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摘要:在众多求函数的值域问题中,有一类函数形如y=logm(ax2 bx c),这类函数若从复合函数的角度来看,则可看成是由对数函数y=logmu和二次函数u=ax2 bx c复合而成。对于这类函数,常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等,本文具体探讨了四种情况。
关键词:复合函数;值域;二次函数;对数函数
一、 引言
在众多求函数的值域问题中,有一类函数形如y=logm(ax2 bx c),这类函数若从复合函数的角度来看,则可看成是由对数函数y=logmu和二次函数u=ax2 bx c复合而成。对于这类函数,常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等,其中函数的值域问题对于学生来说掌握起来有些困难,其实解决这类问题的关键是理解二次函数u=ax2 bx c的值域就是对数函数y=logmu的定义域,先由ax2 bx c>0求u=ax2 bx c的定义域D(即解一元二次不等式),再求u=ax2 bx c在定义域D下的值域M(即求二次函数在限定定义域下的值域问题),最后求y=logmu在定义域M下的值域(即求对数函数在限定定义域下的值域问题)。接下来本文主要从以下几种情况来具体探讨这类函数的值域问题。
二、 情况一:a>0,b2-4ac<0
(一) 实例
例1求y=log2(x2-4x 6)的值域
解:y=log2u,u=x2-4x 6
对于u=x2-4x 6由x2-4x 6>0解得定义域D=R,在此定义域下的值域M=[2, ∞),
对于y=log2u,定义域D’=[2, ∞),在此定义域下的值域M’=[1, ∞)
举一反三:求y=log0.5(x2-4x 6)的值域
解:y=log0.5u,u=x2-4x 6
对于u=x2-4x 6由x2-4x 6>0解得定义域D=R,在此定义域下的值域M=[2, ∞),
对于y=log0.5u,定义域D’=[2, ∞),在此定义域下的值域M’=(-∞,-1]
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a>0,b2-4ac<0时,ax2 bx c>0恒成立,对于u=ax2 bx c,定义域D=R,值域M=4ac-b24a,
SymboleB@ ),对于y=logmu,定义域D=4ac-b24a,
SymboleB@ ,值域:当m>1时,M=
logm(4ac-b24a),
SymboleB@ ),当0 SymboleB@ ,logm(4ac-b24a)
三、 情况二:a>0,b2-4ac≥0
(一) 实例
例2求y=log2(x2-2x-3)的值域
解:y=log2u,u=x2-2x-3
对于u=x2-2x-3由x2-2x-3>0解得定义域D=(-∞,-1)∪(3, ∞),在此定义域下的值域M=(0, ∞),
对于y=log2u,定义域D’=(0, ∞),在此定义域下的值域M’=R
举一反三:求y=log0.5(x2-2x 1)的值域
解:y=log0.5u,u=x2-2x 1
对于u=x2-2x 1由x2-2x 1>0解得定义域D=(-∞,1)∪(1, ∞),在此定义域下的值域M=(0, ∞),
对于y=log0.5u,定义域D’=(0, ∞),在此定义域下的值域M’=R
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a>0,b2-4ac≥0时,ax2 bx c>0,对于u=ax2 bx c,值域M=(0, ∞),对于y=logmu,定义域D=(0, ∞),值域:M’=R
四、 情况三:a<0,b2-4ac>0
(一) 实例
例3求y=log2(-x2 2x 3)的值域
解:y=log2u,u=-x2 2x 3
对于u=-x2 2x 3由-x2 2x 3>0解得定义域D=(-1,3),在此定义域下的值域M=(0,4],
对于y=log2u,定义域D’=(0,4],在此定义域下的值域M’=(-∞,2]
举一反三:求y=log0.5(-x2 2x 3)的值域
解:y=log0.5u,u=-x2 2x 3
对于u=-x2 2x 3由-x2 2x 3>0解得定义域D=(-1,3),在此定义域下的值域M=(0,4],
对于y=log0.5u,定义域D’=(0,4],在此定义域下的值域M’=[-2, ∞)
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a<0,b2-4ac>0时,ax2 bx c>0,对于u=ax2 bx c,值域M=0,4ac-b24a,对于y=logmu,定义域D=0,4ac-b24a,值域:当m>1时,M’=-
SymboleB@ ,logm4ac-b24a,当0 SymboleB@
五、 情況四:a<0,b2-4ac≤0
对于y=logm(ax2 bx c),当a<0,b2-4ac≤0时,ax2 bx c>0的解集为空,因此这种情况不用讨论。
参考文献:
[1]武增明.用a·b≤|a|·|b|解两类无理函数最值问题[J].数学教学,2006年11期.
