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较复杂的排列、组合问题在求解时，要学会变换思维，选准思考角度，这样不但能迅速找到解题的途经，而且还能方便检验结果的正确性.下面剖析这部分常见的思想方法.
一、构造法
例1某市有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）.
（1）图中共有多少个矩形？
（2）从A点走向B点最短路线的走法有多少种？
分析：（1）任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成；（2）从A点走向B点最短路线的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同.
解：（1）在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形有C27·C25=210（个）.
（2）每条东西向街道分成6段，每条南北向街道分成4段，从A到B最短路线的走法无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向向东，另4段方向向北.每种走法，即是从10段选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4段数即是走南北方向的），共有C610=C410=210（种）走法（同样可以从10段选4段走南北方向的，每个选法是1种走法）
点评：要在实际问题中建立组合模型，这就需要抓住特例进行分析，如在本例（1）中，注意一个矩形可由图中的两条横线和两条纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条再从7条竖线中选2条即可，从而建立组合模型；而在（2）中，观察分析每条最短路线均由10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段为由南向北方向所组成.
二、转化思想
例2求(1+x+x2)8展开式中x5的系数.
解法1：(1+x+x2)8＝［1+(x+x2)］8，所以Tr+1=Cr8(x+x2)r，
则x5的系数由(x+x2)r来决定，
T′k+1=Ckr·xr-k·（x2）k=Ckrxr+k，令r＋k＝5，
解之得r1=5k1=0 或r2=4k2=1 或r3=3k3=2
所以含x5的系数为C58C05+C48C14+C38C23=504.
解法2：(1+x+x2)8＝［(1+x)+x2］8=C08(1+x)8+C18(1+x)7·x2
+C28(1+x)6·(x2)2+C38(1+x)5·(x2)3…
则展开式中含x5的系数为C08C58+C18C37+C28C16=504.
解法3：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8个），这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三：
（1）有2个括号出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有C28C16种；
（2）有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个，共有C18C37种；
（3）没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C58种.
所以x5的系数是C28C16＋C18C37＋C58＝504.
点评：求多项式的展开式以及展开式中特定项方法较多，可以把它转化为二项式来展开；也可以利用多项式的乘法法则来展开；还可以对多项式先变形化简，再展开；还可以利用两个原理来求其指定项的系数等.
三、分类讨论思想
例3有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名日语译员，另外两名英、日语
都很精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可以开几张？
解：若先考虑两名英、日语都精通的人，按“多面手”的参与情况分成三类求解，列
式较复杂，容易考虑不全，但按“多面手”翻译英语的人数分类，则类别少，列式清晰.
第一类：“多面手”都参加英语翻译，有C22C25C44种；
第二类：“多面手”只有一个参加英语翻译，有C12C35C45种；
第三类：“多面手”都不参加英语翻译，全部加入日语类，有C45C46种；
三个类别共有C22C25C44＋C12C35C45＋C45C46＝185种.
点评：本题求解的分类方法条理清楚，类别较少，采用分类思维解题关键是要有合理的分类方法，才能容易列式计算，有利于问题的解决.
四、正难则反
例4在第29届北京奥运会期间，组织者要从6名男志愿者和4名女志愿者中选出4人，分别从事解说、接待、宣传、清洁工作，若这4人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？
分析：本题直接求解，需要讨论女生的人数，比较麻烦，若采用逆向思考的方法可使问题简化.
解：从10名志愿者中选出4人共有A410种，这些选法中全部都是男志愿者的选法有A46种，这些选法不符合题意，应舍去，故至少有一名女志愿者的选法总数为A410－A46＝5040－360＝4680.
点评：对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难从正面入手的排列问题，在解题时，应调整思路，从问题的反面入手，通过探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.
有限制条件的组合问题，主要有“含”与“不含”“至少”与“至多”等问题，解决方法分直接法与间接法两种，要特别注意题目中的关键词语，谨防重复或遗漏.
五、构造模型法
例5如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有.
解：如图，构建三棱锥ABCD，四个顶点表示四个色块，六条棱表示连结任意两个色块的线段.
由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：
从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同的取法为C36－4＝16（种）
点评：本题根据问题的特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰，简洁明快.
美图秀二
后悔是一种耗费精神的情绪。后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以不要沉于后悔，要让自己看到前方的希望。
既然选择了远方,我不去想是否能够成功，便只顾风雨兼程；既然目标是地平线,我不去想身后会不会袭来寒风冷雨,留给世界的只是我孤傲的背影。
一、构造法
例1某市有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）.
