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【摘要】本文研究了一个特殊p3阶群的自同构群，并确定了其自同构群的结构，以及给出了其自同构群的阶与简单性质。
【关键词】自同构群半直积Sylow p-子群外自同构群
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0231-01
关于有限群G的自同构群Aut(G)的研究，无疑是有限群论中极为重要而困难的课题之一。而关于自同构群的研究，一般有两条途径：一方面是求解同构式Aut(X)≌G中的群X；一方面是求Aut(G)的有关消息。但在许多群论难题中，研究自同构群均可归结为特定p-群的情形。在此基础上，笔者对一个特殊p3阶群的自同构群做出了较详细的讨论，解决了其自同构群一系列的问题。
设G=＜a,b｜ap■=bp=1，ab=b-1ab=a1+p＞，p为奇素数且G=p3。因G=＜b＞■＜a＞，则G的每个元素均可唯一地表示为bjai(i∈Zp2,j∈Zp)，那么Z(G)=＜ap＞，exp(G)=p2，对任意k∈N+，有(1+p)k≡1+kp(mod p2)，则得以下公式：
(ai)b■=ai(1+jp)，(bjai)k=bjka■. （1）
其中k2=k(k-1)/2为组合数.
（1）描述G的自同构
任取?滓∈Aut(G)，令a?滓=bjai，b?滓=bsat(1≤i、t≤p2；1≤j、s≤p），则?滓被以下三个条件唯一确定：
o(a?滓)=p2，o(b?滓)=p，(a?滓)b■=(a?滓)1+p. （2）
且由文献[4]可得：G的每个自同构?滓∈Aut(G)均可由三元数组(j，i，k)∈Zp×U(Zp2)×Zp唯一确定，满足条件a?滓=bjai和b?滓=bakp。
（2）确定Aut(G)
令I=Zp×U(Zp2)×Zp，则Aut(G)和集合I按上述方式?滓→(j，i，k)可建立一一对应，则i，j，k各种可能的选取分别有p(p-1)，p，p种，故
Aut(G)=p(p-1)·p·p=p3(p-1).
下面任取?滓′∈Aut(G)，设其对应的三元数组为(j′，i′，k′)∈I. 我们记自同构的合成?滓?滓′∈Aut(G)，对应的三元数组为(j，i，k)?莓(j′，i′，k′)，则I在运算?莓下为群，且与Aut(G)同构，直接计算可知：
(j，i，k)?莓(j′，i′，k′)=(j+ij′，ii′+jk′p+i′j′i2p，ki′+k′). (3)
（3）确定G的外自同构群Out(G)
任取g∈G，令g=bsat，其中s∈Zp，t∈Zp2，则直接计算得到ag=a1+sp及bg=ba-tp，表明由元素bsat∈G决定的G之内自同构对应的三元数组为(0，1+sp，-t)∈I，其中-t按模p取余数。故J={(0，1+sp，t)∈I｜s，t∈Zp}恰为Inn(G)对应的I的子群。从而J?茳I，且Out(G)和I/J同构。接着任取(j，i，k)，(j′，i′，k′)∈I，则(j，i，k)J=(j′，i′，k′)J当且仅当存在某个(0，1+sp，t)∈J，使得(j′，i′，k′)=(j，i，k)?莓(0，1+sp，t)=(j，i(1+sp)，k+t)，则(j，i，k)J=(j′，i′，k′)J当且仅当j≡j′且i≡i′(mod p)，记i∈U(Zp2)在群的自然满同态(Zp2)→U(Zp)下的像为■，则(j，i，0)J→(j，■，0)，即I/J≌Zp■U(Zp)，后者的群运算由（3）式可化为(j，■，0)?莓(j′，■′，0)=(j+■j′，■，0)，表明I/J≌Zp×U(Zp)，p为奇素数。故U(Zp)≌Zp-1，则Out(G)≌Zp■U(Zp)≌Zp■Zp-1，因此Out(G)具有正规的Sylow p-群，且Out(G)恰为其Sylow p-群与一个p-1阶循环子群的半直积。进而Aut(G)中存在P阶外自同构元。
