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“圆的认识”可谓是深受公开课老师所垂青的课题,多年来,这一课的教学已经被诸如黄爱华、华应龙、张齐华等名师们演绎了各种广为流传的版本,演进的过程中也不断有新的观点和亮点出现,令人叹为观止。前不久,我在集团内一次研讨活动中挑战此课,有效汲取名师成功之处,并大胆扬弃,始终抓住“圆规”这一媒介,紧围“半径”引路,突出学生在动态的过程中去认知、思考和操作,丰富学生的空间观念,发展学生数学思考,亦取得了很不错的教学效果。现整理其中的两个片段及自己的体会,以就教于方家。
[片段一]
师:请大家自由地在本子上画几个大小不等的圆,并思考画圆的过程中你的小技巧。
生1(指着自己的本子):针尖这点不能动,一动就会歪了。
生2(指着自己画的圆):两只脚间的距离不能动,一动也不圆了。
生3:我画了几次,越画越漂亮,感觉拿圆规转圈时要自如些,不然也画不好。
师(边演示边说):我们画圆时,一定感觉到了有些东西始终没变,是什么?
生4、5:固定的那个点!
师:这固定的一点在数学上我们称之为……
生(齐声):圆心,用字母“O”来表示。(我已经布置学生课前预习了)
师:这圆心是看得见始终没变的点,你们还能感受到什么东西也一直没变?
生6:两脚间的距离。
师:你有什么办法能让大家直接看出两脚间的距离?
生6:将两只脚尖用线连起来,不就得了!
生6(急忙补充):黑板上这个圆的圆心和圆上的任意一点连起来就是。
(我按学生所说的在黑板上连线,并故意先连圆内,再连至圆外,让学生辨别圆上点与圆内、圆外点的区别。)
师:数学上,我们把从圆心到圆上点的线段称为什么?
生(齐声):半径,用字母“r”表示。
师:请大家思考,在一个圆内半径会有多少条?为什么?
生(稍加思考,齐声):无数条!
生7:因为圆上密密麻麻的有无数个点,而圆心是固定的,所以半径就有无数条。
师:这些半径的长度呢?
生(齐声):都相等。
师:为什么?
生8:我们刚才量过其中的4条,半径是相等的,所以我们想所有的半径长度都相等。
生9(不屑一顾地):当然相等,如果不相等它就不圆了。
生10(跑上讲台):看,我们刚才画圆时,这两只脚之间的距离是固定的,刚才不是说这两脚间的距离就是圆的半径吗?所有半径的长度当然都相等。
师:由曲线围成的图形,一定是圆吗?(出示扁椭圆)
生(齐声):不是,是个椭圆。
师:为什么?
生11:我们一眼就能看出,中间固定的那点到椭圆上面的点的距离小,而到椭圆左边的点的距离大。
师:看来,圆是由曲线围成的一个很“饱满”的图形哟!不会有的地方是“瘪”的(边说边演示,先将扁椭圆逐步变成圆,再变成瘦椭圆)。
[体会]这是课始学生通过直观比较,初步知道圆是由曲线围成的图形后的一个重要环节。我先让学生用2分钟时间自由画一些圆,并思考操作过程中的技巧,让他们在一次次练习中思量如何将圆画漂亮,发展与操作同步的数学思考,“小技巧”也就蕴含在圆规的一次次调整使用之中了;紧接着让学生画出“看不见”的半径,说出是哪点与哪点间的线段,表面是对半径概念认识的一次形式创新,其实更是为下面探索半径的特征所作的一个极佳孕伏;然后让学生借助操作、推理来明白——圆有无数条半径、半径长度都相等,应该说过去只通过量半径的长度得出其相等是有局限性的,甚至是不可靠的(因为学生尺的精确度是有限的),这里我再现画圆过程,让学生现场深切地感受到圆规两脚间距离始终没变,所以在一个圆内半径长度都相等,这样的推理更加有力度,且符合高年级学生的认知水平;最后是对圆的概念的一次重要补充性“反刍”,如果在前面讲“饱满”,学生是难以接受的,只有当此处掌握了半径的特征之后,通过“椭圆”这一也是由曲线围成的图形,通过“正难则反”来强化理解。
[片段二]
师:请大家画一个直径为4cm的圆。
师:你是怎么操作的?
生1:我先在尺上量出圆规两脚间的距离是2cm,然后将有针尖的脚固定在本子上,接着让另一只脚旋转一圈,这就成了一个直径为4cm的圆。
师:如果老师在这个圆外画一个最小的正方形(出示图),你能推理出这个正方形的什么?
生2:我能知道正方形的周长是16cm,面积是16cm2,因为正方形的边长与圆的直径是相等的,都是4cm。
师:如果图是这样的呢(如下图),你又能推理出长方形的什么?
