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1. 混淆集合中的元素
例1方程组[x-y-1=02x+y-2=0]的解集是①{1，0}；②{[x=1]或[y=0]}；③{（1，0）}；④{[(x,y)|x=1]且[y=0]}.其中正确表示的是（ ）
A. ①②B. ①③ C. ②③ D. ③④
解析本题需确定二元一次方程组的解集,首先要注意其解集是点集,并注意点集的表示方式.
答案D
例2已知集合[M={x|x=3n,n∈Z}]，[N={x|x=][3n+1，n∈Z},][P={x|x=3n-1，n∈Z},]且[a∈M]，[b∈N]，[c∈P,]设[d=a-b+c]，则（ ）
A. [d∈M] B. [d∈N]
C. [d∈P] D. 以上都不对
解析本题考查元素与集合的关系：（1）元素与集合的属于、不属于关系；（2）元素属于集合即元素能表示成集合中的形式.
[∵a∈M]，则[a=3n].
同理[b=3m+1,][c=3s-1,]
则[d=a-b+c=3n-3m-1+3s-1]
[=3(n-m+s)-2][=3(n-m+s-1)+1∈N,]
即[d∈N].
答案B
例3已知集合[P={y|y=-x2+2，x∈R},][Q={x|y=-x+2,x∈R}]，那么[P∩Q]等于（ ）
A．（0，2），（1，1） B. {（0，2），（1，1）}
C. {1,2} D. {[y|y]≤2}
解析由代表元可知，两集合均为数集，集合[P]表示的是[y=-x2+2]中[y]的取值范围，[P={y|y≤2}]；集合[Q]表示的是[y=-x+2]中[x]的取值范围，[Q={x|x∈R}]，从而[P∩Q={y|y≤2}]，也可写成[{x|x≤2}或{s|s≤2},]变量可用任意字母.
答案D
点拨集合中的元素应注意：（1）集合中元素的属性；（2）各集合中含参数的条件，参数的取值可以不同；（3）集合中的变量可用不同的字母表示.
2. 集合中元素的三性
例4下列命题正确的有 .
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{1，5}与集合{5，1}是不同的集合；
（3）由1，[32]，[64]，|[-12]|，0.5组成的集合有5个元素；
（4）在实数中，比负数大的所有数的全体是一个集合.
解析这类题主要考查对概念的理解，解决这类题的关键是集合元素的三性.
（1）不正确，很小不具有确指性，违背集合的确定性.
（2）不正确，集合中的元素具有无序性，是同一集合.
（3）不正确，[32]=[64]，|[-12]|=0.5，根据互异性，组成的集合是3个元素.
（4）正确，满足集合的三性.
例5已知[A={1,2,3,a}]，[B={3,a2}]，[A∪B=A]，求[a].
解析由[A∪B=A]可知[B]是[A]的子集，根据集合间的关系即可解决参数[a]，注意集合中元素的互异性.
由题意知①[a2=1]得[a=±1]，将其代入验算得[a=-1].
②[a2=2]，解得[a=±2]，将其代入验算得[a=±2].
③[a2=a]，解得[a=0]或[a=1]，经检验得[a=0].
综合①②③得[a=-1，±2]，0.
点拨集合中的元素具有三性：其中确定性要求元素具有指定的条件限制，互异性要求不能有重复的元素，而无序性表示相同元素的任意表示都是同一集合.注意：利用集合间的关系解决集合中的参数问题时，都有一个验根的过程，这是因为集合的互异性通常情况下会产生增根.
3. 忽略空集[∅]的存在
例6已知[A={x|m+1≤x≤2m-1},][B={x|-2][≤x≤5},]若[A⊆B,]求实数[m]的取值范围.
解析本题由集合间的关系引出参数的取值范围，注意由不等式表示的范围关系一定是小范围包含于大范围，另外空集是任何集合的子集是关键.
①[A=∅]时，[m+1＞2m-1]，解得[m<2].
②[A≠∅]时，[-2≤m+1≤2m-1≤5]，解得[2≤m≤3].
综合①②得[m∈(-∞，3]].
例7设[A={x|x2+4x=0，x∈R}，][B={x|x2+][2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}]，若[B⊆A]，求[a]的取值范围.
解析借助集合间的关系，本题应分成四类进行讨论，其中空集的情况是不可忽视的一类.
由题意得[A]中[x2+4x=0], 解得[x=0,-4].
故[A={0,-4}].
又[B⊆A]
[∴]①[B=∅]时，
[Δ=[2(a+1)]2-][4(a2-1)＜0]，解得[a＜-1].
②[B={0}]时，可得[a2-1=0Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0]，
解得[a=-1].
③[B={-4}]时，可得[16-8(a+1)+a2-1=0Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0,]
此时，[a]无解.
④[B={0,-4}]时，可得[a2-1=016-8(a+1)+a2-1=0,]
解得[a=1].
综合①②③④得[a≤-1]或[a=1].
点拨对于含参的集合的交、并、补问题通常都采用分类讨论的思想. 讨论时一定要注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；另外还要注意分类时应不重不漏，严谨的思维是学好数学的关键.
当然，集合中还有一些要注意的小细节，比如说边界的包含问题、集合中集合中元素个数的确定问题等都需要我们在平时的学习中勤动眼、多用脑，将數学的严谨思维贯穿到整个学习中.