（4）Aut(G)的结构
设P为Aut(G)的一个Sylow p-群，显然Inn(G)≤P，但上段已证Out(G)的Sylow p-群正规且相应的商群为p-1阶循环群，所以P?茳Aut(G)且相应的商群Aut(G)/P也是p-1阶循环群，由Schur-Zassenhaus定理知：Aut(G)=P■Q，其中P为Aut(G)的正规Sylow p-子群且P=p3，Q为p-1阶循环群。
（5）Aut(G)的生成元
记A为Aut(G)中所有固定的自同构所构成的群，则(j，i，k)∈A当且仅当j=0，所以A={(0，i，k)｜i∈U(Zp2)，k∈Zp}，相应的运算为：(0，i′，k′)?莓(0，i，k)=(0，ii′，k′i+k)。这表明A≌U(Zp2)■Zp，其中的群作用由同态U(Zp2)→U(Zp)=Aut(Zp)给出。显然A=p2(p-1)，表明A为Aut(G)的极大子群且指数为p。
因为p为奇素数，故U(Zp2)为循环群。设r为U(Zp2)的一个生成元，即r为mod p2的一个原根，则A可由两个元素x=(0，r，0)，y=(0，1，1）生成。对任意整数m，直接验证xm=(0，rm，0)，ym=(0,1，m)，且
yx=(0，r-1，0)?莓(0，1，1）?莓(0，r，0)=(0，1，r)=yr。
从而A的表现形式为A=〈x，y｜xp(p-1))=yp=1，yx=yr〉。再令z=(1,1,0)，则zm(m,1,0)。这表明?莓(z)=p,且A∩〈z〉=1，所以Aut(G)=A〈z〉=〈z〉A。但A与〈z〉都不是Aut(G)的正规子群，则Aut(G)=〈x,y,z〉。
(6)Aut(G)的中心
记Aut(G)的中心为C。(j，i，k)∈C当且仅当(j，i，k)与x，y，z可交换，通过简单的计算表明其等价于j=k=0且i≡1(mod p)。记J为自然同态U(Zp2)→U(Zp)之核，由数论可知：I→J→U(Zp2)→U(Zp)→I为正序列。从而J=p，但C={(0，i，0)｜i∈J}， 故C=p，另一方面，注意到r与p互素，故有rp-1=1(mod p)，直接计算得：
xp-1y=(0，rp-1，0)?莓(0，1，1)=(0，rp-1，1)；
yxp-1=(0，1，1)?莓(0，rp-1，0)=(0，rp-1，1)；
xp-1z=(0，rp-1，0)?莓(1，1，0)=(1，rp-1，0)；
zxp-1=(1，1，0)?莓(0，rp-1，0)=(1，rp-1，0)。
这说明xp-1与y，z可交换，从而xp-1∈C，但o(xp-1)=p，则只有C=〈xp-1〉为p阶循环群。
（7）Aut(G)中不含有FPF-自同构：
定义1：设?滓∈Aut(G)≤Sym(G)，如果?滓不确定G中的任何非单位元素，则称?滓为G的Fix-Point-free自同构，简称FPF-自同构。
引理2：同余式ax≡b(mod m)有解的充分必要条件是(a，m)｜b。
事实上，?坌?滓∈Aut(G)，则?滓：a→bjai，b→bakp，其中i∈U(Zp2)，j∈Zp，k∈Zp.?坌bsat∈G，其中s∈U(Zp)，t∈U(Zp2)，则
?滓(bsat)=?滓(bs)·?滓(at)=[?滓(b)]s ·[?滓(a)]t=(bakp)s ·(bjai)t
=bsa■·bjta■=bsakps·bjta■=bsakps·bjt(a■)■·bjt
=bsakps·(a■)■·bjt=bsakps·a■·bjt=bsa■·bjt
