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摘 要：混凝土管片及其径向接头的横向弯曲刚度直接影响到管片衬砌的弯矩分布。当混凝土管片的混凝土强度等级、主筋面积和接头连接螺栓的面积已知时，建立了混凝土管片和接头的极限弯矩计算模型。基于混凝土梁弯曲时截面变形假定，解析推导得到管片和接头的极限曲率表达式。分别定义了混凝土管片和接头的有效弯曲刚度及其弯曲刚度比，提出了混凝土管片接头有效弯曲刚度比的解析计算模型。分别参考北京地铁4#、东莞至惠州城际轨道交通工程某穿越东江水下隧道和上海地铁13#线隧道的工程参数，计算管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度的比值并进行对比。研究表明，管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度比在9%到11%之间，管片接头在衬砌中可以近似简化为铰接形式来进行内力计算。利用ANSYS软件建立等刚度管片环与铰接管片环模型，对比结果显示管片接头的存在使管片最大弯矩减小，弯矩分布发生很大变化。利用等刚度模型和铰接模型进行的内力计算可指导管片配筋，为工程提供参考。
关键词：混凝土管片;管片接头;有效弯曲刚度;极限弯矩;极限曲率
中图分类号：U 451 文献标志码： A
Analytical models for effective flexural rigidity
of concrete segments and joints
LI Shou-ju1，ZHANG Jian1，WANG Zhi-yun2，LI Yu-tao1
（1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China;
2.Institute of Marine and Civil Engineering，Dalian Ocean University，Dalian 116023，China）Abstract：The transverse flexural rigidities of segments and joints have an important influence on internal force distribution of segmental ring.Computing models for ultimate bending moments of concrete segments and joints are proposed when the concrete strength grade，the area of the main reinforcement and the area of the connecting bolt are known.The ultimate curvatures of concrete segments and joints，
are analytically derived based on similarity criterions of strains in beam section.The effective flexural rigidity models of segments and joints are analytically proposed.Reference the engineering parameters of the Beijing Metro Line 4，Dongguan to Huizhou intercity rail transit project through the Dongjiang tunnel and Shanghai Metro Line 13 tunnel to calculate the effective bending stiffness of the joints and segments and have a comparison between both.The investigation shows that the effective flexural rigidity ratio between segment joint and intact segments ranges from 9% to 11%.The segment joint can be simplified as a hinge in internal force computing of segment lining ring.ANSYS software was used to establish equal stiffness model and hinged model.The results of comparison show that the maximum bending moment of the segment decreases and the distribution of bending moment changes greatly.The calculation of internal forces using equal stiffness model and hinged model can guide the reinforcement of the segment and provide a reference for the project.
Key words：concrete segment;segment joint;effective flexural rigidity;ultimate bending moment;ultimate curvature
0 引 言
