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摘 要 在简述乔治·波利亚生平及其问题解决理论的基础上，指出信息技术应用于问题解决能够拓展解题者思维的深度和宽度，以图形计算器技术为例，给出信息技术应用于解题的四个步骤，重塑波利亚的解题表，搭建用信息技术重塑波利亚解题理论的一个框架，通过案例对重塑后的解题表做实际应用，并指出整合信息技术创新波利亚问题解决理论和数学方法论的若干研究方向。
关键词 数学教育；波利亚的问题解决理论；解题表；信息技术；图形计算器技术
中图分类号：G652 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）14-0111-03
Information Technology Reshaping George Polya’s Theory of Problem Solving//JIANG Peijie
Abstract In brief review of George Polya’s life and his theory， it’s
pointed out that he application of information technology expanding the problem-solver’s depth and width in thinking. Taking the gra-phing calculator as an example of IT， this paper gives four steps of
problem solving with information technology application， and re-
shapes George Polya’s table of problem solving. Setting up a frame-work of problem solving with IT to reshape George Polya’s problem solving theory， this paper takes some conclusions relating Fermat’s conjecture for prime numbers for a concrete example and put for-ward some research directions.
Key words mathematics education； George Polya’s problem solving theory； table of problem solving； IT； graphing calculator
1 引言
现代信息技术已经对全世界经济、政治和文化产生重大而深远的影响。在数学教育领域，用技术改造和重塑数学教育也逐渐成为数学教育界的共识。那么，如何用技术重塑数学教育？一般而言，用信息技术重塑数学教育包含理论和实践两个部分。目前信息技术已经在数学教育的广阔领域中得到一些应用，但还远未达到重塑数学教育的程度，其中一个主要的原因就是用信息技术重塑数学教育还缺少理论上的创新。因此，在实践的同时整合信息技术从而重塑经典数学教育理论，意义重大。
在数学教育领域称得上经典理论的只有波利亚的问题解决理论和弗赖登塔尔的数学教育理论[1]。正如著名数学家、数学教育家江泽涵所述，波利亚在问题解决方向的工作讨论的不仅是求解数学问题，实际上阐述到认识论和科学方法论。每一位科学工作者，不论他的专业是哪一种，只要他有高中数学水平，他在遇到问题等待解决时很有可能从波利亚的书中得到启发[2]。但是受限于时代和技术的发展，波利亚当时的工作并未考虑信息技术这一工具。在这样的背景下，整合信息技术、用技术重塑波利亚的问题解决理论，成为值得研究的课题。
2 波利亚及其问题解决理论简介
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya，1887—1985）是20世紀最有影响力的数学家之一，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，在概率论（随机漫步理论）、组合、代数、数论和几何上均有奠基性的工作，但他主要的研究兴趣是实分析和复分析[3]。作为当时第一流的数学家，波利亚对解题教学有浓厚的兴趣。为回答“一个好的解法是如何想出来的”这个困惑很多人的问题，他专门研究解题的思维过程，把研究成果写成《怎样解题》一书，后续还著成《数学的发现》和《数学与猜想》作为其思想的延续，建立了可用之逼近任何层次数学问题解决的思维原则，被称为数学问题解决之父[4]。
波利亚在数学教育方面所取得的成就对世界数学教育有深远的影响，他在解题思维规律研究领域有许多奠基性的工作。他认为中学数学教学的首要任务就是教会学生思考，而教会思考的主要途径之一就是加强解题的训练。他认为教学是一门艺术，并提出关于教学的若干原则[5]。他着重论述的是数学发现的规律以及解题研究和解题教学的思想，提出归纳和类比等合情推理模式[6]，对数学教育影响至今。