=bs·bjt·(bjt)-1a■bjt=bs+jt·{a■}■
=bs+jt·a■=bs+jta■
若?滓(bsat)=bsat，则s+jt-s≡0.(mod p) （4）
it+ijt2p+ksp-t≡0.(mod p2) （5）
由（4）可得：jt≡0(mod p)。又j∈Zp，t∈Zp2，则t≡0(mod p)。令t=mp，其中m∈Z，则（5）可化简为：
imp+ksp-mp≡0(mod p2)?圯im+ks-m≡0(mod p)?圯ks≡m-im(mod p)，又k∈Zp，当k=0时，0·s=0≡m-im(mod p)，产生矛盾. 所以k≠0，则(k，p)=1，?圯(k，p)｜(m-im)，由引理2得：ks≡m-im(mod p)有解，所以存在s∈Zp，t∈Zp2，使?滓(bsat)=bsat，所以?滓不是Aut(G)的FPF-自同构，则Aut(G)中不存在FPF-自同构。
参考文献：
[1]陈蓉，张勤海，亚循环的内交换p-群的自同构群(p≠2)[J]，山西师范大学（自然科学版），2008，（22）2：1-5.
[2]黄平安，关于一类自同构群[J]，数学杂志，2001，20(3)：345-349.
[3]黄平安，关于自同构群的结构[J]，湖南大学学报，1989,16（4）：135-137.
[4]兰海峰，靳平，算术p-群的自同构群[J]，太原科技大学学报，2007，28（5）：356-357.
[5]罗敬辉，p3阶群的自同构群的构造和性质[J]，数学的实践与认识，1989，19（2）：68-71.
[6]徐明曜，有限群导引[M]，北京：科学出版社，1999.
[7]燕建梁，李秀萍，一类特殊有限p-群的自同构群[J]，山西大学学报（自然科学版)，2003，26（1）：22-25.
【关键词】自同构群半直积Sylow p-子群外自同构群
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0231-01
关于有限群G的自同构群Aut(G)的研究，无疑是有限群论中极为重要而困难的课题之一。而关于自同构群的研究，一般有两条途径：一方面是求解同构式Aut(X)≌G中的群X；一方面是求Aut(G)的有关消息。但在许多群论难题中，研究自同构群均可归结为特定p-群的情形。在此基础上，笔者对一个特殊p3阶群的自同构群做出了较详细的讨论，解决了其自同构群一系列的问题。
设G=＜a,b｜ap■=bp=1，ab=b-1ab=a1+p＞，p为奇素数且G=p3。因G=＜b＞■＜a＞，则G的每个元素均可唯一地表示为bjai(i∈Zp2,j∈Zp)，那么Z(G)=＜ap＞，exp(G)=p2，对任意k∈N+，有(1+p)k≡1+kp(mod p2)，则得以下公式：
(ai)b■=ai(1+jp)，(bjai)k=bjka■. （1）
其中k2=k(k-1)/2为组合数.
（1）描述G的自同构
任取?滓∈Aut(G)，令a?滓=bjai，b?滓=bsat(1≤i、t≤p2；1≤j、s≤p），则?滓被以下三个条件唯一确定：
o(a?滓)=p2，o(b?滓)=p，(a?滓)b■=(a?滓)1+p. （2）
且由文献[4]可得：G的每个自同构?滓∈Aut(G)均可由三元数组(j，i，k)∈Zp×U(Zp2)×Zp唯一确定，满足条件a?滓=bjai和b?滓=bakp。
（2）确定Aut(G)
令I=Zp×U(Zp2)×Zp，则Aut(G)和集合I按上述方式?滓→(j，i，k)可建立一一对应，则i，j，k各种可能的选取分别有p(p-1)，p，p种，故
Aut(G)=p(p-1)·p·p=p3(p-1).