（1）图中共有多少个矩形？
（2）从A点走向B点最短路线的走法有多少种？
分析：（1）任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成；（2）从A点走向B点最短路线的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同.
解：（1）在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形有C27·C25=210（个）.
（2）每条东西向街道分成6段，每条南北向街道分成4段，从A到B最短路线的走法无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向向东，另4段方向向北.每种走法，即是从10段选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4段数即是走南北方向的），共有C610=C410=210（种）走法（同样可以从10段选4段走南北方向的，每个选法是1种走法）
点评：要在实际问题中建立组合模型，这就需要抓住特例进行分析，如在本例（1）中，注意一个矩形可由图中的两条横线和两条纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条再从7条竖线中选2条即可，从而建立组合模型；而在（2）中，观察分析每条最短路线均由10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段为由南向北方向所组成.
二、转化思想
例2求(1+x+x2)8展开式中x5的系数.
解法1：(1+x+x2)8＝［1+(x+x2)］8，所以Tr+1=Cr8(x+x2)r，
则x5的系数由(x+x2)r来决定，
T′k+1=Ckr·xr-k·（x2）k=Ckrxr+k，令r＋k＝5，
解之得r1=5k1=0 或r2=4k2=1 或r3=3k3=2
所以含x5的系数为C58C05+C48C14+C38C23=504.
解法2：(1+x+x2)8＝［(1+x)+x2］8=C08(1+x)8+C18(1+x)7·x2
+C28(1+x)6·(x2)2+C38(1+x)5·(x2)3…
则展开式中含x5的系数为C08C58+C18C37+C28C16=504.
解法3：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8个），这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三：
（1）有2个括号出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有C28C16种；
（2）有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个，共有C18C37种；
（3）没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C58种.
所以x5的系数是C28C16＋C18C37＋C58＝504.
点评：求多项式的展开式以及展开式中特定项方法较多，可以把它转化为二项式来展开；也可以利用多项式的乘法法则来展开；还可以对多项式先变形化简，再展开；还可以利用两个原理来求其指定项的系数等.
三、分类讨论思想
例3有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名日语译员，另外两名英、日语
都很精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可以开几张？
解：若先考虑两名英、日语都精通的人，按“多面手”的参与情况分成三类求解，列
式较复杂，容易考虑不全，但按“多面手”翻译英语的人数分类，则类别少，列式清晰.
第一类：“多面手”都参加英语翻译，有C22C25C44种；
第二类：“多面手”只有一个参加英语翻译，有C12C35C45种；
第三类：“多面手”都不参加英语翻译，全部加入日语类，有C45C46种；
三个类别共有C22C25C44＋C12C35C45＋C45C46＝185种.
点评：本题求解的分类方法条理清楚，类别较少，采用分类思维解题关键是要有合理的分类方法，才能容易列式计算，有利于问题的解决.
四、正难则反
例4在第29届北京奥运会期间，组织者要从6名男志愿者和4名女志愿者中选出4人，分别从事解说、接待、宣传、清洁工作，若这4人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？
分析：本题直接求解，需要讨论女生的人数，比较麻烦，若采用逆向思考的方法可使问题简化.
解：从10名志愿者中选出4人共有A410种，这些选法中全部都是男志愿者的选法有A46种，这些选法不符合题意，应舍去，故至少有一名女志愿者的选法总数为A410－A46＝5040－360＝4680.
点评：对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难从正面入手的排列问题，在解题时，应调整思路，从问题的反面入手，通过探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.
有限制条件的组合问题，主要有“含”与“不含”“至少”与“至多”等问题，解决方法分直接法与间接法两种，要特别注意题目中的关键词语，谨防重复或遗漏.
五、构造模型法
例5如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有.
解：如图，构建三棱锥ABCD，四个顶点表示四个色块，六条棱表示连结任意两个色块的线段.
由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：
从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同的取法为C36－4＝16（种）
点评：本题根据问题的特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰，简洁明快.
美图秀二
后悔是一种耗费精神的情绪。后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以不要沉于后悔，要让自己看到前方的希望。
既然选择了远方,我不去想是否能够成功，便只顾风雨兼程；既然目标是地平线,我不去想身后会不会袭来寒风冷雨,留给世界的只是我孤傲的背影。