《怎样解题》的核心是作者分析解题思维过程得到的一张解题表，并以精练的案例来说明这张表的实际应用。该表包括弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾四大步骤，将寻求解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，使得解题表能在解题过程中不断启发解题者进行联想[1]。
3 信息技术在解题中的作用及波利亚解题表的重塑
信息技术在解题中的作用 人和动物的主要区别之一在于使用劳动工具[7]，这意味着使用劳动工具使得人类区别于其他动物，有了质的不同。同样的，信息技术是思维的工具。可以类比，思维过程中有技术的辅助和没有技术的辅助也有质的不同。根据波利亚的理论，解题意味着“从困难中去找出一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易及时达到的目标”[8]。 图形计算器技术的作用在于为人们寻找这条“路”提供了强有力的工具，为人们的各种尝试（作图和计算等）节省时间并促发思考，从而提高思考和发现的效率。因此，图形计算器技术能够应用于解题的原理在于，正确使用图形计算器技术能够拓展思维的深度和宽度，能促进解题者对问题的多元理解，提供对特例的验证并启示做出发现，为解题探索缩短路径，提高使用者的计算和作图效率，从而使解题者能够以更宽的视角来看待问题，以更具体的方式来处理问题，这都有利于解题者捕捉解题思路，构思解法并解决问题。
波利亚解题表的重塑 波利亚的解题表是波利亚问题解决思想的凝练，是解题过程中思维应遵循的规则。重塑波利亚的问题解决理论，从波利亚的解题表开始是一个合适的起点。
1）问题解决的四个步骤。基于波利亚的解题表，整合图形计算器技术，概括得到重塑后的解题表。
?2）对解题表的说明。表1是重塑后的解题表，加粗字体部分为新增内容。该表较波利亚原解题表[9]少了一些内容，那是因为未出现的原表内容即便在信息技术支持下也无须更改，为使得重塑后的表格既凝练又不影响完整性，原表中一些经典的提问并未列出，但这并不说明这些内容不重要。
新的解题表在弄清问题过程中增加“可用图形计算器”，意在提示解题者可以考虑图形计算器作为运算和作图的工具，简化不必要的烦琐计算。这个提示可以塑造解题者使用信息技术的意识。“如有必要，利用图形计算器作图，将条件和问题可视化”，则是提示信息技术的具体作用，能够帮助解题者更好地理解面对的问题。
新的解题表在拟定计划过程中提出“如有必要，用图形计算器算一算”，意在提示解题者如果面对的是计算问题或者需要烦琐的计算，那么没有必要手算的不妨让技术代劳，解题者可以把精力放在深入思考问题或者思考问题的其他方面。同时，计算器的作图等功能为解题者的思维新增维度，让思维可以更深、更广，从而启示解题者发现解决问题的思路。这里也指出有必要才使用技术，没有必要则不用，不能滥用信息技术。“图形计算器是否有帮助”“用上图形计算器”，则是提示解题者随时可以用上计算器的强大计算和作图功能。
新的解题表在实现计划过程中新增“正确使用图形计算器”“图形计算器是否有帮助”两个提示，提醒解题者不能滥用图形计算器。使用技术应恰当，要思考并知道何时信息技术可以起作用。
新的解题表在回顾阶段提出“如有必要，用上图形计算器”，提示解题者技术是验证的好工具；“不用图形计算器能得到结果吗？图形计算器的作用是什么”，提示解题者脱离工具的束缚，思考没有信息技术能不能解决问题，弄清楚问题的本质，以便迁移。
4 具体案例
案例：与Fermat素数猜想有关的若干结论。Fermat曾经遇到这样的情况，他观察到，，
257，都是质数，所以他猜想（n∈N*）是质数。在这个猜想提出半个世纪以后，欧拉指出：
不是质数。
有信息技术支持，按照表1的提示，直接用图形计算器质数判别功能得到不是质数，同时得到它的因数分解。同样的方式不难得到、、都不是质数，从而借助信息技术得到新的猜想：（n≥5）都是合数。当然，这只是猜想。
回顾阶段利用图形计算器还可以探究相关的问题，见图1。
可见，、、、的末尾数字都是7，由此可以猜想（n≥2）的末尾数字都是7，这意味着1（n≥2）！而这个结论是正确的，因为不难得到（m≤n）！由于，从而（n≥2），不仅有（n≥2），还有（n≥2）。
进一步探索，用图形计算器对、、都做因数分解，见图2。
借助图形计算器不难发现这些数要么是质数，要么是两个质数的乘积，因此可以得到一个猜想：所有形如（n≥2）的数要么是质数，要么是两个质数的乘积。当然，这个结论只是猜想。
从以上利用图形计算器发现新结论可见，应用技术的确提高了人们发现问题、分析问题和解决问题的能力。正因为信息技术拓展了人们思维的深度和宽度，这才让人们发现结论更加容易。
5 研究展望
波利亚的问题解决理论博大精深并涉及认知科学和科学哲学，只言片语无法论述清楚。本文在波利亚解题表的基础上融入信息技术的应用，构造整合技术后的解题表，只是搭建一个初步的研究框架，而使用的图形计算器技术与其他计算机代数系统相比，功能也十分有限。信息技术用于重塑波利亚的问题解决理论有很多途径和思路，以下为一个梳理。
信息技术支持下波利亚思想与元认知研究 元认知的培养与训练是深化波利亚解题思想的重要手段[10]，而元认知与波利亚思想的关系目前并未梳理清楚。波利亚的解题表可以认为是一系列关于解题的元认知策略。那么信息技术支持下元认知策略是否会更丰富？而这对波利亚思想与元认知的关系研究是否有影响？
