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一、前言
在物理学习中，多接触面多种临界状态存在的静平衡系统的摩擦问题，是个难点问题。大多是先根据题意采用枚举法列出所有可能的临界运动状态，然后一一讨论。谢建华[1]对这样方法给出了逻辑推理的过程，并用框图法给出了几种可能的解题方案。对于接触面少的简单摩擦问题，推理的逻辑容易实现。但是对于多接触面多种临界状态存在的摩擦问题，因为临界运动可能性复杂，有时会存在漏掉的可能性，有时也会存在一些不需要考虑的可能性。本文首先从数学有解性上确定需要补充摩擦方程的数目，提出了解决任意多个接触面任意多种临界状态的复杂摩擦问题的统一的格式。
二、基于数学有解性的分析方法
比如对于滚动摩擦不计的情况，采用逻辑推理法也不会有多大困难。但若考虑滚动摩擦，这种基于临界运动的逻辑推理法，就会变得复杂。然而实际工程中经常有更多个接触面的复杂摩擦问题。
例1系统如图1所示，半径为R的轮重为P，轮与地面的静摩擦系数和滚阻系数分别为fs与δ。试确定能使系统处于平衡的最大Q值。
图1下面先以例1这个简单问题为例，阐述基于数学有解性的分析方法的一般步骤。
（1）确定需补充几个摩擦方程。
先确定独立方程数目：对于n个刚体的平面静平衡系统，每个刚体可列3个独立方程，则系统可列k=3n-s个方程，s为其中视为质点的刚体数目。
再确定系统所有独立未知量的数目。将系统拆分为不能再拆分的基本单元，统计所有独立的未知力的总数为p，其中为了方便计算未知力和独立方程数目，将二力杆视为任意力系，二力杆两端共有4个未知力。
（2）确定到底至少需要考虑几种基本的临界的可能性。
为了确定摩擦问题的解，需要补充q个摩擦方程。设多个摩擦面总共有t个发生临界运动可能，故可提供t个摩擦方程。此外，每个摩擦力（力矩）又有2个不同方向。所以补充q个摩擦方程的排列组合有r=Cqt（C12）q。由此公式就很容易确定至多只需要讨论r种可能性。
（3）尽量排除不需讨论的可能性。
对于r种基本的临界的可能性，根据题目已给定的力的施加方式和几何所约束的运动关系，有些可能性可以排除，不用分析。
排除的方法如下：根据题意或力学平衡原理可以确定一些可能性不能发生。此外，若A种可能性被包含于B种可能性当中，则不用再考虑A种可能性了。
（4）对于没有能力排除的每种基本可能性在所假设的摩擦条件下分别讨论。对于不同的人，能排除的可能性可能不一样。但若没有把握排除就要进行讨论，这样真解总在所讨论的可能性范围内。
若不计滚动摩擦，等价于MB=0摩擦方程恒成立。MB为已知量，故只需补充一个摩擦方程，根据上述方法，只需讨论A右滑，B左滑，B右滑3种情况。B右滑的情况也被包含在A右滑情况中，故此时只用考虑两种情况。
图2若采用基于运动可能性的逻辑分析方法，对于出现A，B处均滑动的运动情况就有好几种，则很可能漏掉运动可能性，或重复分析了。
三、总结
对于多接触面多种临界状态存在的摩擦问题，采用首先假设临界运动可能性再分别讨论的逻辑推理法，容易漏掉真解，且逻辑复杂。首先从数学有解性上确定需要补充摩擦方程的数目，再给出得到真解至少应考虑的可能性种类计算公式。然后才是利用运动特点，排除不需讨论的临界可能性。本文方法保证了真解总在所讨论的可能性范围内，可用统一的格式解决任意多个接触面任意多种临界状态的复杂摩擦问题。
参考文献：
[1]谢建华.用新观点分析静力学中的摩擦问题＼[J＼].力学与实践，1997（1）.
[2]何锃，赵高煜，刘军华，等.理论力学（第1版）＼[M＼].武汉：华中科技大学出版社，2007.