混凝土管片被廣泛应用于地铁隧道、输水隧道、煤矿隧道及建设在海水或河水中的交通隧道的衬砌结构中，用来支承岩土的压力和防水。隧道衬砌结构由混凝土管片拼接而成，形成密封圈。完整的衬砌圈 一般包含6～9片单独的管片，两管片之间用螺栓连接提高结构刚度，中间加弹性密封橡胶用来防水和避免接头混凝土被压碎。所以，混凝土管片和管片接头的力学性能和极限承载能力会影响隧道的安全运作和正常使用。Lee等提出了一个解析结果来预测圆形隧道衬砌管片的内力和位移，并指出在一定的土侧压力系数下，更高刚度的管片接头会引起更高量级的弯矩，但不会对轴力产生影响[1]，Do等利用二维有限差分元素模型也得出了相同的结论，此外，Do还提出管片接头的数量对弯矩影响极大，接头数量越多，整体弯矩越小[2]。Supot等利用在校准真实比例模型的三维有限元试验中获得的参数，提出了一种简化方法来评估衬砌管片的弯矩分布。接头的存在会使衬砌所受最大弯矩减小，这个减小的系数被称为折减系数，可以简单地用接头刚度和管片段数来确定[3]。管片接头对管片轴力影响较小，但轴力的大小对管片所能承受的最大弯矩影响较大，李守巨等通过对管片施加不同大小的轴向力，对比得出整体管片的极限弯矩随轴力的增加而提高[4]，并且轴力有助于减缓接缝张开，保持管片接头抗弯刚度，轴力越大整体管片结构稳定性就越好，接缝面的抗弯能力就越持久，在大断面盾构隧道工程中可以为设计提供参考[5]。对于其他因素对接头刚度的影响，董新平在极限荷载下采用了2种模拟接头与接头两侧混凝土之间关系的方法，提出采用平面应力模型结合混凝土脆性破坏准则及不抗拉节理单元作为接头分析的计算模型，其结论证明了接头转角与弯矩的关系均与实验结果相近[6]。何川等验证了在施工过程中，手孔数量、螺栓连接方式、布置位置等因素将直接影响接头抗弯刚度，在实际工程中应结合具体要求对手孔及螺栓进行相应调整[7]，为研究旋转和剪切加载时螺栓的预应力。Li等用三维有限元方法研究了在伦敦地铁隧道中使用的铸铁隧道的力学模型，提出了一种新的螺栓模拟方法，将螺栓替换为一组弹簧模型，从而使计算结果更贴近实际工程得到更准确的解[8]。于宁等分别讨论了不同预应力荷载和不同偏心距对管片接头刚度的影响，针对所得的数据进行拟合得出了预应力管片接头刚度的经验公式并确定相关系数的取值范围[9]。在三维数值模拟方向中，张鹏等通过三维盾构隧道数值模拟验证了管片力学性能沿隧道纵向有很大差异，注浆压力、千斤顶推力对管片的位移及内力有很大影响，错缝较通缝拼装结构更有效提高整体结构刚度[10]。Ye等通过模拟实验讨论了盾构隧道管片的径向抗弯刚度，错缝拼装的管片接头有效弯曲刚度比明显比通缝的要大，但随荷载增大，这种差异越来越小[11]。庄晓莹等对管片接头破坏的弹塑性—损伤三维有限元模型进行了研究，模拟了在正负弯矩作用下接头受弯破坏的全过程，并给出此类模型网格大小的建议值[12]。在进行数值模拟时，均质圆环、修正均质圆环（局部刚度修正法）、多铰圆环、梁—弹簧模型分别为最常使用的结构设计模型，许多学者针对这几种模型也做了很多研究：Lee等提出一种新方法来确定校正系数，来把一个分段的盾构隧道衬砌在平面应变的条件下近似模拟为一个连续的环形结构。结果表明，利用所提出的等效方法得出的结果与实验结果相近[13]。Klapper等对比了梁—弹簧模型和三维有限元模型的不同计算方法，表明了在常规与特殊情况下使用梁—弹簧结构设计来模拟管片及接头是足够的，而三维有限元计算在要考虑接头受力的情况下是必要的[14]。曾格华等发现当弯矩较大时，管片接头具有明显的非线性，所以采用了梁—非线性弹簧模型来模拟管片环，讨论在外载荷和一些内部因素不确定时管片环的变形特征[15]。郭玉海等采用修正均质圆环和梁—弹簧法模拟了北京地铁隧道衬砌，来讨论北京地铁管片设计的合理性，计算结果 显示梁—弹簧模型更适合作为北京地铁隧道衬砌的模拟模型[16]。林伟波等采用局部刚度修正法计算得到了在高水压作用下管片钢筋应力，并与工程实测结果相近，采用局部修正法能够较好反应管片的实际受力情况，可以为之后的高水压隧道工程提供参考[17]。葛世平等同样用局部刚度修正法，对管片接头及其附近区域进行刚度修正，基于圣维南原理和变刚度梁理论推导出了接头刚度公式，并结合室内足尺试验对比了不同荷载作用下的接头变形情况[18]。以上大部分文章都讨论到了用梁—弹簧模型和修正均质圆环模型来模拟实际工程的管片，对多铰圆环模型的研究实在很少，而实际上铰接模型在具有良好地层的环境中被经常使用，不仅施工快速而且价格低廉。文中就要对这4种模型中最简洁的多铰圆环模型进行研究讨论，重点研究在简化管片接头时，等刚度模型和铰接模型这2种简化方式的内力分布差别，并给出适合实际工程的建议。同时提出研究混凝土管片及接头有效抗弯刚度的模型，分析有效抗弯刚度的变化对混凝土管片曲率的影响，研究管片接头与完整管片之间的有限弯曲刚度比。
1 混凝土管片有效弯曲刚度计算模型
用盾构法挖掘的隧道通常采用混凝土作为衬砌，为了简单明了地模拟隧道衬砌，隧道环由几个独立的部分组成，两管片之间用螺栓连接来提高刚度。图1为典型地铁隧道混凝土管片布置形式，该隧道衬砌由6块混凝土管片组成，参照北京地铁4#线的配筋方式[19]，其中3块为A型标准块，圆心角为67.5°;2块为B型邻接块，圆心角为67.5°;1块为C型封顶块，圆心角为22.5°.
如图2所示，在极限状态下，假设对称布筋混凝土管片受拉区钢筋达到屈服极限，受压区混凝土达到极限强度。由于管片混凝土的标号往往较高，其抗压强度较大，使得混凝土受压区的高度x< 2as，导致受壓区钢筋并未达到屈服。在弯矩M作用下，图2所示的力平衡方程为
式中 α1为常数，由《GB50010-2015混凝土结构设计规范》[20]可知，当混凝土强度在C50以下时α1=1.0，混凝土强度为C80时α1=0.94，其间用线性内插法确定，可求得当混凝土强度为C55时α1=0.99.fc为混凝土的抗压强度设计值，MPa;b为管片宽度，m;x为矩形应力图受压区高度，m.σsc为上部受压钢筋的压应力;As为对称布筋受拉（或者受压）钢筋面积，mm2;fy为受拉钢筋屈服强度设计值，MPa.εy为钢筋的屈服应变;xc为中和轴高度，即受压区的理论高度，m.根据梁平面变形假定和混凝土的本构关系，建立一个计算受压区钢筋应力的补充方程 式中 as为受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离，mm，由于管片为对称布筋，因此取上下层混凝土保护层厚度相等，即as=a′s，地铁隧道管片一般取为as=40 mm.β1为常数，由《GB50010-2015混凝土结构设计规范》[20]可知，对于C50以下的混凝土，β1=0.8，同样用线性内插法可求得C55强度的混凝土β1=0.79.