信息技术支持下波利亚教学原则创新研究 波利亚著作中反复强调“学习任何东西最好的方式是亲自去发现它”“尽可能让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西”，强调学生的数学学习兴趣[11]。在信息技术支持下，借助简单的CAS计算器、动态几何软件，学生的“现有条件”已远胜过去。那么在有信息技术支持的条件下，学生再发现数学有哪些优势？如何用好这些优势更好地学习和再创造？
信息技术支持下波利亚探索法（heuristic）研究 波利亚的探索法是一种科学方法——分析和综合。波利亚对如何分析以及如何综合的具体建议集中体现在其解题表中[9]。
有信息技术支持，分析的策略和可能将得到极大的拓展，那么如何拓展？这种拓展是否會对数学教育有益？
信息技术支持下数学方法论研究 数学方法论是从数量关系和空间形式的角度认识世界和改造世界的一般方法，是关于数学思想和方法的理论。受时代限制，波利亚方法论体系并未考虑信息技术的作用，这也是为什么信息技术可以优化波利亚理论体系。数学作为一种技术用于改造世界的观点已经逐渐为公众接受，而反过来用技术来促进认识数学也同样不能忽略。信息技术支持下，当下的数学方法论体系是否有可能在理论上有所突破？
参考文献
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]江泽涵.关于玻利亚的《怎样解题》和《数学的发现》的一些往事[J].中学数学教学，1983（2）：4-5.
[3]Sury B. George Pólya： Educator extraordinaire[J]. Resonance，2014，19（4）：303-306.
[4]Alexanderson G L， Pedersen J. George Pólya： His life and work[J]. Mat Lapok，1986（4）：225-233.
[5]Polya G. On Learning， Teaching， and Learning Tea-
ching[J].American Mathematical Monthly，1963，70（6）：605.
[6]Polya G. Patterns of plausible inference[M].Prin-
ceton University Press，1954.
[7]钱学森.关于思维科学[J].自然杂志，1983（8）：5-9，14，82.
[8]波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.
[9]Polya G. How to solve it： a new aspect of mathe-matical method[M].Princeton University Press，1945.
[10]沈南山.发掘元认知实现对波利亚解题思想的超越[J].数学教育学报，2001，10（3）：40-42.
[11]杨骞.波利亚数学教育理论的现代启示[J].数学教育学报，2002，11（2）：18-20.
关键词 数学教育；波利亚的问题解决理论；解题表；信息技术；图形计算器技术
中图分类号：G652 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）14-0111-03
Information Technology Reshaping George Polya’s Theory of Problem Solving//JIANG Peijie
Abstract In brief review of George Polya’s life and his theory， it’s
pointed out that he application of information technology expanding the problem-solver’s depth and width in thinking. Taking the gra-phing calculator as an example of IT， this paper gives four steps of
problem solving with information technology application， and re-
shapes George Polya’s table of problem solving. Setting up a frame-work of problem solving with IT to reshape George Polya’s problem solving theory， this paper takes some conclusions relating Fermat’s conjecture for prime numbers for a concrete example and put for-ward some research directions.