例1方程组[x-y-1=02x+y-2=0]的解集是①{1，0}；②{[x=1]或[y=0]}；③{（1，0）}；④{[(x,y)|x=1]且[y=0]}.其中正确表示的是（ ）
A. ①②B. ①③ C. ②③ D. ③④
解析本题需确定二元一次方程组的解集,首先要注意其解集是点集,并注意点集的表示方式.
答案D
例2已知集合[M={x|x=3n,n∈Z}]，[N={x|x=][3n+1，n∈Z},][P={x|x=3n-1，n∈Z},]且[a∈M]，[b∈N]，[c∈P,]设[d=a-b+c]，则（ ）
A. [d∈M] B. [d∈N]
C. [d∈P] D. 以上都不对
解析本题考查元素与集合的关系：（1）元素与集合的属于、不属于关系；（2）元素属于集合即元素能表示成集合中的形式.
[∵a∈M]，则[a=3n].
同理[b=3m+1,][c=3s-1,]
则[d=a-b+c=3n-3m-1+3s-1]
[=3(n-m+s)-2][=3(n-m+s-1)+1∈N,]
即[d∈N].
答案B
例3已知集合[P={y|y=-x2+2，x∈R},][Q={x|y=-x+2,x∈R}]，那么[P∩Q]等于（ ）
A．（0，2），（1，1） B. {（0，2），（1，1）}
C. {1,2} D. {[y|y]≤2}
解析由代表元可知，两集合均为数集，集合[P]表示的是[y=-x2+2]中[y]的取值范围，[P={y|y≤2}]；集合[Q]表示的是[y=-x+2]中[x]的取值范围，[Q={x|x∈R}]，从而[P∩Q={y|y≤2}]，也可写成[{x|x≤2}或{s|s≤2},]变量可用任意字母.
答案D
点拨集合中的元素应注意：（1）集合中元素的属性；（2）各集合中含参数的条件，参数的取值可以不同；（3）集合中的变量可用不同的字母表示.
2. 集合中元素的三性
例4下列命题正确的有 .
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{1，5}与集合{5，1}是不同的集合；
（3）由1，[32]，[64]，|[-12]|，0.5组成的集合有5个元素；
（4）在实数中，比负数大的所有数的全体是一个集合.
解析这类题主要考查对概念的理解，解决这类题的关键是集合元素的三性.
（1）不正确，很小不具有确指性，违背集合的确定性.
（2）不正确，集合中的元素具有无序性，是同一集合.
（3）不正确，[32]=[64]，|[-12]|=0.5，根据互异性，组成的集合是3个元素.
（4）正确，满足集合的三性.
例5已知[A={1,2,3,a}]，[B={3,a2}]，[A∪B=A]，求[a].
解析由[A∪B=A]可知[B]是[A]的子集，根据集合间的关系即可解决参数[a]，注意集合中元素的互异性.
由题意知①[a2=1]得[a=±1]，将其代入验算得[a=-1].
②[a2=2]，解得[a=±2]，将其代入验算得[a=±2].
③[a2=a]，解得[a=0]或[a=1]，经检验得[a=0].
综合①②③得[a=-1，±2]，0.
点拨集合中的元素具有三性：其中确定性要求元素具有指定的条件限制，互异性要求不能有重复的元素，而无序性表示相同元素的任意表示都是同一集合.注意：利用集合间的关系解决集合中的参数问题时，都有一个验根的过程，这是因为集合的互异性通常情况下会产生增根.
3. 忽略空集[∅]的存在
例6已知[A={x|m+1≤x≤2m-1},][B={x|-2][≤x≤5},]若[A⊆B,]求实数[m]的取值范围.
解析本题由集合间的关系引出参数的取值范围，注意由不等式表示的范围关系一定是小范围包含于大范围，另外空集是任何集合的子集是关键.
①[A=∅]时，[m+1＞2m-1]，解得[m<2].
②[A≠∅]时，[-2≤m+1≤2m-1≤5]，解得[2≤m≤3].
综合①②得[m∈(-∞，3]].
例7设[A={x|x2+4x=0，x∈R}，][B={x|x2+][2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}]，若[B⊆A]，求[a]的取值范围.
解析借助集合间的关系，本题应分成四类进行讨论，其中空集的情况是不可忽视的一类.
由题意得[A]中[x2+4x=0], 解得[x=0,-4].
故[A={0,-4}].
又[B⊆A]
[∴]①[B=∅]时，
[Δ=[2(a+1)]2-][4(a2-1)＜0]，解得[a＜-1].
②[B={0}]时，可得[a2-1=0Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0]，
解得[a=-1].
③[B={-4}]时，可得[16-8(a+1)+a2-1=0Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0,]
此时，[a]无解.
④[B={0,-4}]时，可得[a2-1=016-8(a+1)+a2-1=0,]
解得[a=1].
综合①②③④得[a≤-1]或[a=1].
点拨对于含参的集合的交、并、补问题通常都采用分类讨论的思想. 讨论时一定要注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；另外还要注意分类时应不重不漏，严谨的思维是学好数学的关键.
当然，集合中还有一些要注意的小细节，比如说边界的包含问题、集合中集合中元素个数的确定问题等都需要我们在平时的学习中勤动眼、多用脑，将數学的严谨思维贯穿到整个学习中.