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摘 要：数学知识如果远离了生活，它的价值将何从体现？数学学习如果忽视了过程，又如何体验探究的乐趣？数学教学如果脱离了学生的认知基础，探究又如何会成为课堂的常态呢？因此本课例的设计宗旨是：运用而不拘泥，凭借而不依赖. 贴近生活，学有用的数学；贴近学生，学有趣的数学；贴近数学本质，真正地探究数学，有效地学习数学.
关键词：贴近生活；合理探究；贴近本质；平均变化率；教学
学生：快速求出结果.
教师：（1）如何解释“从出生到第三个月，婴儿体重的平均变化率为1（kg/月）”？
（2）本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么？
学生：（回答略）
设计意图：生活中的实例旨在让学生从数学再回到生活中，尤其是问题（2）让学生充分感知平均变化率数值不同在实际情境中所代表的婴儿在不同时期成长的速度的变化.
例2 （物理问题）如图4，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V（t）=5×2-0.1t（单位：cm3），试计算第一个10 s内V的平均变化率.
[甲][乙]
图4
一学生板演，其余学生独立完成.
教师：“容器甲中水的体积V的平均变化率为-0.25（cm3/s）”的实际意义是什么？
学生回答.
变式：向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果水瓶的形状如图所示，请对应找出注水量V与水深h的函数关系的图象.
[A][B][C][D]
[t][h][h][V][a][b][t][h][h][t][c][d]
设计意图：针对新的概念需学生加强理解和应用的能力，故用具体实例使学生由感性认识上升至理性认识，会识别图象，体会平均变化率的物理意义.
例3 （数学问题）已知函数f（x）=2x 1，g（x）=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率.
学生口算完成
变式1 已知f（x）=3x 1，试求f（x）在区间[a，b]上的平均变化率.
变式2 从上述例题、习题的求解中，你能发现一次函数y=kx b在区间[m，n]上的平均变化率有什么规律吗？
学生概括出：一次函数y=kx b在区间[m，n]上的平均变化率为直线的斜率k.
设计意图：此问题串旨在培养学生“由特殊到一般”的归纳能力，探究出一般性的结论，且从另一方面说明微积分中“以直代曲”辩证思想的合理性.
变式3 已知函数f（x）=x2，分别计算f（x）在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，1.1]； （2）[1，1.01]；
（3）[1，1.001]； （4）[0.9，1]；
（5）[0.99，1]； （6）[0.999，1] .
一学生板演，其余学生独立完成.
教师：在确定结果后用几何画板来演示.
教师：当x0逼近1的时候，f（x）在区间[1，x0]上的平均变化率呈现什么样的变化？
众生：观察后得出当x2-x1越来越小时，平均变化率便越来越逼近2.
设计意图：从数到形，让学生感受当区间逐渐变小时平均变化率便越来越逼近“精确”.
4. 总结归纳，提炼思想
（1）本课以“问题串”的方式由平均变化率的实际意义到视觉效果再到数学意义，体现了实际问题数学化的过程；通过建立数学模型，再反过来求解生活中的问题，又蕴涵着数学应用的广泛性；整节课体现了“数学来源于生活，又回归于生活”的过程.
（2）平均变化率是一个数学概念，陡峭程度是平均变化率的视觉效果，而变化速度则是平均变化率的实际意义.
（3）由于平均变化率只是一种粗略的刻画，因而有待进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立.
[?] 教后反思
有人说，数学无用，试问：除了考试，在生活中谁用过初中以上的数学知识？也有人说，数学无趣，除了概念和公式，就剩下做不完的习题了；还有人说，数学无奈，认为那是高智商人的游戏……是啊，数学知识如果远离了生活，它的价值将何从体现？数学学习如果忽视了过程，又如何体验探究的乐趣？数学教学如果脱离了学生的认知基础，又怎能得到学生的认同？探究又如何会成为课堂的常态呢？正是基于这种认识，本课的设计宗旨是：运用而不拘泥，凭借而不依赖. 贴近生活，学有用的数学；贴近学生，学有趣的数学；贴近数学本质，真正地探究数学，有效地学习数学.
（一）贴近生活，学有用的数学
不拘泥于教材，用“最近一段时间本地气温变化”作为课题引入的情境继而以此为唯一主线探究平均变化率既自然又丰富了学生的体验. 此外，“气温变化曲线”、“婴儿体重”、“虹吸现象”等无不与我们的日常生活息息相关，让学生觉得学了有用，学了好用.
（二）合理探究，学有趣的数学
有效的概念教学应该是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念. 本节课探究新知阶段始终围绕“近20天来苏州气温变化曲线”这一个实例通过“问题串”来展开，再让他们自己举出身边的实例，如：自己的身高增长、自己减肥前后的体重变化、温水煮青蛙等来巩固新知，他们的兴趣更加高涨起来，再结合实际、物理、数学等三方面的探究使学生在应用新知的同时体会数学的应用价值.
