”的关系之后,学生再解决相关的题目方能游刃有余、从容不迫,达到以不变应万变的能力要求。
5.既要关注概念性变式,也要关注过程性变式。
综观变式教学的研究成果,可以看出:目前关于变式教学的研究大部分是围绕概念性变式进行的,或者说主要研究的是某些特定概念或习题如何变化、它们有哪些变式之类,对于过程性变式关注偏少,换言之,过程性变式还没有引起足够的重视。
其实,变式教学既适用于数学概念的掌握,也适用于数学活动经验的增长。概念性变式有助于解释概念的内涵及外延;过程性变式有助于帮助学生了解前后知识的联系,形成良好的知识结构。[2]前者主要是促进学生多角度理解知识,后者是帮助学生建立新旧知识的非人为和实质性联系。两者兼顾基础知识与高层次思维,共同服务于数学教学。
比如,学习“三角函数诱导公式”时,不能仅仅关注和强调公式的记忆、使用(当然这也很重要),更重要的是通过精心设计的一系列问题(包括运用启发性提示语等),引导学生思考公式的由来、推导的过程与方法,使他们了解知识的来源,并在一定程度上获得研究问题的一般方法。从某种意义上说,这比知识本身更有价值。
加强过程性变式的教学,可以帮助学生更好地理解知识的来龙去脉,相对全面地掌握知识,形成良好的知识网络。总之,教学过程中应该尽量地向学生展示知识的来源、发生、发展的过程,即应该重视过程性变式的教学。
6.提高学生的智力参与程度。
变式不是教师的“专利”,变式不一定都由教师给出,可以让学生自己提。让学生主动探索,围绕“源题”进行相关的变化,自己编题目,让“冰冷的美丽变成火热的思考”。
在此过程中,学生能更好的了解哪些部分可以变、怎么变,从而获得对知识更深刻地理解。这有利于学生进一步认清知识的本质、掌握知识,而且有利于调动学生学习的积极性,增强学生的学习兴趣,在一定程度上还可以培养学生的创新意识以及提高学生举一反三的能力。
当然,此时依然离不开教师恰当的启发与引导。比如,在教学“两角和与差的余弦公式”这节内容时,经过推导得出公式以后,教师可以启发学生:“有了这两个公式你们打算干什么?”“你能干什么?”“你能试着自己编写一些题目并解答吗?”等等。让学生积极、主动地参与变式教学,也是尊重学生主体地位和提高学生智力参与程度的重要表现。
三、结束语
著名数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围再找一找,很可能附近还有好几个。”变式就是如此。
变式教学是广大教师十分熟悉的教学思想、教学策略。但如上所述,对变式教学的认识还存在一些不足,因此在教学过程中要尽量避免,这样才能更好地发挥变式教学的作用。毕竟,只有组织合理的变式才能真正有效地促进学生的有意义的主动学习,帮助学生构建良好的知识结构,进而发展他们灵活的问题识别、问题解决能力,最终提高教学效率。
参考文献:
[1]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999.98.
[2]鲍建生,黄荣金,易凌峰,顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学,2003,(1):11～12.
[3]孙旭花,黄毅英,林智中,张奠宙.问题变式:结构与功能的统一[J].课程·教材·教法,2006,26,(5):38～42.