εsc为上部受压区钢筋应变;Es为上部受压区钢筋弹性模量，MPa;εcu为混凝土的极限压应变，一般取εcu=0.003 3[20].εst为下部受拉钢筋应变;εu为钢筋的极限应变。根据力矩平衡条件，对受压区钢筋形心取矩，得到混凝土管片的极限弯矩为
式中 Mu为混凝土管片的极限弯矩，kN·m;h0为受压区钢筋至界面受拉边缘的竖向距离，m.公式（3）中，混凝土管片的极限弯矩包括2部分，第一部分为受拉区钢筋的贡献，第二部分为受压区混凝土的贡献。大量的研究结果表明，混凝土管片受压区的高度x< 2as，并且第二部分远远小于第一部分。因此，根据混凝土结构设计规范[21]，出于安全和简化设计计算的考虑，忽略受压区混凝土对承载力矩的贡献，简化后得到混凝土管片的极限弯矩为
如图3所示，在弯矩的作用下，混凝土管片的弯矩随着曲率的增加而非线性增加，这主要是由于混凝土材料具有非线性特性以及受拉区混凝土不断开裂所引起的。根据材料力学理论，梁弯曲刚度定义为弯矩的增量与曲率增量的比值。从图3中可以看出，在初始阶段，也就是受拉区混凝土未破坏前，弯曲刚度最大;而随着管片弯曲曲率的增加，受拉区混凝土逐步开裂，其弯曲刚度逐步减小。这里定义混凝土管片的有效弯曲刚度为，当混凝土管片弯矩达到极限状态时，极限弯矩与极限曲率的比值
式中 B为混凝土管片的有效弯曲刚度，kN·m2;为混凝土管片的曲率，m-1;u为混凝土管片的极限曲率，m-1.当混凝土管片的截面尺寸、混凝土强度等级、主筋面积的面积已知时，将（7）式代入到（6）得到混凝土管片的极限曲率
由（4）式计算得到混凝土管片的极限弯矩代入（5）式计算得到混凝土管片的等效弯曲刚度
至此，得到混凝土管片的有效弯曲刚度表达式。
2 混凝土管片接头有效弯曲刚度计算模型
如图4所示，假设在极限状态下，混凝土管片接头受压区混凝土达到极限压应变，受拉区螺栓达到屈服状态。
根据力的平衡条件，得
式中 α1为压力系数;fc为管片接头混凝土抗压强度设计值，MPa;b为管片宽度，m;xj为中和轴高度，m;fyj为螺栓受拉屈服强度设计值，MPa;Asj为螺栓横截面积，mm2;asj为螺栓中心距管片内缘距离，m.公式（10）中只有混凝土管片接头受压区的高度未知，因此得到
对受压区混凝土的中心取矩，根据力矩平衡条件得
式中 Mju为受压区混凝土所受弯矩，kN·m;h0j为螺栓至截面受压边缘的竖向距离，m.在弯矩作用下，带有螺栓的管片接头分成了2部分：接触区和分离区。接触区的混凝土受压，分离区的螺栓受拉。在极限状态下，根据材料力学理论，参考图3，带有螺栓连接的混凝土管片接头有效弯矩刚度定义为其极限弯矩与极限曲率的比
式中 Bj为接头有效弯曲刚度，kN·m2;j为管片接头曲率，m-1;ju为管片接头的极限曲率，m-1.根据梁弯曲时平面变形假定，混凝土管片接头的极限曲率为
在极限状态下，混凝土管片螺栓的拉应变与混凝土极限压应变的关系为
因此，将公式（15）带入到公式（14）计算出混凝土管片接头的极限曲率
根据公式（12）计算出混凝土接头的极限弯矩，然后，由公式（13）计算出混凝土管片接头的有效刚度
至此，得到混凝土管片接头有效弯曲刚度表达式。
3
混凝土管片接头有效弯曲刚度比计算实例
3.1 地铁隧道管片的有效弯曲刚度比
混凝土管片接头极限弯矩与管片极限弯矩比定义为
式中 ξ为管片接头极限弯矩与管片极限弯矩比。混凝土管片接头有效弯矩刚度与管片有效弯矩刚度比定义为
利用以上计算式可以计算出管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度的比值，下面根据工程实例中的数据来计算其刚度比值。
算例1：北京地铁4#线某施工段[19]，管片覆土厚度10.3 m，管片外径6 m，管片宽度1 200 mm，管片厚度300 mm，分塊数为6.混凝土管片采用C50混凝土，混凝土抗压强度设计值为23.1 MPa;主筋采用HRB335，单块管片主筋818，As=2 036 mm2;单块管片箍筋为HPB235，箍筋810，箍筋间距为s=350 mm，
Av=785 mm2.管片每个径向接头的螺栓数目为2个，螺栓型号为A级M24，力学等级为8.8，其屈服强度设计值为640 MPa，单个螺栓有效面积为352.5 mm2.土体弹性模量为40 MPa，泊松比取为0.4，等效的土侧压力系数为k0=067，混凝土管片弹性模量34.5 GPa，泊松比0.2，覆土容重18.82 kN/m3.