生3(很快地):长方形的宽是4cm,长是8cm,还能求出它的周长和面积。
师:老师为每个组提供了一个正六边形,你们能在这个正六边形中画出一个尽可能大的圆吗?
生4(代表小组到展台上演示):我们先找圆点,就是将两条对角线连起来相交的这个点;再量半径,就是从刚才找的圆心到一条边上的距离;现在就可以画圆了。我们还试过,如果半径再大一点,圆有些部分就会画出去了。
师:你们组真能干,画圆的关键就是——确定圆心的位置和半径的长短。
师:现在老师想请大家帮个忙,在我们这个长方形的教室里画一个最大的圆供大家做游戏,请商讨一下你们的画法。
生5、6(合作):我们先用绳子将两条对角线拉起来,就会发现有一个交点,这就是我们要找的圆心;接着用绳子量出这个圆心到最近的一面墙的距离(边说边现场去测量)是3.2m,这就是我们要找的半径;但没有这么大圆规,我们受书上画圆方法的启发,拉着绳子转一圈就画出这个最大的圆了(边说边比划着,一人用固定圆心,另一人套着粉笔拉着绳子转了一圈)。
[体会]学会画指定大小的圆,是本节课实践操作的一个重要目标。第一环节让学生画指定大小的圆,明确画圆时两脚间的距离是半径而非直径,同时通过长方形、正方形与内接最大圆的比照,观察出直线图形与曲线图形间的巧妙内联;第二环节是第一环节的发展,让学生凭借以前的表象和平时的一些经验,进一步深刻领会画圆的关键是要做到两确定——确定圆心的位置和半径的大小;第三环节则是第二个环节的拓展,不仅要确定圆心位置、半径大小,还要创造出“新圆规”来画生活中的超大圆,是对画圆操作的一次智力挑战,很有体验和创新价值。
[感悟]比起名师们所示范的“圆的认识”,我的课少了些许“文化味”,少了些许“周密性”……但我坚持挖掘数学内容自身的“原生态”魅力,全课紧紧抓住“圆规”这一工具,牵着“半径”这一核心概念,带领学生探索圆的一些基本概念、特征,引领学生进行圆的一些基本操作和创新实践,好比经历了一场“圆中游春”“树下讲学”式的活动盛宴,对学生掌握基本知识、形成基本技能、享受基本体验,都是大有裨益的。崇拜名师,但非致“千课一面”,需要借鉴的是其先进的教育理念,这就要求我们以理智的头脑打造出适合自己教学风格、适合本班学生实际的案例,这样才能让我们的数学课对当下的学生大有益处。
[片段一]
师:请大家自由地在本子上画几个大小不等的圆,并思考画圆的过程中你的小技巧。
生1(指着自己的本子):针尖这点不能动,一动就会歪了。
生2(指着自己画的圆):两只脚间的距离不能动,一动也不圆了。
生3:我画了几次,越画越漂亮,感觉拿圆规转圈时要自如些,不然也画不好。
师(边演示边说):我们画圆时,一定感觉到了有些东西始终没变,是什么?
生4、5:固定的那个点!
师:这固定的一点在数学上我们称之为……
生(齐声):圆心,用字母“O”来表示。(我已经布置学生课前预习了)
师:这圆心是看得见始终没变的点,你们还能感受到什么东西也一直没变?
生6:两脚间的距离。
师:你有什么办法能让大家直接看出两脚间的距离?
生6:将两只脚尖用线连起来,不就得了!
生6(急忙补充):黑板上这个圆的圆心和圆上的任意一点连起来就是。
(我按学生所说的在黑板上连线,并故意先连圆内,再连至圆外,让学生辨别圆上点与圆内、圆外点的区别。)
师:数学上,我们把从圆心到圆上点的线段称为什么?
生(齐声):半径,用字母“r”表示。
师:请大家思考,在一个圆内半径会有多少条?为什么?
生(稍加思考,齐声):无数条!
生7:因为圆上密密麻麻的有无数个点,而圆心是固定的,所以半径就有无数条。
师:这些半径的长度呢?
生(齐声):都相等。
师:为什么?
生8:我们刚才量过其中的4条,半径是相等的,所以我们想所有的半径长度都相等。
生9(不屑一顾地):当然相等,如果不相等它就不圆了。
生10(跑上讲台):看,我们刚才画圆时,这两只脚之间的距离是固定的,刚才不是说这两脚间的距离就是圆的半径吗?所有半径的长度当然都相等。
师:由曲线围成的图形,一定是圆吗?(出示扁椭圆)
生(齐声):不是,是个椭圆。
师:为什么?
