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摘要：巧妙利用摩擦角解决高考力学中的有关摩擦力的极值和临界问题。
关键词：摩擦角；高考试题；极值与临界问题
摩擦角是力学中的一个基本概念，它是研究摩擦问题的另一个重要物理量。灵活运用摩擦角及其相关知识，可以巧妙解决有关摩擦的力学问题。下面结合几道高考物理力学中的极值与临界问题，就摩擦角的相关概念及其应用做一介绍。
一、 摩擦角简介
1. 全反力是物体所受的支持力N与摩擦力fk的合力。
2. 滑动摩擦角用φk表示（如图1所示），其大小由动摩擦因素来决定，tanφk=fkN=μ，在实际问题中，虽然全反力随外力大小发生变化，但方向不变。
3. 静摩擦角用φs表示（如图2所示），其大小满足tanφs=fsN，当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力fs达到最大值fsm，对应的夹角也达到最大值φsm，其值由静摩擦因数决定，tanφsm=fsmN=μs。高中阶段认为φsm=φk。
二、 拉力的极小值
【例1】（2013山东卷22）如图3所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33。重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
解析：（1）略
（2）对物体受力分析，如图4所示，先研究支持力FN与摩擦力f的合力，即为全反力F全。
则有∠1=arctanfFN=arctanμ=30°。
现将其中支持力FN与摩擦力f用全反力F全来等效替代。根据矢量运算法则，平移全反力F全至与重力mg首尾相接，如图5所示。
又依题意知，所受外力的合力F合为一定值，所以由图5可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取得最小。因∠1=30°，则有∠2=60°，又因∠3=60°，可得∠4=60°，从而有F′=mg=4N则最小值Fmin=（F′ F合）sin∠2=（F′ ma）sin60°=2.63N=1335N。
三、 动态平衡分析
【例2】（2009宁夏理综卷21）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0<μ<1）。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图6，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（）
A. F先减小后增大B. F一直增大
C. F的功率减小D. F的功率不变
解析：物体受四个力作用，重力mg、支持力FN、摩擦力f、拉力F，FN和f的合力也即全反力用R表示，设R与FN的夹角为α，如图7所示，由上述摩擦角的概念知道，tanα=μ。当拉力F的方向变化时，全反力R的大小也将变化，但方向保持不变。引入全反力R，将四力平衡问题转化为三力平衡的问题，由于物体匀速运动，则mg、R、F的合力为零，表示这三个力的矢量可以构成一个封闭的矢量三角形。改变F与水平方向的夹角θ，可以得到不同的封闭的矢量三角形，即动态三角形，如图8所示。由图的动态三角形，可以得到以下结论：在θ由0°变化到90°过程中，拉力F先变小后变大，并且在F⊥R时，F有最小值；在θ由0°变化到90°过程中，R一直变小。由上面的结论可以得到，选项A正确。由于物体匀速运动，有Fcosθ=f=Rsinα（1），而F的功率为P=Fvcosθ（2），由（1）、（2）得到P=Rvsinα，由于R一直变小，而α不變，所以在θ由0°变化到90°过程中，F的功率减小，选项C正确。故本题答案为A、C。
四、 结束语
对于这类力学中的极值和临界问题，如果按常规的解法，采用三角函数求极值的方法，运算过程比较繁琐，对数学要求较高，且运量一般很大，数学功底不扎实的可能还求不出来。若引入全反力、摩擦角，借助矢量图进行分析，物理思路清晰，并能简化受力，简化方程，提高解题的速率。
作者简介：
陈远奎，安徽省合肥市，安徽省肥西第三中学。
关键词：摩擦角；高考试题；极值与临界问题
摩擦角是力学中的一个基本概念，它是研究摩擦问题的另一个重要物理量。灵活运用摩擦角及其相关知识，可以巧妙解决有关摩擦的力学问题。下面结合几道高考物理力学中的极值与临界问题，就摩擦角的相关概念及其应用做一介绍。
一、 摩擦角简介
1. 全反力是物体所受的支持力N与摩擦力fk的合力。
2. 滑动摩擦角用φk表示（如图1所示），其大小由动摩擦因素来决定，tanφk=fkN=μ，在实际问题中，虽然全反力随外力大小发生变化，但方向不变。
3. 静摩擦角用φs表示（如图2所示），其大小满足tanφs=fsN，当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力fs达到最大值fsm，对应的夹角也达到最大值φsm，其值由静摩擦因数决定，tanφsm=fsmN=μs。高中阶段认为φsm=φk。
二、 拉力的极小值
【例1】（2013山东卷22）如图3所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33。重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
解析：（1）略
（2）对物体受力分析，如图4所示，先研究支持力FN与摩擦力f的合力，即为全反力F全。
则有∠1=arctanfFN=arctanμ=30°。
现将其中支持力FN与摩擦力f用全反力F全来等效替代。根据矢量运算法则，平移全反力F全至与重力mg首尾相接，如图5所示。
又依题意知，所受外力的合力F合为一定值，所以由图5可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取得最小。因∠1=30°，则有∠2=60°，又因∠3=60°，可得∠4=60°，从而有F′=mg=4N则最小值Fmin=（F′ F合）sin∠2=（F′ ma）sin60°=2.63N=1335N。
三、 动态平衡分析
【例2】（2009宁夏理综卷21）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0<μ<1）。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图6，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（）
A. F先减小后增大B. F一直增大
C. F的功率减小D. F的功率不变
解析：物体受四个力作用，重力mg、支持力FN、摩擦力f、拉力F，FN和f的合力也即全反力用R表示，设R与FN的夹角为α，如图7所示，由上述摩擦角的概念知道，tanα=μ。当拉力F的方向变化时，全反力R的大小也将变化，但方向保持不变。引入全反力R，将四力平衡问题转化为三力平衡的问题，由于物体匀速运动，则mg、R、F的合力为零，表示这三个力的矢量可以构成一个封闭的矢量三角形。改变F与水平方向的夹角θ，可以得到不同的封闭的矢量三角形，即动态三角形，如图8所示。由图的动态三角形，可以得到以下结论：在θ由0°变化到90°过程中，拉力F先变小后变大，并且在F⊥R时，F有最小值；在θ由0°变化到90°过程中，R一直变小。由上面的结论可以得到，选项A正确。由于物体匀速运动，有Fcosθ=f=Rsinα（1），而F的功率为P=Fvcosθ（2），由（1）、（2）得到P=Rvsinα，由于R一直变小，而α不變，所以在θ由0°变化到90°过程中，F的功率减小，选项C正确。故本题答案为A、C。
四、 结束语
对于这类力学中的极值和临界问题，如果按常规的解法，采用三角函数求极值的方法，运算过程比较繁琐，对数学要求较高，且运量一般很大，数学功底不扎实的可能还求不出来。若引入全反力、摩擦角，借助矢量图进行分析，物理思路清晰，并能简化受力，简化方程，提高解题的速率。
作者简介：
陈远奎，安徽省合肥市，安徽省肥西第三中学。