（三）贴近本质，有效地学数学
数学是思维的体操，问题是数学的心脏. 通过问题引领学生的思维，从生活走入数学的腹地，揭示数学的本质，反过来再回归生活，实为数学概念课的一种有效教学方式. 本课借助“平均变化率”这一概念，尊重教材但不拘泥于教材，充分挖掘，将“生活”、“数学”、“图形”有机地结合了起来，做到了让学生真正探究并乐于探究，从而有效地学数学.
关键词：贴近生活；合理探究；贴近本质；平均变化率；教学
学生：快速求出结果.
教师：（1）如何解释“从出生到第三个月，婴儿体重的平均变化率为1（kg/月）”？
（2）本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么？
学生：（回答略）
设计意图：生活中的实例旨在让学生从数学再回到生活中，尤其是问题（2）让学生充分感知平均变化率数值不同在实际情境中所代表的婴儿在不同时期成长的速度的变化.
例2 （物理问题）如图4，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V（t）=5×2-0.1t（单位：cm3），试计算第一个10 s内V的平均变化率.
图4
一学生板演，其余学生独立完成.
教师：“容器甲中水的体积V的平均变化率为-0.25（cm3/s）”的实际意义是什么？
学生回答.
变式：向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果水瓶的形状如图所示，请对应找出注水量V与水深h的函数关系的图象.
设计意图：针对新的概念需学生加强理解和应用的能力，故用具体实例使学生由感性认识上升至理性认识，会识别图象，体会平均变化率的物理意义.
例3 （数学问题）已知函数f（x）=2x 1，g（x）=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率.
学生口算完成
变式1 已知f（x）=3x 1，试求f（x）在区间[a，b]上的平均变化率.
变式2 从上述例题、习题的求解中，你能发现一次函数y=kx b在区间[m，n]上的平均变化率有什么规律吗？
学生概括出：一次函数y=kx b在区间[m，n]上的平均变化率为直线的斜率k.
设计意图：此问题串旨在培养学生“由特殊到一般”的归纳能力，探究出一般性的结论，且从另一方面说明微积分中“以直代曲”辩证思想的合理性.
变式3 已知函数f（x）=x2，分别计算f（x）在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，1.1]； （2）[1，1.01]；
（3）[1，1.001]； （4）[0.9，1]；
（5）[0.99，1]； （6）[0.999，1] .
一学生板演，其余学生独立完成.
教师：在确定结果后用几何画板来演示.
教师：当x0逼近1的时候，f（x）在区间[1，x0]上的平均变化率呈现什么样的变化？
众生：观察后得出当x2-x1越来越小时，平均变化率便越来越逼近2.
设计意图：从数到形，让学生感受当区间逐渐变小时平均变化率便越来越逼近“精确”.
4. 总结归纳，提炼思想
（1）本课以“问题串”的方式由平均变化率的实际意义到视觉效果再到数学意义，体现了实际问题数学化的过程；通过建立数学模型，再反过来求解生活中的问题，又蕴涵着数学应用的广泛性；整节课体现了“数学来源于生活，又回归于生活”的过程.
（2）平均变化率是一个数学概念，陡峭程度是平均变化率的视觉效果，而变化速度则是平均变化率的实际意义.
（3）由于平均变化率只是一种粗略的刻画，因而有待进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立.
[?] 教后反思
有人说，数学无用，试问：除了考试，在生活中谁用过初中以上的数学知识？也有人说，数学无趣，除了概念和公式，就剩下做不完的习题了；还有人说，数学无奈，认为那是高智商人的游戏……是啊，数学知识如果远离了生活，它的价值将何从体现？数学学习如果忽视了过程，又如何体验探究的乐趣？数学教学如果脱离了学生的认知基础，又怎能得到学生的认同？探究又如何会成为课堂的常态呢？正是基于这种认识，本课的设计宗旨是：运用而不拘泥，凭借而不依赖. 贴近生活，学有用的数学；贴近学生，学有趣的数学；贴近数学本质，真正地探究数学，有效地学习数学.
（一）贴近生活，学有用的数学
不拘泥于教材，用“最近一段时间本地气温变化”作为课题引入的情境继而以此为唯一主线探究平均变化率既自然又丰富了学生的体验. 此外，“气温变化曲线”、“婴儿体重”、“虹吸现象”等无不与我们的日常生活息息相关，让学生觉得学了有用，学了好用.
（二）合理探究，学有趣的数学
有效的概念教学应该是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念. 本节课探究新知阶段始终围绕“近20天来苏州气温变化曲线”这一个实例通过“问题串”来展开，再让他们自己举出身边的实例，如：自己的身高增长、自己减肥前后的体重变化、温水煮青蛙等来巩固新知，他们的兴趣更加高涨起来，再结合实际、物理、数学等三方面的探究使学生在应用新知的同时体会数学的应用价值.
（三）贴近本质，有效地学数学
数学是思维的体操，问题是数学的心脏. 通过问题引领学生的思维，从生活走入数学的腹地，揭示数学的本质，反过来再回归生活，实为数学概念课的一种有效教学方式. 本课借助“平均变化率”这一概念，尊重教材但不拘泥于教材，充分挖掘，将“生活”、“数学”、“图形”有机地结合了起来，做到了让学生真正探究并乐于探究，从而有效地学数学.