生11:我们一眼就能看出,中间固定的那点到椭圆上面的点的距离小,而到椭圆左边的点的距离大。
师:看来,圆是由曲线围成的一个很“饱满”的图形哟!不会有的地方是“瘪”的(边说边演示,先将扁椭圆逐步变成圆,再变成瘦椭圆)。
[体会]这是课始学生通过直观比较,初步知道圆是由曲线围成的图形后的一个重要环节。我先让学生用2分钟时间自由画一些圆,并思考操作过程中的技巧,让他们在一次次练习中思量如何将圆画漂亮,发展与操作同步的数学思考,“小技巧”也就蕴含在圆规的一次次调整使用之中了;紧接着让学生画出“看不见”的半径,说出是哪点与哪点间的线段,表面是对半径概念认识的一次形式创新,其实更是为下面探索半径的特征所作的一个极佳孕伏;然后让学生借助操作、推理来明白——圆有无数条半径、半径长度都相等,应该说过去只通过量半径的长度得出其相等是有局限性的,甚至是不可靠的(因为学生尺的精确度是有限的),这里我再现画圆过程,让学生现场深切地感受到圆规两脚间距离始终没变,所以在一个圆内半径长度都相等,这样的推理更加有力度,且符合高年级学生的认知水平;最后是对圆的概念的一次重要补充性“反刍”,如果在前面讲“饱满”,学生是难以接受的,只有当此处掌握了半径的特征之后,通过“椭圆”这一也是由曲线围成的图形,通过“正难则反”来强化理解。
[片段二]
师:请大家画一个直径为4cm的圆。
师:你是怎么操作的?
生1:我先在尺上量出圆规两脚间的距离是2cm,然后将有针尖的脚固定在本子上,接着让另一只脚旋转一圈,这就成了一个直径为4cm的圆。
师:如果老师在这个圆外画一个最小的正方形(出示图),你能推理出这个正方形的什么?
生2:我能知道正方形的周长是16cm,面积是16cm2,因为正方形的边长与圆的直径是相等的,都是4cm。
师:如果图是这样的呢(如下图),你又能推理出长方形的什么?
生3(很快地):长方形的宽是4cm,长是8cm,还能求出它的周长和面积。
师:老师为每个组提供了一个正六边形,你们能在这个正六边形中画出一个尽可能大的圆吗?
生4(代表小组到展台上演示):我们先找圆点,就是将两条对角线连起来相交的这个点;再量半径,就是从刚才找的圆心到一条边上的距离;现在就可以画圆了。我们还试过,如果半径再大一点,圆有些部分就会画出去了。
师:你们组真能干,画圆的关键就是——确定圆心的位置和半径的长短。
师:现在老师想请大家帮个忙,在我们这个长方形的教室里画一个最大的圆供大家做游戏,请商讨一下你们的画法。
生5、6(合作):我们先用绳子将两条对角线拉起来,就会发现有一个交点,这就是我们要找的圆心;接着用绳子量出这个圆心到最近的一面墙的距离(边说边现场去测量)是3.2m,这就是我们要找的半径;但没有这么大圆规,我们受书上画圆方法的启发,拉着绳子转一圈就画出这个最大的圆了(边说边比划着,一人用固定圆心,另一人套着粉笔拉着绳子转了一圈)。
[体会]学会画指定大小的圆,是本节课实践操作的一个重要目标。第一环节让学生画指定大小的圆,明确画圆时两脚间的距离是半径而非直径,同时通过长方形、正方形与内接最大圆的比照,观察出直线图形与曲线图形间的巧妙内联;第二环节是第一环节的发展,让学生凭借以前的表象和平时的一些经验,进一步深刻领会画圆的关键是要做到两确定——确定圆心的位置和半径的大小;第三环节则是第二个环节的拓展,不仅要确定圆心位置、半径大小,还要创造出“新圆规”来画生活中的超大圆,是对画圆操作的一次智力挑战,很有体验和创新价值。
[感悟]比起名师们所示范的“圆的认识”,我的课少了些许“文化味”,少了些许“周密性”……但我坚持挖掘数学内容自身的“原生态”魅力,全课紧紧抓住“圆规”这一工具,牵着“半径”这一核心概念,带领学生探索圆的一些基本概念、特征,引领学生进行圆的一些基本操作和创新实践,好比经历了一场“圆中游春”“树下讲学”式的活动盛宴,对学生掌握基本知识、形成基本技能、享受基本体验,都是大有裨益的。崇拜名师,但非致“千课一面”,需要借鉴的是其先进的教育理念,这就要求我们以理智的头脑打造出适合自己教学风格、适合本班学生实际的案例,这样才能让我们的数学课对当下的学生大有益处。