在物理学习中，多接触面多种临界状态存在的静平衡系统的摩擦问题，是个难点问题。大多是先根据题意采用枚举法列出所有可能的临界运动状态，然后一一讨论。谢建华[1]对这样方法给出了逻辑推理的过程，并用框图法给出了几种可能的解题方案。对于接触面少的简单摩擦问题，推理的逻辑容易实现。但是对于多接触面多种临界状态存在的摩擦问题，因为临界运动可能性复杂，有时会存在漏掉的可能性，有时也会存在一些不需要考虑的可能性。本文首先从数学有解性上确定需要补充摩擦方程的数目，提出了解决任意多个接触面任意多种临界状态的复杂摩擦问题的统一的格式。
二、基于数学有解性的分析方法
比如对于滚动摩擦不计的情况，采用逻辑推理法也不会有多大困难。但若考虑滚动摩擦，这种基于临界运动的逻辑推理法，就会变得复杂。然而实际工程中经常有更多个接触面的复杂摩擦问题。
例1系统如图1所示，半径为R的轮重为P，轮与地面的静摩擦系数和滚阻系数分别为fs与δ。试确定能使系统处于平衡的最大Q值。
图1下面先以例1这个简单问题为例，阐述基于数学有解性的分析方法的一般步骤。
（1）确定需补充几个摩擦方程。
先确定独立方程数目：对于n个刚体的平面静平衡系统，每个刚体可列3个独立方程，则系统可列k=3n-s个方程，s为其中视为质点的刚体数目。
再确定系统所有独立未知量的数目。将系统拆分为不能再拆分的基本单元，统计所有独立的未知力的总数为p，其中为了方便计算未知力和独立方程数目，将二力杆视为任意力系，二力杆两端共有4个未知力。
（2）确定到底至少需要考虑几种基本的临界的可能性。
为了确定摩擦问题的解，需要补充q个摩擦方程。设多个摩擦面总共有t个发生临界运动可能，故可提供t个摩擦方程。此外，每个摩擦力（力矩）又有2个不同方向。所以补充q个摩擦方程的排列组合有r=Cqt（C12）q。由此公式就很容易确定至多只需要讨论r种可能性。
（3）尽量排除不需讨论的可能性。
对于r种基本的临界的可能性，根据题目已给定的力的施加方式和几何所约束的运动关系，有些可能性可以排除，不用分析。
排除的方法如下：根据题意或力学平衡原理可以确定一些可能性不能发生。此外，若A种可能性被包含于B种可能性当中，则不用再考虑A种可能性了。
（4）对于没有能力排除的每种基本可能性在所假设的摩擦条件下分别讨论。对于不同的人，能排除的可能性可能不一样。但若没有把握排除就要进行讨论，这样真解总在所讨论的可能性范围内。
若不计滚动摩擦，等价于MB=0摩擦方程恒成立。MB为已知量，故只需补充一个摩擦方程，根据上述方法，只需讨论A右滑，B左滑，B右滑3种情况。B右滑的情况也被包含在A右滑情况中，故此时只用考虑两种情况。
图2若采用基于运动可能性的逻辑分析方法，对于出现A，B处均滑动的运动情况就有好几种，则很可能漏掉运动可能性，或重复分析了。
三、总结
对于多接触面多种临界状态存在的摩擦问题，采用首先假设临界运动可能性再分别讨论的逻辑推理法，容易漏掉真解，且逻辑复杂。首先从数学有解性上确定需要补充摩擦方程的数目，再给出得到真解至少应考虑的可能性种类计算公式。然后才是利用运动特点，排除不需讨论的临界可能性。本文方法保证了真解总在所讨论的可能性范围内，可用统一的格式解决任意多个接触面任意多种临界状态的复杂摩擦问题。
参考文献：
[1]谢建华.用新观点分析静力学中的摩擦问题＼[J＼].力学与实践，1997（1）.
[2]何锃，赵高煜，刘军华，等.理论力学（第1版）＼[M＼].武汉：华中科技大学出版社，2007.