Key words mathematics education； George Polya’s problem solving theory； table of problem solving； IT； graphing calculator
1 引言
现代信息技术已经对全世界经济、政治和文化产生重大而深远的影响。在数学教育领域，用技术改造和重塑数学教育也逐渐成为数学教育界的共识。那么，如何用技术重塑数学教育？一般而言，用信息技术重塑数学教育包含理论和实践两个部分。目前信息技术已经在数学教育的广阔领域中得到一些应用，但还远未达到重塑数学教育的程度，其中一个主要的原因就是用信息技术重塑数学教育还缺少理论上的创新。因此，在实践的同时整合信息技术从而重塑经典数学教育理论，意义重大。
在数学教育领域称得上经典理论的只有波利亚的问题解决理论和弗赖登塔尔的数学教育理论[1]。正如著名数学家、数学教育家江泽涵所述，波利亚在问题解决方向的工作讨论的不仅是求解数学问题，实际上阐述到认识论和科学方法论。每一位科学工作者，不论他的专业是哪一种，只要他有高中数学水平，他在遇到问题等待解决时很有可能从波利亚的书中得到启发[2]。但是受限于时代和技术的发展，波利亚当时的工作并未考虑信息技术这一工具。在这样的背景下，整合信息技术、用技术重塑波利亚的问题解决理论，成为值得研究的课题。
2 波利亚及其问题解决理论简介
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya，1887—1985）是20世紀最有影响力的数学家之一，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，在概率论（随机漫步理论）、组合、代数、数论和几何上均有奠基性的工作，但他主要的研究兴趣是实分析和复分析[3]。作为当时第一流的数学家，波利亚对解题教学有浓厚的兴趣。为回答“一个好的解法是如何想出来的”这个困惑很多人的问题，他专门研究解题的思维过程，把研究成果写成《怎样解题》一书，后续还著成《数学的发现》和《数学与猜想》作为其思想的延续，建立了可用之逼近任何层次数学问题解决的思维原则，被称为数学问题解决之父[4]。
波利亚在数学教育方面所取得的成就对世界数学教育有深远的影响，他在解题思维规律研究领域有许多奠基性的工作。他认为中学数学教学的首要任务就是教会学生思考，而教会思考的主要途径之一就是加强解题的训练。他认为教学是一门艺术，并提出关于教学的若干原则[5]。他着重论述的是数学发现的规律以及解题研究和解题教学的思想，提出归纳和类比等合情推理模式[6]，对数学教育影响至今。
《怎样解题》的核心是作者分析解题思维过程得到的一张解题表，并以精练的案例来说明这张表的实际应用。该表包括弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾四大步骤，将寻求解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，使得解题表能在解题过程中不断启发解题者进行联想[1]。
3 信息技术在解题中的作用及波利亚解题表的重塑
信息技术在解题中的作用 人和动物的主要区别之一在于使用劳动工具[7]，这意味着使用劳动工具使得人类区别于其他动物，有了质的不同。同样的，信息技术是思维的工具。可以类比，思维过程中有技术的辅助和没有技术的辅助也有质的不同。根据波利亚的理论，解题意味着“从困难中去找出一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易及时达到的目标”[8]。 图形计算器技术的作用在于为人们寻找这条“路”提供了强有力的工具，为人们的各种尝试（作图和计算等）节省时间并促发思考，从而提高思考和发现的效率。因此，图形计算器技术能够应用于解题的原理在于，正确使用图形计算器技术能够拓展思维的深度和宽度，能促进解题者对问题的多元理解，提供对特例的验证并启示做出发现，为解题探索缩短路径，提高使用者的计算和作图效率，从而使解题者能够以更宽的视角来看待问题，以更具体的方式来处理问题，这都有利于解题者捕捉解题思路，构思解法并解决问题。
波利亚解题表的重塑 波利亚的解题表是波利亚问题解决思想的凝练，是解题过程中思维应遵循的规则。重塑波利亚的问题解决理论，从波利亚的解题表开始是一个合适的起点。
1）问题解决的四个步骤。基于波利亚的解题表，整合图形计算器技术，概括得到重塑后的解题表。
?2）对解题表的说明。表1是重塑后的解题表，加粗字体部分为新增内容。该表较波利亚原解题表[9]少了一些内容，那是因为未出现的原表内容即便在信息技术支持下也无须更改，为使得重塑后的表格既凝练又不影响完整性，原表中一些经典的提问并未列出，但这并不说明这些内容不重要。
新的解题表在弄清问题过程中增加“可用图形计算器”，意在提示解题者可以考虑图形计算器作为运算和作图的工具，简化不必要的烦琐计算。这个提示可以塑造解题者使用信息技术的意识。“如有必要，利用图形计算器作图，将条件和问题可视化”，则是提示信息技术的具体作用，能够帮助解题者更好地理解面对的问题。
新的解题表在拟定计划过程中提出“如有必要，用图形计算器算一算”，意在提示解题者如果面对的是计算问题或者需要烦琐的计算，那么没有必要手算的不妨让技术代劳，解题者可以把精力放在深入思考问题或者思考问题的其他方面。同时，计算器的作图等功能为解题者的思维新增维度，让思维可以更深、更广，从而启示解题者发现解决问题的思路。这里也指出有必要才使用技术，没有必要则不用，不能滥用信息技术。“图形计算器是否有帮助”“用上图形计算器”，则是提示解题者随时可以用上计算器的强大计算和作图功能。
