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摘 要：本文围绕初中数学例题的“二次开发”进行深化研究，主要从以下几个方面进行分析：研究例题的“二次开发”、在例题的“二次开发”中培养学生分析问题和解决问题的能力、在例题的“二次开发”中渗透数学的思想、在例题的“二次开发”中传授数学解题方法、提升学生数学学科的核心素养。
关键词：例题；二次开发；深化研究；解题方法；数学思想；数学素养
初中数学教学有相当一部分是有关例题的教学，重视各种例题的教学，有助于学生掌握数学知识，形成技能，也有助于学生提高各种能力，形成素养。教材中的绝大部分例题是编者经过精挑细选安排的，它们紧扣教学目标，能有效地促进学生的数学学习，而部分例题我们在教学时若还是照本宣科，那么效果就会大打折扣，因此需对教材中的那些例题作出合理“开发”。例题的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材中的例题进行适度增删，调整和加工，从而使它更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。而例题‘二次开发’的深化研究则是在例题“二次开发”的基础上，围绕数学教学改革的导向（包括知识导向、能力导向和素养导向）展开的，从“研究例题的‘二次开发’”、“提升学生数学学科的核心素养”等几个方面进行分析。下面就谈谈近几年来我们在“例题‘二次开发’的深化研究”中的一些做法和体会，希望得到读者的指点。
一、 研究“例题的‘二次开发’策略”
备课时，对于要用的例题，我们应该认真分析题目，在深刻理解题意的基础上，深层次地挖掘题目，对它进行二次开发。经过多年研究，我们总结出了以下主要的幾种对例题进行二次开发的方法：①“开发”例题中的数字；②“开发”例题的背景；③“开发”例题的题设和结论；④拓展例题的知识范围；⑤“开发”例题的解题思路；⑥“开发”例题的教学方法与教学策略；⑦“开发”例题的图形；⑧创造全新的例题等。教师将例题进行“二次开发”，其实就是将例题进行整合优化，最后消化吸收，这样，教师在进行例题教学时就会觉得得心应手，因此自信心也会倍增。而学生在例题的学习中也能有效地将例题内化为知识、能力与素养。
二、 在例题的“二次开发”中培养学生分析问题和解决问题的能力
数学例题、习题的数量数不胜数，我们不可能都做过，即使做过也不可能都记得住，要想真正会解题，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力是关键。因此教师应该给学生充裕的时间研读例题、思考问题、寻找解题思路。我们可将例题进行分类，如计算型题目、作图类题目、证明型题目等，接着我们要像医生治病一样，需对症下药，不同类题目一般采用不同解法。现在就以“证明等腰三角形两底角相等”为例加以说明。
我们先将文字语言“翻译”成数学语言如下：
已知：在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
分析：如果要证明两角相等，常用的方法是先证两三角形全等、两三角形相似、……，然后得到两角相等。本题要证∠B=∠C，能否证这两个角所在的两个三角形全等呢？这里没有两个三角形，怎么办呢？想到构造三角形，引出过A点作BC边上的高（或BC边上的中线或∠BAC的角平分线），再去证明△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC。
证完了本题，对本题进行“二次开发”（拓展例题的解题思路），指出证明分直接证明和间接证明两种，直接证明又分综合法和分析法两种，本题用的是分析法，分析法往往从数学例题的待证结论或所求问题出发，一步步往“须知”摸索下去，最后达到题目的已知条件，分析时往往可用“”加以说明。综合法与分析法刚好相反，用综合法解题时是从数学题的已知条件出发，经过逐步逻辑推理，最后达到待证的结论或求出需求的问题，综合法是由“∵”和“∴”等步骤组成的。其次是间接证明，间接证明有两种思路：反证法和举反例的方法，并举些相应的例子加以说明，如要说明“若ac=bc，则a=b”是假命题，我们只要举例“a=5，b=4，c=0”，反驳这个命题就行了。若教师都用这种态度对待例题，时间久了，在潜移默化中学生分析问题和解决问题的能力自然而然会得到提高。
三、 在例题的“二次开发”中渗透数学的思想