算例2：东莞至惠州城际轨道交通工程某穿越东江水下隧道[22]，全长为2 998.276 m，过江段设计最高水位16.2 m，最低水位9.74 m，最大埋深16.2 m，最小埋深14.11 m.区间隧道衬砌管片外径8.5 m，内径7.7 m，管片单环宽度1.6 m，厚度400 mm.管片采用C50混凝土，采用对称配筋，管片主筋采用HRB335钢筋，as=40 mm，单侧主筋面积As =882 mm2，其螺栓采用机械性能等级不小于6.8级的M30刚螺栓，产品等级为C级。
算例3：上海某地铁隧道[12]，采用混凝土C55，弹性模量35.5 GPa，混凝土的抗压强度设计值fc=25.3 MPa，管片宽度1.2 m，管片截面高度350 mm，螺栓个数为2，螺栓中心距管片内缘距离asj=120 mm，螺栓型号为A级M30，其性能等级为5.8，屈服强度设计值为400 MPa，单个螺栓有效直径26.72 mm，单个螺栓的有效截面积561 mm2，Asj=1 122 mm2，单块管片主筋820.具体工程参数见表1和表2. 根据表1，表2中的数据和前文推导的计算式，进而可以求出这3种隧道管片及管片接头的极限弯矩、管片和管片接头的极限弯曲刚度比等一系列数据，具体数据见表3.
从表3可以看出，管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度比近似在9%～11%之间。由于管片接头的存在，接头处极限弯矩与管片极限弯矩并不相等，在这3个工程实例中接头处的极限弯矩为管片极限弯矩的49%～61%，可见接头的存在对弯矩的影响在不同条件下是不同的，在实际工程中不能不考虑接头对管片整体的影响。在进行有限元模拟时所采用的修正均质圆环模型就是因为接头极限弯矩值对于管片极限弯矩值有一定差距，才在均质圆环即等刚度模型的基础上引入一个折减系数来模拟这种接头极限弯矩减少的现象。下面将分别采用等刚度和铰接这2种较极端的模型来讨论管片接头对管片弯矩、剪力、轴力分布及大小的影响。
3.2
等刚度模型与铰接模型对管片内力分布影响
管片接头的设计是隧道设计中一个重要的环节，这里针对2个较为极端的情况采用等刚度模型和铰接模型作为数值分析对象，以北京地铁4#线某工段为例，取其工程参数及基本数据建立ANSYS有限元分析模型，但在有限元分析模型中采用单位宽度的管片，即管片宽度为1 m.
1）等刚度模型：假设管片为连续梁，管片之间不考虑接头影响。其弯矩分布如图5所示。
如图5所示，弯矩最大值出现在隧道两侧的腰部位置;弯矩最小值出现在隧道顶端和底部，弯矩整体呈对称分布。
2）铰接模型：假设管片和管片之间为铰接，完全不承受弯矩。其弯矩分布如图6所示。
从图6中可以看出，接头的存在使弯矩分布发生了很大变化，铰接使接头位置弯矩为零，弯矩最大值同样出现在腰部位置，最小值在隧道顶部。下面对比两模型中的弯矩、剪力、轴力的数值变化。其中管片轴向均为受压状态，轴力均为负值，这里取绝对值，见表4.
对比等刚度模型和铰接模型的弯矩、剪力与轴力，由于接头的首要作用是抗弯，所以接头对轴力影响较小，2种模型中的轴力相差不大。由于铰接接头不承受任何弯矩，导致梁整体所承受最大弯矩减小，这种结果可以理解为相对于完整的梁结构，铰接的存在使梁分成几部分，梁的跨度减小，整体所受的弯矩减小，变形增大，使梁处于一个不稳定的状态中。当围岩稳定性较好的时候可以采用铰接模型进行数值计算，管片可以依靠围岩抗力保持稳定。
从以上讨论可以看出，在管片配筋设计时，将整体假设为等刚度模型，忽略管片接头的影响而设计出的配筋方案所用的材料要比按铰接模型设计的配筋方案要多，在一定程度上产生了资源和经济上的浪费。按等刚度模型设计的配筋方案虽然过于保守，但保证了工程的安全。在实际工程中不可能不考虑管片接头的影响，按铰接模型设计的配筋方案过于危险，此模型对围岩的稳定性要求较高，并不适合所有的工程。所以，这2种模型的配筋方案可以作为实际工程中的上限方案和下限方案，根据实际工程情况和要求再做具体的调整。
4 结 论
1）从简化的对称布筋混凝土管片应变分布模型出发，推导出了混凝土管片及其接头的有效弯曲刚度表达式，为后文中的有限元模拟奠定了理论基础。并且通过实际的算例分析可以看出，这种算法可以方便地运用到隧道管片的初步设计中;
2）混凝土管片接头的弯曲刚度可以近似地由极限弯矩与极限曲率的比率确定。混凝土管片接头有效弯曲刚度与混凝土管片弯曲刚度比，直接影响混凝土管片的内力分布。研究表明，混凝土管片接头有效弯曲刚度与混凝土管片弯曲刚度比在9%～11 %之间。因此，在进行管片设计及内力计算时，可以将混凝土管片接头近似成可以转动的铰接形式;
3）与传统的等刚度混凝土管片环模型相对比，铰接的管片接头模型计算所得到管片最大弯矩减小。因此，认为管片接头铰接状态起到释放地层荷载，减小了管片的最大弯矩的思路是有理论依据的。经常采用的按照等刚度梁模型进行的管片内力计算，进而指导管片配筋，虽然比较保守会造成一定资源浪费，但保证了工程最基本的安全。
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关键词：混凝土管片;管片接头;有效弯曲刚度;极限弯矩;极限曲率
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LI Shou-ju1，ZHANG Jian1，WANG Zhi-yun2，LI Yu-tao1