下面任取?滓′∈Aut(G)，设其对应的三元数组为(j′，i′，k′)∈I. 我们记自同构的合成?滓?滓′∈Aut(G)，对应的三元数组为(j，i，k)?莓(j′，i′，k′)，则I在运算?莓下为群，且与Aut(G)同构，直接计算可知：
(j，i，k)?莓(j′，i′，k′)=(j+ij′，ii′+jk′p+i′j′i2p，ki′+k′). (3)
（3）确定G的外自同构群Out(G)
任取g∈G，令g=bsat，其中s∈Zp，t∈Zp2，则直接计算得到ag=a1+sp及bg=ba-tp，表明由元素bsat∈G决定的G之内自同构对应的三元数组为(0，1+sp，-t)∈I，其中-t按模p取余数。故J={(0，1+sp，t)∈I｜s，t∈Zp}恰为Inn(G)对应的I的子群。从而J?茳I，且Out(G)和I/J同构。接着任取(j，i，k)，(j′，i′，k′)∈I，则(j，i，k)J=(j′，i′，k′)J当且仅当存在某个(0，1+sp，t)∈J，使得(j′，i′，k′)=(j，i，k)?莓(0，1+sp，t)=(j，i(1+sp)，k+t)，则(j，i，k)J=(j′，i′，k′)J当且仅当j≡j′且i≡i′(mod p)，记i∈U(Zp2)在群的自然满同态(Zp2)→U(Zp)下的像为■，则(j，i，0)J→(j，■，0)，即I/J≌Zp■U(Zp)，后者的群运算由（3）式可化为(j，■，0)?莓(j′，■′，0)=(j+■j′，■，0)，表明I/J≌Zp×U(Zp)，p为奇素数。故U(Zp)≌Zp-1，则Out(G)≌Zp■U(Zp)≌Zp■Zp-1，因此Out(G)具有正规的Sylow p-群，且Out(G)恰为其Sylow p-群与一个p-1阶循环子群的半直积。进而Aut(G)中存在P阶外自同构元。
（4）Aut(G)的结构
设P为Aut(G)的一个Sylow p-群，显然Inn(G)≤P，但上段已证Out(G)的Sylow p-群正规且相应的商群为p-1阶循环群，所以P?茳Aut(G)且相应的商群Aut(G)/P也是p-1阶循环群，由Schur-Zassenhaus定理知：Aut(G)=P■Q，其中P为Aut(G)的正规Sylow p-子群且P=p3，Q为p-1阶循环群。
（5）Aut(G)的生成元
记A为Aut(G)中所有固定的自同构所构成的群，则(j，i，k)∈A当且仅当j=0，所以A={(0，i，k)｜i∈U(Zp2)，k∈Zp}，相应的运算为：(0，i′，k′)?莓(0，i，k)=(0，ii′，k′i+k)。这表明A≌U(Zp2)■Zp，其中的群作用由同态U(Zp2)→U(Zp)=Aut(Zp)给出。显然A=p2(p-1)，表明A为Aut(G)的极大子群且指数为p。
因为p为奇素数，故U(Zp2)为循环群。设r为U(Zp2)的一个生成元，即r为mod p2的一个原根，则A可由两个元素x=(0，r，0)，y=(0，1，1）生成。对任意整数m，直接验证xm=(0，rm，0)，ym=(0,1，m)，且
yx=(0，r-1，0)?莓(0，1，1）?莓(0，r，0)=(0，1，r)=yr。
从而A的表现形式为A=〈x，y｜xp(p-1))=yp=1，yx=yr〉。再令z=(1,1,0)，则zm(m,1,0)。这表明?莓(z)=p,且A∩〈z〉=1，所以Aut(G)=A〈z〉=〈z〉A。但A与〈z〉都不是Aut(G)的正规子群，则Aut(G)=〈x,y,z〉。
(6)Aut(G)的中心