根据大纲精神，初中数学的基本思想主要指转化、分类与整合、数形结合等，下面以分类讨论数学思想为例，谈谈如何在例题“二次开发”的教学中渗透数学思想。在解题时对于一些比较复杂的对象，为了研究的需要，往往要根据对象的特点将对象分成不同的部分进行分析，或将对象区分为不同种类进行研究，这就是分类讨论。通过研究不同部分或不同种类对象的性质，然后进行整合，从而认识整体的性质。在分类讨论中要注意分类标准的同一性，数学教学中运用分类讨论思想，有利于培养学生思维的严密性，学生经过归纳、总结所学的数学知识，能使知识更具条理化、系统化，继而形成一个完整的知识结构链条。例如，在分析例题“解方程”时，可分两种情况进行讨论：①当x≥0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）；②当x<0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），最后进行整合，∴原方程的根是。在讲解完这道例题后，我们对例题进行 “二次开发”，即“拓展例题的知识范围”，引出：初中数学需要分类讨论的问题很多，主要有以下几个方面：①解含字母参数或绝对值符号的方程、不等式时，由于这些参数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果；②讨论二次函数中二次项系数与图象的开口方向、等腰三角形的例题、圆周角定理的证明等；③有的数学问题，虽结论唯一但导致这结论的前提不尽相同；……
四、 在例题的“二次开发”中传授数学解题方法
数学解题方法则是指解出试题的方法，在解题中归纳、积累一些常用的数学解题方法，对学好数学是可以起到事半功倍的效果，数学的解题方法很多，不同知识内容要选用不同方法，如求函数解析式时可根据所给条件选用列解析式法或待定系数法，解二元一次方程组时可根据式子特点选用加减消元法或代入消元法，……下面以换元法为例，谈谈如何在例题“二次开发”的教学中传授数学解题方法。例：已知实数a、b满足（a2 b2）2-2（a2 b2）=8，求a2 b2的值。分析：通过观察可发现，式子a2 b2重复出现，如果把式子a2 b2看成一个整体，设y=a2 b2，则原式化为y2-2y=8，即（y-4）（y 2）=0，可得y-4=0或y 2=0，解得，∵a2 b2>0，∴a2 b2=4。故答案为4。紧接着，我们对例题进行 “二次开发”，改变例题中的“所需换的元”，如：解方程，可设，因此，原方程可化为……最后总结传授“换元”这种数学解题方法。说明换元的实质是进行“转化”，关键是把某个重复出现的整体看成另一个未知数，即“设元”，这样做的理论依据是等量代换，目的是化繁为简，将难处理的问题变得容易处理，将不能解决的问题转化为能解决的问题。在研究方程、不等式等问题时，通过引进新的变量，它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，可以将陌生的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推理简化，因而换元法的应用极广。 五、 培养学生数学学科的核心素养
学科教学过程就是教和学展开的过程，学科能力和素养的培养只有在相应的学科活动中才能形成和發展。数学学科的核心素养是通过提高学生的相关能力来实现的，如：数学的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学运算能力、数据的分析能力等。如何通过例题的“二次开发”提升学生数学学科的核心素养呢？学科核心素养的提升是以学科知识为载体，以学科活动为路径，以培养他们的相应的推理等能力达到的，通过自己多年的实践，现以“培养学生的抽象思维能力”为例说明具体做法。规则以言语命题（或句子）来表达，它是公式、定律、法则等的总称，因此它的概念更抽象，在数学解题中有意识的培养学生的抽象思维能力就显得极为重要。为帮助学生正确掌握规则，克服由于规则的抽象而导致学生学习的困难，我采取“二次开发例题中的数字”的方法，用大量的实例，让学生从特殊的实例中寻找出一般规律，概括出一般抽象结论。例如，数学教师在上合并同类项这一课时，由特例2a 3a，5a 6a或7b 2b等，寻找、总结出合并同类项的一般规律，并形成合并同类项的法则。
数学思想方法常隐含在数学的表层知识之中，教师应该挖掘表层知识中的数学思想方法，在例题的“二次开发”中进行渗透，这些思想和方法之间是相互影响、互相促进的，在数学教学中要有机地结合起来。素养是知识、能力、态度与情境间的因应互动体系，基于核心素养的要求，数学教学要求变教堂为学堂，培养和依靠学生的独立学习能力是教学促进学生核心素养发展的根本体现。教师还要有“教从属于学” 的教学观，学生是教学活动中的主体，学习是教学活动的本位所在，因此教师要在引导学生学，在促进学生学上下功夫，教学生学会思考、学会学习，以便提高教与学的效果和质量。
参考文献：
[1]周银，初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究，[J]，中学数学杂志，2012-06-10.
[2]周银，浅谈如何处理初中数学教材中的例题，[J]，中学数学杂志，2011-06-10.
[3]高桂华，浅谈换元法在高中数学中的应用，中国校外教育，2011-12-01.
[4]《初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析》，2016.
[5]《关于谈初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略》，学科教育论文，2015.