（1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China;
2.Institute of Marine and Civil Engineering，Dalian Ocean University，Dalian 116023，China）Abstract：The transverse flexural rigidities of segments and joints have an important influence on internal force distribution of segmental ring.Computing models for ultimate bending moments of concrete segments and joints are proposed when the concrete strength grade，the area of the main reinforcement and the area of the connecting bolt are known.The ultimate curvatures of concrete segments and joints，
are analytically derived based on similarity criterions of strains in beam section.The effective flexural rigidity models of segments and joints are analytically proposed.Reference the engineering parameters of the Beijing Metro Line 4，Dongguan to Huizhou intercity rail transit project through the Dongjiang tunnel and Shanghai Metro Line 13 tunnel to calculate the effective bending stiffness of the joints and segments and have a comparison between both.The investigation shows that the effective flexural rigidity ratio between segment joint and intact segments ranges from 9% to 11%.The segment joint can be simplified as a hinge in internal force computing of segment lining ring.ANSYS software was used to establish equal stiffness model and hinged model.The results of comparison show that the maximum bending moment of the segment decreases and the distribution of bending moment changes greatly.The calculation of internal forces using equal stiffness model and hinged model can guide the reinforcement of the segment and provide a reference for the project.
Key words：concrete segment;segment joint;effective flexural rigidity;ultimate bending moment;ultimate curvature
0 引 言
混凝土管片被廣泛应用于地铁隧道、输水隧道、煤矿隧道及建设在海水或河水中的交通隧道的衬砌结构中，用来支承岩土的压力和防水。隧道衬砌结构由混凝土管片拼接而成，形成密封圈。完整的衬砌圈 一般包含6～9片单独的管片，两管片之间用螺栓连接提高结构刚度，中间加弹性密封橡胶用来防水和避免接头混凝土被压碎。所以，混凝土管片和管片接头的力学性能和极限承载能力会影响隧道的安全运作和正常使用。Lee等提出了一个解析结果来预测圆形隧道衬砌管片的内力和位移，并指出在一定的土侧压力系数下，更高刚度的管片接头会引起更高量级的弯矩，但不会对轴力产生影响[1]，Do等利用二维有限差分元素模型也得出了相同的结论，此外，Do还提出管片接头的数量对弯矩影响极大，接头数量越多，整体弯矩越小[2]。Supot等利用在校准真实比例模型的三维有限元试验中获得的参数，提出了一种简化方法来评估衬砌管片的弯矩分布。接头的存在会使衬砌所受最大弯矩减小，这个减小的系数被称为折减系数，可以简单地用接头刚度和管片段数来确定[3]。管片接头对管片轴力影响较小，但轴力的大小对管片所能承受的最大弯矩影响较大，李守巨等通过对管片施加不同大小的轴向力，对比得出整体管片的极限弯矩随轴力的增加而提高[4]，并且轴力有助于减缓接缝张开，保持管片接头抗弯刚度，轴力越大整体管片结构稳定性就越好，接缝面的抗弯能力就越持久，在大断面盾构隧道工程中可以为设计提供参考[5]。