关键词:变式教学;数学;注意点
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2009)06-0037-03
变式教学作为一种传统的、典型的数学教学方式,它不仅有着广泛的理论基础,而且也经过了实践的检验(青浦实验等)。实践证明:变式教学是一种有效的教学策略,而且历年的中考、高考中均有部分试题是教材中结论、例题、习题的变式。因此,教学中必须足够重视变式,并要科学地、恰当地运用,只有这样才能最大可能地发挥其应有的作用。
一、变式教学简介
变式是通过变更对象的非本质特征,变更观察事物的角度或方法,突出对象的本质特征,突出那些隐蔽的本质要素;[1]变式教学则是通过变式的方法与途径进行教学,让学生在变式中思维,在变式中把握知识的本质和规律。数学变式教学通常泛指:基本概念、定理、命题的辨析;公式的变形及应用;一题多解、一法多用;此外,还包括知识形成过程中问题的设计等。
变式教学一般包括“概念性变式”和“过程性变式”两个方面。概念性变式是利用概念变式与非概念变式,揭示概念的本质属性和非本质属性,使学生获得对概念的多角度理解,进而建立新概念与已有概念的本质联系;过程性变式是通过变式展示知识的发生、发展、形成过程,使学生理解知识的来龙去脉,形成知识网络,从而抓住问题的本质,加深对问题的理解[2]。
变式教学的主要作用:有助于学生更好地理解知识,促进知识正迁移;有助于学生形成良好的知识网络,优化认知结构;可以增加有效认知负荷,促进学生灵活地、创造性地进行学习;有助于把师生真正从题海中解放出来,减轻学生学业负担;可以用来评价学生对知识的掌握程度,提高教与学的效率等。
二、变式教学应注意的几个问题
由于对变式教学的本质及相关问题认识不清,在变式教学中经常出现“片面”适从,或“形式”跟从的现象,导致了变式教学的异化、形式化(诸如演变成题海战术等)。为了更好地发挥变式教学的作用,切实提高教学效率,以下几点需要加倍关注与重视。
1.加强对变式教学本质的理解。
变式的本质究竟是什么?对具体的学科而言,变式到底应该变什么?怎么变?这些问题都是教师首先要明确的,明确以后能够增强变式教学的针对性与有效性。
变式教学的本质是通过改变知识的非本质属性,多角度的凸显知识的本质属性。它的目的是帮助学生更准确、全面、深刻地理解知识。在此过程中,什么在变?知识的外在表现形式、非本质属性在变。什么不变?知识的本质属性、根本特征不变。
怎么变,即变式有哪些基本方式和途径?对于数学而言,变式的形式主要包括:(1)变换解题方法,也就是常见的一题多解,多题一解,解决一类问题等;(2)对例题、习题的变化或引申,比如将问题一般化、特殊化,改变条件、结论或互换条件结论等;(3)变换问题的呈现方式,如改变题目的背景,改变问题的题型(变封闭题型为开放题型)等;(4)改变数字、改变符号,如解决一元一次方程的问题,都是对ax b=c这种一般形式进行数字、符号的变化。
2.注意变式的“量”与“度”。
把握变式的量很重要。变式并不是多多益善,需要追求质的提高,也就是说变式不在多,而在精,关键是要有典型性和代表性。变式数量过多,容易异化为题海战术,加重学生负担,带来不良影响;当然也要避免过少,过少则达不到预期的效果。
比如,等差数列概念中涉及了3个变量:a1、d 、an .因此只需要3类变式即可:在数列{an}中,(1)已知a1、d,求an;(2)已知a1、an,求d;(3)已知an、d,求a1 .其它的题目都是在此基础上进行的变化与综合。
把握变式的度也很重要,主要是指难度。难度太小,也容易演变为题海战术,比如只是变换数字、符号,往往起不了太大作用。有一定难度的变式,才能较好地激发学生积极思考,促进学生思维发展。因此,变式教学要避免简单地重复。变式的难度太大,则又走到了另一个极端:学生不能掌控,容易产生挫败感,失去信心与兴趣,也不能产生高层次思维。[3]变式要由易到难,层层递进,变式的度掌握在“学生跳一跳,够得着”即可,也就是说变式要尽可能在学生思维与知识的“最近发展区”内进行。
3.适时地归纳、概括、总结。
既然变式是对知识非本质属性进行的变化,那么,变式的表现形式自然就千差万别。因此,如果拘泥于变式的表面形式,而不能从中总结、概括出一般的规律与结论,不把握知识的本质属性,还是不能深刻理解与掌握知识。缺乏必要的归纳、概括、总结,容易造成“只见树木,不见森林”的片面认识;何况对知识一知半解,也不利于知识的有效迁移。
适时地归纳、概括、总结是必要的,也很重要,这也是变式教学的本质所要求的。首先,适时地归纳、概括、总结,有利于学生掌握知识的核心内容,掌握解决一类问题的方法与技能;其次,通过这种方式可以促使学生最大可能地理解知识,了解知识之间的相互联系,提高知识的使用效率,这也有助于学生形成有效的、优化的知识结构;第三,在一定程度上,它还可以培养学生思维的深刻性,提高学生的概括能力与反思能力。