记Aut(G)的中心为C。(j，i，k)∈C当且仅当(j，i，k)与x，y，z可交换，通过简单的计算表明其等价于j=k=0且i≡1(mod p)。记J为自然同态U(Zp2)→U(Zp)之核，由数论可知：I→J→U(Zp2)→U(Zp)→I为正序列。从而J=p，但C={(0，i，0)｜i∈J}， 故C=p，另一方面，注意到r与p互素，故有rp-1=1(mod p)，直接计算得：
xp-1y=(0，rp-1，0)?莓(0，1，1)=(0，rp-1，1)；
yxp-1=(0，1，1)?莓(0，rp-1，0)=(0，rp-1，1)；
xp-1z=(0，rp-1，0)?莓(1，1，0)=(1，rp-1，0)；
zxp-1=(1，1，0)?莓(0，rp-1，0)=(1，rp-1，0)。
这说明xp-1与y，z可交换，从而xp-1∈C，但o(xp-1)=p，则只有C=〈xp-1〉为p阶循环群。
（7）Aut(G)中不含有FPF-自同构：
定义1：设?滓∈Aut(G)≤Sym(G)，如果?滓不确定G中的任何非单位元素，则称?滓为G的Fix-Point-free自同构，简称FPF-自同构。
引理2：同余式ax≡b(mod m)有解的充分必要条件是(a，m)｜b。
事实上，?坌?滓∈Aut(G)，则?滓：a→bjai，b→bakp，其中i∈U(Zp2)，j∈Zp，k∈Zp.?坌bsat∈G，其中s∈U(Zp)，t∈U(Zp2)，则
?滓(bsat)=?滓(bs)·?滓(at)=[?滓(b)]s ·[?滓(a)]t=(bakp)s ·(bjai)t
=bsa■·bjta■=bsakps·bjta■=bsakps·bjt(a■)■·bjt
=bsakps·(a■)■·bjt=bsakps·a■·bjt=bsa■·bjt
=bs·bjt·(bjt)-1a■bjt=bs+jt·{a■}■
=bs+jt·a■=bs+jta■
若?滓(bsat)=bsat，则s+jt-s≡0.(mod p) （4）
it+ijt2p+ksp-t≡0.(mod p2) （5）
由（4）可得：jt≡0(mod p)。又j∈Zp，t∈Zp2，则t≡0(mod p)。令t=mp，其中m∈Z，则（5）可化简为：
imp+ksp-mp≡0(mod p2)?圯im+ks-m≡0(mod p)?圯ks≡m-im(mod p)，又k∈Zp，当k=0时，0·s=0≡m-im(mod p)，产生矛盾. 所以k≠0，则(k，p)=1，?圯(k，p)｜(m-im)，由引理2得：ks≡m-im(mod p)有解，所以存在s∈Zp，t∈Zp2，使?滓(bsat)=bsat，所以?滓不是Aut(G)的FPF-自同构，则Aut(G)中不存在FPF-自同构。
参考文献：
[1]陈蓉，张勤海，亚循环的内交换p-群的自同构群(p≠2)[J]，山西师范大学（自然科学版），2008，（22）2：1-5.
[2]黄平安，关于一类自同构群[J]，数学杂志，2001，20(3)：345-349.
[3]黄平安，关于自同构群的结构[J]，湖南大学学报，1989,16（4）：135-137.
[4]兰海峰，靳平，算术p-群的自同构群[J]，太原科技大学学报，2007，28（5）：356-357.
[5]罗敬辉，p3阶群的自同构群的构造和性质[J]，数学的实践与认识，1989，19（2）：68-71.
[6]徐明曜，有限群导引[M]，北京：科学出版社，1999.
[7]燕建梁，李秀萍，一类特殊有限p-群的自同构群[J]，山西大学学报（自然科学版)，2003，26（1）：22-25.