对于其他因素对接头刚度的影响，董新平在极限荷载下采用了2种模拟接头与接头两侧混凝土之间关系的方法，提出采用平面应力模型结合混凝土脆性破坏准则及不抗拉节理单元作为接头分析的计算模型，其结论证明了接头转角与弯矩的关系均与实验结果相近[6]。何川等验证了在施工过程中，手孔数量、螺栓连接方式、布置位置等因素将直接影响接头抗弯刚度，在实际工程中应结合具体要求对手孔及螺栓进行相应调整[7]，为研究旋转和剪切加载时螺栓的预应力。Li等用三维有限元方法研究了在伦敦地铁隧道中使用的铸铁隧道的力学模型，提出了一种新的螺栓模拟方法，将螺栓替换为一组弹簧模型，从而使计算结果更贴近实际工程得到更准确的解[8]。于宁等分别讨论了不同预应力荷载和不同偏心距对管片接头刚度的影响，针对所得的数据进行拟合得出了预应力管片接头刚度的经验公式并确定相关系数的取值范围[9]。在三维数值模拟方向中，张鹏等通过三维盾构隧道数值模拟验证了管片力学性能沿隧道纵向有很大差异，注浆压力、千斤顶推力对管片的位移及内力有很大影响，错缝较通缝拼装结构更有效提高整体结构刚度[10]。Ye等通过模拟实验讨论了盾构隧道管片的径向抗弯刚度，错缝拼装的管片接头有效弯曲刚度比明显比通缝的要大，但随荷载增大，这种差异越来越小[11]。庄晓莹等对管片接头破坏的弹塑性—损伤三维有限元模型进行了研究，模拟了在正负弯矩作用下接头受弯破坏的全过程，并给出此类模型网格大小的建议值[12]。在进行数值模拟时，均质圆环、修正均质圆环（局部刚度修正法）、多铰圆环、梁—弹簧模型分别为最常使用的结构设计模型，许多学者针对这几种模型也做了很多研究：Lee等提出一种新方法来确定校正系数，来把一个分段的盾构隧道衬砌在平面应变的条件下近似模拟为一个连续的环形结构。结果表明，利用所提出的等效方法得出的结果与实验结果相近[13]。Klapper等对比了梁—弹簧模型和三维有限元模型的不同计算方法，表明了在常规与特殊情况下使用梁—弹簧结构设计来模拟管片及接头是足够的，而三维有限元计算在要考虑接头受力的情况下是必要的[14]。曾格华等发现当弯矩较大时，管片接头具有明显的非线性，所以采用了梁—非线性弹簧模型来模拟管片环，讨论在外载荷和一些内部因素不确定时管片环的变形特征[15]。郭玉海等采用修正均质圆环和梁—弹簧法模拟了北京地铁隧道衬砌，来讨论北京地铁管片设计的合理性，计算结果 显示梁—弹簧模型更适合作为北京地铁隧道衬砌的模拟模型[16]。林伟波等采用局部刚度修正法计算得到了在高水压作用下管片钢筋应力，并与工程实测结果相近，采用局部修正法能够较好反应管片的实际受力情况，可以为之后的高水压隧道工程提供参考[17]。葛世平等同样用局部刚度修正法，对管片接头及其附近区域进行刚度修正，基于圣维南原理和变刚度梁理论推导出了接头刚度公式，并结合室内足尺试验对比了不同荷载作用下的接头变形情况[18]。以上大部分文章都讨论到了用梁—弹簧模型和修正均质圆环模型来模拟实际工程的管片，对多铰圆环模型的研究实在很少，而实际上铰接模型在具有良好地层的环境中被经常使用，不仅施工快速而且价格低廉。文中就要对这4种模型中最简洁的多铰圆环模型进行研究讨论，重点研究在简化管片接头时，等刚度模型和铰接模型这2种简化方式的内力分布差别，并给出适合实际工程的建议。同时提出研究混凝土管片及接头有效抗弯刚度的模型，分析有效抗弯刚度的变化对混凝土管片曲率的影响，研究管片接头与完整管片之间的有限弯曲刚度比。
1 混凝土管片有效弯曲刚度计算模型
用盾构法挖掘的隧道通常采用混凝土作为衬砌，为了简单明了地模拟隧道衬砌，隧道环由几个独立的部分组成，两管片之间用螺栓连接来提高刚度。图1为典型地铁隧道混凝土管片布置形式，该隧道衬砌由6块混凝土管片组成，参照北京地铁4#线的配筋方式[19]，其中3块为A型标准块，圆心角为67.5°;2块为B型邻接块，圆心角为67.5°;1块为C型封顶块，圆心角为22.5°.
如图2所示，在极限状态下，假设对称布筋混凝土管片受拉区钢筋达到屈服极限，受压区混凝土达到极限强度。由于管片混凝土的标号往往较高，其抗压强度较大，使得混凝土受压区的高度x< 2as，导致受壓区钢筋并未达到屈服。在弯矩M作用下，图2所示的力平衡方程为
式中 α1为常数，由《GB50010-2015混凝土结构设计规范》[20]可知，当混凝土强度在C50以下时α1=1.0，混凝土强度为C80时α1=0.94，其间用线性内插法确定，可求得当混凝土强度为C55时α1=0.99.fc为混凝土的抗压强度设计值，MPa;b为管片宽度，m;x为矩形应力图受压区高度，m.σsc为上部受压钢筋的压应力;As为对称布筋受拉（或者受压）钢筋面积，mm2;fy为受拉钢筋屈服强度设计值，MPa.εy为钢筋的屈服应变;xc为中和轴高度，即受压区的理论高度，m.根据梁平面变形假定和混凝土的本构关系，建立一个计算受压区钢筋应力的补充方程 式中 as为受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离，mm，由于管片为对称布筋，因此取上下层混凝土保护层厚度相等，即as=a′s，地铁隧道管片一般取为as=40 mm.β1为常数，由《GB50010-2015混凝土结构设计规范》[20]可知，对于C50以下的混凝土，β1=0.8，同样用线性内插法可求得C55强度的混凝土β1=0.79.