[6]《初中数学思想方法的概念》，百度文库，互联网文档资源，2012.
[7]《换元法》，互联网文档资源，2015.
[8]高中数学解题思想方法，百度文库，互联网文档资源，2012.
关键词：例题；二次开发；深化研究；解题方法；数学思想；数学素养
初中数学教学有相当一部分是有关例题的教学，重视各种例题的教学，有助于学生掌握数学知识，形成技能，也有助于学生提高各种能力，形成素养。教材中的绝大部分例题是编者经过精挑细选安排的，它们紧扣教学目标，能有效地促进学生的数学学习，而部分例题我们在教学时若还是照本宣科，那么效果就会大打折扣，因此需对教材中的那些例题作出合理“开发”。例题的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材中的例题进行适度增删，调整和加工，从而使它更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。而例题‘二次开发’的深化研究则是在例题“二次开发”的基础上，围绕数学教学改革的导向（包括知识导向、能力导向和素养导向）展开的，从“研究例题的‘二次开发’”、“提升学生数学学科的核心素养”等几个方面进行分析。下面就谈谈近几年来我们在“例题‘二次开发’的深化研究”中的一些做法和体会，希望得到读者的指点。
一、 研究“例题的‘二次开发’策略”
备课时，对于要用的例题，我们应该认真分析题目，在深刻理解题意的基础上，深层次地挖掘题目，对它进行二次开发。经过多年研究，我们总结出了以下主要的幾种对例题进行二次开发的方法：①“开发”例题中的数字；②“开发”例题的背景；③“开发”例题的题设和结论；④拓展例题的知识范围；⑤“开发”例题的解题思路；⑥“开发”例题的教学方法与教学策略；⑦“开发”例题的图形；⑧创造全新的例题等。教师将例题进行“二次开发”，其实就是将例题进行整合优化，最后消化吸收，这样，教师在进行例题教学时就会觉得得心应手，因此自信心也会倍增。而学生在例题的学习中也能有效地将例题内化为知识、能力与素养。
二、 在例题的“二次开发”中培养学生分析问题和解决问题的能力
数学例题、习题的数量数不胜数，我们不可能都做过，即使做过也不可能都记得住，要想真正会解题，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力是关键。因此教师应该给学生充裕的时间研读例题、思考问题、寻找解题思路。我们可将例题进行分类，如计算型题目、作图类题目、证明型题目等，接着我们要像医生治病一样，需对症下药，不同类题目一般采用不同解法。现在就以“证明等腰三角形两底角相等”为例加以说明。
我们先将文字语言“翻译”成数学语言如下：
已知：在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
分析：如果要证明两角相等，常用的方法是先证两三角形全等、两三角形相似、……，然后得到两角相等。本题要证∠B=∠C，能否证这两个角所在的两个三角形全等呢？这里没有两个三角形，怎么办呢？想到构造三角形，引出过A点作BC边上的高（或BC边上的中线或∠BAC的角平分线），再去证明△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC。
证完了本题，对本题进行“二次开发”（拓展例题的解题思路），指出证明分直接证明和间接证明两种，直接证明又分综合法和分析法两种，本题用的是分析法，分析法往往从数学例题的待证结论或所求问题出发，一步步往“须知”摸索下去，最后达到题目的已知条件，分析时往往可用“”加以说明。综合法与分析法刚好相反，用综合法解题时是从数学题的已知条件出发，经过逐步逻辑推理，最后达到待证的结论或求出需求的问题，综合法是由“∵”和“∴”等步骤组成的。其次是间接证明，间接证明有两种思路：反证法和举反例的方法，并举些相应的例子加以说明，如要说明“若ac=bc，则a=b”是假命题，我们只要举例“a=5，b=4，c=0”，反驳这个命题就行了。若教师都用这种态度对待例题，时间久了，在潜移默化中学生分析问题和解决问题的能力自然而然会得到提高。
三、 在例题的“二次开发”中渗透数学的思想
根据大纲精神，初中数学的基本思想主要指转化、分类与整合、数形结合等，下面以分类讨论数学思想为例，谈谈如何在例题“二次开发”的教学中渗透数学思想。在解题时对于一些比较复杂的对象，为了研究的需要，往往要根据对象的特点将对象分成不同的部分进行分析，或将对象区分为不同种类进行研究，这就是分类讨论。通过研究不同部分或不同种类对象的性质，然后进行整合，从而认识整体的性质。在分类讨论中要注意分类标准的同一性，数学教学中运用分类讨论思想，有利于培养学生思维的严密性，学生经过归纳、总结所学的数学知识，能使知识更具条理化、系统化，继而形成一个完整的知识结构链条。例如，在分析例题“解方程”时，可分两种情况进行讨论：①当x≥0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）；②当x<0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），最后进行整合，∴原方程的根是。在讲解完这道例题后，我们对例题进行 “二次开发”，即“拓展例题的知识范围”，引出：初中数学需要分类讨论的问题很多，主要有以下几个方面：①解含字母参数或绝对值符号的方程、不等式时，由于这些参数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果；②讨论二次函数中二次项系数与图象的开口方向、等腰三角形的例题、圆周角定理的证明等；③有的数学问题，虽结论唯一但导致这结论的前提不尽相同；……