总之,变式讲解结束以后,一定要适时地加以归纳、概括、总结。它可以由教师引导学生进行,也可以由学生独自进行。关键在于使学生深刻地掌握知识的本质属性,系统地了解知识的来龙去脉及其相互关系。
4.渗透“变”中“不变”的思想。
变中不变是重要的数学思想之一。但是,对于变式教学,我们往往过多地关注或者局限于变式中变化的部分,忽视变式中最本质的内容——不变的部分。
套用文学写作中常见的一句话:变式实际上是“形散神不散”。“形”就是指这些变式的外在表现形式、表面特征,也就是非本质属性,它是不断变化的;“神”就是指变式的本质属性,它一直都没有变,也不会变。
在变式教学中,教师要有意识地引导学生从“变”的表象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探求“变”的规律,逐步增强学生的应变能力;培养其灵活多变的思维品质;培养其探索精神和创新意识,从而把知识的理解能力的提高真正落到实处。毕竟,“变”是为了更好地领会与掌握“不变”。
以“函数y = Asin(ωx φ)的图象”为例。函数图象随着A、ω、φ的变化而不断地改变,那么,这样的变化有没有规律可循呢?如果有,规律是什么?规律就是不变性。尽管在A、ω、φ取具体的数以后,y = Asin(ωx φ)变成了不同的函数,但它们依然存在着不变的成分:A变化时,函数的值域在变,但定义域、周期不变;φ变化时,函数图象的形状没有改变,定义域、值域也没有变化,变化的只是图象的位置:图象发生了平移;ω变化时,函数的周期改变,但函数的定义域、值域不变。(注:这里只针对一个变量而言。)理解这些“变中不变”的关系之后,学生再解决相关的题目方能游刃有余、从容不迫,达到以不变应万变的能力要求。
5.既要关注概念性变式,也要关注过程性变式。
综观变式教学的研究成果,可以看出:目前关于变式教学的研究大部分是围绕概念性变式进行的,或者说主要研究的是某些特定概念或习题如何变化、它们有哪些变式之类,对于过程性变式关注偏少,换言之,过程性变式还没有引起足够的重视。
其实,变式教学既适用于数学概念的掌握,也适用于数学活动经验的增长。概念性变式有助于解释概念的内涵及外延;过程性变式有助于帮助学生了解前后知识的联系,形成良好的知识结构。[2]前者主要是促进学生多角度理解知识,后者是帮助学生建立新旧知识的非人为和实质性联系。两者兼顾基础知识与高层次思维,共同服务于数学教学。
比如,学习“三角函数诱导公式”时,不能仅仅关注和强调公式的记忆、使用(当然这也很重要),更重要的是通过精心设计的一系列问题(包括运用启发性提示语等),引导学生思考公式的由来、推导的过程与方法,使他们了解知识的来源,并在一定程度上获得研究问题的一般方法。从某种意义上说,这比知识本身更有价值。
加强过程性变式的教学,可以帮助学生更好地理解知识的来龙去脉,相对全面地掌握知识,形成良好的知识网络。总之,教学过程中应该尽量地向学生展示知识的来源、发生、发展的过程,即应该重视过程性变式的教学。
6.提高学生的智力参与程度。
变式不是教师的“专利”,变式不一定都由教师给出,可以让学生自己提。让学生主动探索,围绕“源题”进行相关的变化,自己编题目,让“冰冷的美丽变成火热的思考”。
在此过程中,学生能更好的了解哪些部分可以变、怎么变,从而获得对知识更深刻地理解。这有利于学生进一步认清知识的本质、掌握知识,而且有利于调动学生学习的积极性,增强学生的学习兴趣,在一定程度上还可以培养学生的创新意识以及提高学生举一反三的能力。
当然,此时依然离不开教师恰当的启发与引导。比如,在教学“两角和与差的余弦公式”这节内容时,经过推导得出公式以后,教师可以启发学生:“有了这两个公式你们打算干什么?”“你能干什么?”“你能试着自己编写一些题目并解答吗?”等等。让学生积极、主动地参与变式教学,也是尊重学生主体地位和提高学生智力参与程度的重要表现。
三、结束语
著名数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围再找一找,很可能附近还有好几个。”变式就是如此。
变式教学是广大教师十分熟悉的教学思想、教学策略。但如上所述,对变式教学的认识还存在一些不足,因此在教学过程中要尽量避免,这样才能更好地发挥变式教学的作用。毕竟,只有组织合理的变式才能真正有效地促进学生的有意义的主动学习,帮助学生构建良好的知识结构,进而发展他们灵活的问题识别、问题解决能力,最终提高教学效率。
参考文献:
[1]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999.98.
[2]鲍建生,黄荣金,易凌峰,顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学,2003,(1):11～12.
[3]孙旭花,黄毅英,林智中,张奠宙.问题变式:结构与功能的统一[J].课程·教材·教法,2006,26,(5):38～42.