εsc为上部受压区钢筋应变;Es为上部受压区钢筋弹性模量，MPa;εcu为混凝土的极限压应变，一般取εcu=0.003 3[20].εst为下部受拉钢筋应变;εu为钢筋的极限应变。根据力矩平衡条件，对受压区钢筋形心取矩，得到混凝土管片的极限弯矩为
式中 Mu为混凝土管片的极限弯矩，kN·m;h0为受压区钢筋至界面受拉边缘的竖向距离，m.公式（3）中，混凝土管片的极限弯矩包括2部分，第一部分为受拉区钢筋的贡献，第二部分为受压区混凝土的贡献。大量的研究结果表明，混凝土管片受压区的高度x< 2as，并且第二部分远远小于第一部分。因此，根据混凝土结构设计规范[21]，出于安全和简化设计计算的考虑，忽略受压区混凝土对承载力矩的贡献，简化后得到混凝土管片的极限弯矩为
如图3所示，在弯矩的作用下，混凝土管片的弯矩随着曲率的增加而非线性增加，这主要是由于混凝土材料具有非线性特性以及受拉区混凝土不断开裂所引起的。根据材料力学理论，梁弯曲刚度定义为弯矩的增量与曲率增量的比值。从图3中可以看出，在初始阶段，也就是受拉区混凝土未破坏前，弯曲刚度最大;而随着管片弯曲曲率的增加，受拉区混凝土逐步开裂，其弯曲刚度逐步减小。这里定义混凝土管片的有效弯曲刚度为，当混凝土管片弯矩达到极限状态时，极限弯矩与极限曲率的比值
式中 B为混凝土管片的有效弯曲刚度，kN·m2;为混凝土管片的曲率，m-1;u为混凝土管片的极限曲率，m-1.当混凝土管片的截面尺寸、混凝土强度等级、主筋面积的面积已知时，将（7）式代入到（6）得到混凝土管片的极限曲率
由（4）式计算得到混凝土管片的极限弯矩代入（5）式计算得到混凝土管片的等效弯曲刚度
至此，得到混凝土管片的有效弯曲刚度表达式。
2 混凝土管片接头有效弯曲刚度计算模型
如图4所示，假设在极限状态下，混凝土管片接头受压区混凝土达到极限压应变，受拉区螺栓达到屈服状态。
根据力的平衡条件，得
式中 α1为压力系数;fc为管片接头混凝土抗压强度设计值，MPa;b为管片宽度，m;xj为中和轴高度，m;fyj为螺栓受拉屈服强度设计值，MPa;Asj为螺栓横截面积，mm2;asj为螺栓中心距管片内缘距离，m.公式（10）中只有混凝土管片接头受压区的高度未知，因此得到
对受压区混凝土的中心取矩，根据力矩平衡条件得
式中 Mju为受压区混凝土所受弯矩，kN·m;h0j为螺栓至截面受压边缘的竖向距离，m.在弯矩作用下，带有螺栓的管片接头分成了2部分：接触区和分离区。接触区的混凝土受压，分离区的螺栓受拉。在极限状态下，根据材料力学理论，参考图3，带有螺栓连接的混凝土管片接头有效弯矩刚度定义为其极限弯矩与极限曲率的比
式中 Bj为接头有效弯曲刚度，kN·m2;j为管片接头曲率，m-1;ju为管片接头的极限曲率，m-1.根据梁弯曲时平面变形假定，混凝土管片接头的极限曲率为
在极限状态下，混凝土管片螺栓的拉应变与混凝土极限压应变的关系为
因此，将公式（15）带入到公式（14）计算出混凝土管片接头的极限曲率
根据公式（12）计算出混凝土接头的极限弯矩，然后，由公式（13）计算出混凝土管片接头的有效刚度
至此，得到混凝土管片接头有效弯曲刚度表达式。
3
混凝土管片接头有效弯曲刚度比计算实例
3.1 地铁隧道管片的有效弯曲刚度比
混凝土管片接头极限弯矩与管片极限弯矩比定义为
式中 ξ为管片接头极限弯矩与管片极限弯矩比。混凝土管片接头有效弯矩刚度与管片有效弯矩刚度比定义为
利用以上计算式可以计算出管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度的比值，下面根据工程实例中的数据来计算其刚度比值。
算例1：北京地铁4#线某施工段[19]，管片覆土厚度10.3 m，管片外径6 m，管片宽度1 200 mm，管片厚度300 mm，分塊数为6.混凝土管片采用C50混凝土，混凝土抗压强度设计值为23.1 MPa;主筋采用HRB335，单块管片主筋818，As=2 036 mm2;单块管片箍筋为HPB235，箍筋810，箍筋间距为s=350 mm，
Av=785 mm2.管片每个径向接头的螺栓数目为2个，螺栓型号为A级M24，力学等级为8.8，其屈服强度设计值为640 MPa，单个螺栓有效面积为352.5 mm2.土体弹性模量为40 MPa，泊松比取为0.4，等效的土侧压力系数为k0=067，混凝土管片弹性模量34.5 GPa，泊松比0.2，覆土容重18.82 kN/m3.