四、 在例题的“二次开发”中传授数学解题方法
数学解题方法则是指解出试题的方法，在解题中归纳、积累一些常用的数学解题方法，对学好数学是可以起到事半功倍的效果，数学的解题方法很多，不同知识内容要选用不同方法，如求函数解析式时可根据所给条件选用列解析式法或待定系数法，解二元一次方程组时可根据式子特点选用加减消元法或代入消元法，……下面以换元法为例，谈谈如何在例题“二次开发”的教学中传授数学解题方法。例：已知实数a、b满足（a2 b2）2-2（a2 b2）=8，求a2 b2的值。分析：通过观察可发现，式子a2 b2重复出现，如果把式子a2 b2看成一个整体，设y=a2 b2，则原式化为y2-2y=8，即（y-4）（y 2）=0，可得y-4=0或y 2=0，解得，∵a2 b2>0，∴a2 b2=4。故答案为4。紧接着，我们对例题进行 “二次开发”，改变例题中的“所需换的元”，如：解方程，可设，因此，原方程可化为……最后总结传授“换元”这种数学解题方法。说明换元的实质是进行“转化”，关键是把某个重复出现的整体看成另一个未知数，即“设元”，这样做的理论依据是等量代换，目的是化繁为简，将难处理的问题变得容易处理，将不能解决的问题转化为能解决的问题。在研究方程、不等式等问题时，通过引进新的变量，它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，可以将陌生的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推理简化，因而换元法的应用极广。 五、 培养学生数学学科的核心素养
学科教学过程就是教和学展开的过程，学科能力和素养的培养只有在相应的学科活动中才能形成和發展。数学学科的核心素养是通过提高学生的相关能力来实现的，如：数学的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学运算能力、数据的分析能力等。如何通过例题的“二次开发”提升学生数学学科的核心素养呢？学科核心素养的提升是以学科知识为载体，以学科活动为路径，以培养他们的相应的推理等能力达到的，通过自己多年的实践，现以“培养学生的抽象思维能力”为例说明具体做法。规则以言语命题（或句子）来表达，它是公式、定律、法则等的总称，因此它的概念更抽象，在数学解题中有意识的培养学生的抽象思维能力就显得极为重要。为帮助学生正确掌握规则，克服由于规则的抽象而导致学生学习的困难，我采取“二次开发例题中的数字”的方法，用大量的实例，让学生从特殊的实例中寻找出一般规律，概括出一般抽象结论。例如，数学教师在上合并同类项这一课时，由特例2a 3a，5a 6a或7b 2b等，寻找、总结出合并同类项的一般规律，并形成合并同类项的法则。
数学思想方法常隐含在数学的表层知识之中，教师应该挖掘表层知识中的数学思想方法，在例题的“二次开发”中进行渗透，这些思想和方法之间是相互影响、互相促进的，在数学教学中要有机地结合起来。素养是知识、能力、态度与情境间的因应互动体系，基于核心素养的要求，数学教学要求变教堂为学堂，培养和依靠学生的独立学习能力是教学促进学生核心素养发展的根本体现。教师还要有“教从属于学” 的教学观，学生是教学活动中的主体，学习是教学活动的本位所在，因此教师要在引导学生学，在促进学生学上下功夫，教学生学会思考、学会学习，以便提高教与学的效果和质量。
参考文献：
[1]周银，初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究，[J]，中学数学杂志，2012-06-10.
[2]周银，浅谈如何处理初中数学教材中的例题，[J]，中学数学杂志，2011-06-10.
[3]高桂华，浅谈换元法在高中数学中的应用，中国校外教育，2011-12-01.
[4]《初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析》，2016.
[5]《关于谈初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略》，学科教育论文，2015.
[6]《初中数学思想方法的概念》，百度文库，互联网文档资源，2012.
[7]《换元法》，互联网文档资源，2015.
[8]高中数学解题思想方法，百度文库，互联网文档资源，2012.