新的解题表在实现计划过程中新增“正确使用图形计算器”“图形计算器是否有帮助”两个提示，提醒解题者不能滥用图形计算器。使用技术应恰当，要思考并知道何时信息技术可以起作用。
新的解题表在回顾阶段提出“如有必要，用上图形计算器”，提示解题者技术是验证的好工具；“不用图形计算器能得到结果吗？图形计算器的作用是什么”，提示解题者脱离工具的束缚，思考没有信息技术能不能解决问题，弄清楚问题的本质，以便迁移。
4 具体案例
案例：与Fermat素数猜想有关的若干结论。Fermat曾经遇到这样的情况，他观察到，，
257，都是质数，所以他猜想（n∈N*）是质数。在这个猜想提出半个世纪以后，欧拉指出：
不是质数。
有信息技术支持，按照表1的提示，直接用图形计算器质数判别功能得到不是质数，同时得到它的因数分解。同样的方式不难得到、、都不是质数，从而借助信息技术得到新的猜想：（n≥5）都是合数。当然，这只是猜想。
回顾阶段利用图形计算器还可以探究相关的问题，见图1。
可见，、、、的末尾数字都是7，由此可以猜想（n≥2）的末尾数字都是7，这意味着1（n≥2）！而这个结论是正确的，因为不难得到（m≤n）！由于，从而（n≥2），不仅有（n≥2），还有（n≥2）。
进一步探索，用图形计算器对、、都做因数分解，见图2。
借助图形计算器不难发现这些数要么是质数，要么是两个质数的乘积，因此可以得到一个猜想：所有形如（n≥2）的数要么是质数，要么是两个质数的乘积。当然，这个结论只是猜想。
从以上利用图形计算器发现新结论可见，应用技术的确提高了人们发现问题、分析问题和解决问题的能力。正因为信息技术拓展了人们思维的深度和宽度，这才让人们发现结论更加容易。
5 研究展望
波利亚的问题解决理论博大精深并涉及认知科学和科学哲学，只言片语无法论述清楚。本文在波利亚解题表的基础上融入信息技术的应用，构造整合技术后的解题表，只是搭建一个初步的研究框架，而使用的图形计算器技术与其他计算机代数系统相比，功能也十分有限。信息技术用于重塑波利亚的问题解决理论有很多途径和思路，以下为一个梳理。
信息技术支持下波利亚思想与元认知研究 元认知的培养与训练是深化波利亚解题思想的重要手段[10]，而元认知与波利亚思想的关系目前并未梳理清楚。波利亚的解题表可以认为是一系列关于解题的元认知策略。那么信息技术支持下元认知策略是否会更丰富？而这对波利亚思想与元认知的关系研究是否有影响？
信息技术支持下波利亚教学原则创新研究 波利亚著作中反复强调“学习任何东西最好的方式是亲自去发现它”“尽可能让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西”，强调学生的数学学习兴趣[11]。在信息技术支持下，借助简单的CAS计算器、动态几何软件，学生的“现有条件”已远胜过去。那么在有信息技术支持的条件下，学生再发现数学有哪些优势？如何用好这些优势更好地学习和再创造？
信息技术支持下波利亚探索法（heuristic）研究 波利亚的探索法是一种科学方法——分析和综合。波利亚对如何分析以及如何综合的具体建议集中体现在其解题表中[9]。
有信息技术支持，分析的策略和可能将得到极大的拓展，那么如何拓展？这种拓展是否會对数学教育有益？
信息技术支持下数学方法论研究 数学方法论是从数量关系和空间形式的角度认识世界和改造世界的一般方法，是关于数学思想和方法的理论。受时代限制，波利亚方法论体系并未考虑信息技术的作用，这也是为什么信息技术可以优化波利亚理论体系。数学作为一种技术用于改造世界的观点已经逐渐为公众接受，而反过来用技术来促进认识数学也同样不能忽略。信息技术支持下，当下的数学方法论体系是否有可能在理论上有所突破？
参考文献
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]江泽涵.关于玻利亚的《怎样解题》和《数学的发现》的一些往事[J].中学数学教学，1983（2）：4-5.
[3]Sury B. George Pólya： Educator extraordinaire[J]. Resonance，2014，19（4）：303-306.
[4]Alexanderson G L， Pedersen J. George Pólya： His life and work[J]. Mat Lapok，1986（4）：225-233.
[5]Polya G. On Learning， Teaching， and Learning Tea-
ching[J].American Mathematical Monthly，1963，70（6）：605.
[6]Polya G. Patterns of plausible inference[M].Prin-
ceton University Press，1954.
[7]钱学森.关于思维科学[J].自然杂志，1983（8）：5-9，14，82.
[8]波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.
[9]Polya G. How to solve it： a new aspect of mathe-matical method[M].Princeton University Press，1945.
[10]沈南山.发掘元认知实现对波利亚解题思想的超越[J].数学教育学报，2001，10（3）：40-42.
[11]杨骞.波利亚数学教育理论的现代启示[J].数学教育学报，2002，11（2）：18-20.