算例2：东莞至惠州城际轨道交通工程某穿越东江水下隧道[22]，全长为2 998.276 m，过江段设计最高水位16.2 m，最低水位9.74 m，最大埋深16.2 m，最小埋深14.11 m.区间隧道衬砌管片外径8.5 m，内径7.7 m，管片单环宽度1.6 m，厚度400 mm.管片采用C50混凝土，采用对称配筋，管片主筋采用HRB335钢筋，as=40 mm，单侧主筋面积As =882 mm2，其螺栓采用机械性能等级不小于6.8级的M30刚螺栓，产品等级为C级。
算例3：上海某地铁隧道[12]，采用混凝土C55，弹性模量35.5 GPa，混凝土的抗压强度设计值fc=25.3 MPa，管片宽度1.2 m，管片截面高度350 mm，螺栓个数为2，螺栓中心距管片内缘距离asj=120 mm，螺栓型号为A级M30，其性能等级为5.8，屈服强度设计值为400 MPa，单个螺栓有效直径26.72 mm，单个螺栓的有效截面积561 mm2，Asj=1 122 mm2，单块管片主筋820.具体工程参数见表1和表2. 根据表1，表2中的数据和前文推导的计算式，进而可以求出这3种隧道管片及管片接头的极限弯矩、管片和管片接头的极限弯曲刚度比等一系列数据，具体数据见表3.
从表3可以看出，管片接头有效弯曲刚度和管片弯曲刚度比近似在9%～11%之间。由于管片接头的存在，接头处极限弯矩与管片极限弯矩并不相等，在这3个工程实例中接头处的极限弯矩为管片极限弯矩的49%～61%，可见接头的存在对弯矩的影响在不同条件下是不同的，在实际工程中不能不考虑接头对管片整体的影响。在进行有限元模拟时所采用的修正均质圆环模型就是因为接头极限弯矩值对于管片极限弯矩值有一定差距，才在均质圆环即等刚度模型的基础上引入一个折减系数来模拟这种接头极限弯矩减少的现象。下面将分别采用等刚度和铰接这2种较极端的模型来讨论管片接头对管片弯矩、剪力、轴力分布及大小的影响。
3.2
等刚度模型与铰接模型对管片内力分布影响
管片接头的设计是隧道设计中一个重要的环节，这里针对2个较为极端的情况采用等刚度模型和铰接模型作为数值分析对象，以北京地铁4#线某工段为例，取其工程参数及基本数据建立ANSYS有限元分析模型，但在有限元分析模型中采用单位宽度的管片，即管片宽度为1 m.
1）等刚度模型：假设管片为连续梁，管片之间不考虑接头影响。其弯矩分布如图5所示。
如图5所示，弯矩最大值出现在隧道两侧的腰部位置;弯矩最小值出现在隧道顶端和底部，弯矩整体呈对称分布。
2）铰接模型：假设管片和管片之间为铰接，完全不承受弯矩。其弯矩分布如图6所示。
从图6中可以看出，接头的存在使弯矩分布发生了很大变化，铰接使接头位置弯矩为零，弯矩最大值同样出现在腰部位置，最小值在隧道顶部。下面对比两模型中的弯矩、剪力、轴力的数值变化。其中管片轴向均为受压状态，轴力均为负值，这里取绝对值，见表4.
对比等刚度模型和铰接模型的弯矩、剪力与轴力，由于接头的首要作用是抗弯，所以接头对轴力影响较小，2种模型中的轴力相差不大。由于铰接接头不承受任何弯矩，导致梁整体所承受最大弯矩减小，这种结果可以理解为相对于完整的梁结构，铰接的存在使梁分成几部分，梁的跨度减小，整体所受的弯矩减小，变形增大，使梁处于一个不稳定的状态中。当围岩稳定性较好的时候可以采用铰接模型进行数值计算，管片可以依靠围岩抗力保持稳定。
从以上讨论可以看出，在管片配筋设计时，将整体假设为等刚度模型，忽略管片接头的影响而设计出的配筋方案所用的材料要比按铰接模型设计的配筋方案要多，在一定程度上产生了资源和经济上的浪费。按等刚度模型设计的配筋方案虽然过于保守，但保证了工程的安全。在实际工程中不可能不考虑管片接头的影响，按铰接模型设计的配筋方案过于危险，此模型对围岩的稳定性要求较高，并不适合所有的工程。所以，这2种模型的配筋方案可以作为实际工程中的上限方案和下限方案，根据实际工程情况和要求再做具体的调整。
4 结 论
1）从简化的对称布筋混凝土管片应变分布模型出发，推导出了混凝土管片及其接头的有效弯曲刚度表达式，为后文中的有限元模拟奠定了理论基础。并且通过实际的算例分析可以看出，这种算法可以方便地运用到隧道管片的初步设计中;
2）混凝土管片接头的弯曲刚度可以近似地由极限弯矩与极限曲率的比率确定。混凝土管片接头有效弯曲刚度与混凝土管片弯曲刚度比，直接影响混凝土管片的内力分布。研究表明，混凝土管片接头有效弯曲刚度与混凝土管片弯曲刚度比在9%～11 %之间。因此，在进行管片设计及内力计算时，可以将混凝土管片接头近似成可以转动的铰接形式;
3）与传统的等刚度混凝土管片环模型相对比，铰接的管片接头模型计算所得到管片最大弯矩减小。因此，认为管片接头铰接状态起到释放地层荷载，减小了管片的最大弯矩的思路是有理论依据的。经常采用的按照等刚度梁模型进行的管片内力计算，进而指导管片配筋，虽然比较保守会造成一定资源浪费，但保证了工程最基本的安全。
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