[2]胡云浩.再谈两类无理函数的最值问题[J].数学教学,2007年05期.
[3]田彦武.解两类无理函数最值问题的新视角[J].数学教学,2007年06期.
作者简介:
肖天,江苏省南京市,金陵高等职业技术学校。
关键词:复合函数;值域;二次函数;对数函数
一、 引言
在众多求函数的值域问题中,有一类函数形如y=logm(ax2 bx c),这类函数若从复合函数的角度来看,则可看成是由对数函数y=logmu和二次函数u=ax2 bx c复合而成。对于这类函数,常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等,其中函数的值域问题对于学生来说掌握起来有些困难,其实解决这类问题的关键是理解二次函数u=ax2 bx c的值域就是对数函数y=logmu的定义域,先由ax2 bx c>0求u=ax2 bx c的定义域D(即解一元二次不等式),再求u=ax2 bx c在定义域D下的值域M(即求二次函数在限定定义域下的值域问题),最后求y=logmu在定义域M下的值域(即求对数函数在限定定义域下的值域问题)。接下来本文主要从以下几种情况来具体探讨这类函数的值域问题。
二、 情况一:a>0,b2-4ac<0
(一) 实例
例1求y=log2(x2-4x 6)的值域
解:y=log2u,u=x2-4x 6
对于u=x2-4x 6由x2-4x 6>0解得定义域D=R,在此定义域下的值域M=[2, ∞),
对于y=log2u,定义域D’=[2, ∞),在此定义域下的值域M’=[1, ∞)
举一反三:求y=log0.5(x2-4x 6)的值域
解:y=log0.5u,u=x2-4x 6
对于u=x2-4x 6由x2-4x 6>0解得定义域D=R,在此定义域下的值域M=[2, ∞),
对于y=log0.5u,定义域D’=[2, ∞),在此定义域下的值域M’=(-∞,-1]
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a>0,b2-4ac<0时,ax2 bx c>0恒成立,对于u=ax2 bx c,定义域D=R,值域M=4ac-b24a,
SymboleB@ ),对于y=logmu,定义域D=4ac-b24a,
SymboleB@ ,值域:当m>1时,M=
logm(4ac-b24a),
SymboleB@ ),当0
三、 情况二:a>0,b2-4ac≥0
(一) 实例
例2求y=log2(x2-2x-3)的值域
解:y=log2u,u=x2-2x-3
对于u=x2-2x-3由x2-2x-3>0解得定义域D=(-∞,-1)∪(3, ∞),在此定义域下的值域M=(0, ∞),
对于y=log2u,定义域D’=(0, ∞),在此定义域下的值域M’=R
举一反三:求y=log0.5(x2-2x 1)的值域
解:y=log0.5u,u=x2-2x 1
对于u=x2-2x 1由x2-2x 1>0解得定义域D=(-∞,1)∪(1, ∞),在此定义域下的值域M=(0, ∞),
对于y=log0.5u,定义域D’=(0, ∞),在此定义域下的值域M’=R
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a>0,b2-4ac≥0时,ax2 bx c>0,对于u=ax2 bx c,值域M=(0, ∞),对于y=logmu,定义域D=(0, ∞),值域:M’=R
四、 情况三:a<0,b2-4ac>0
(一) 实例
例3求y=log2(-x2 2x 3)的值域
解:y=log2u,u=-x2 2x 3
对于u=-x2 2x 3由-x2 2x 3>0解得定义域D=(-1,3),在此定义域下的值域M=(0,4],
对于y=log2u,定义域D’=(0,4],在此定义域下的值域M’=(-∞,2]
举一反三:求y=log0.5(-x2 2x 3)的值域
解:y=log0.5u,u=-x2 2x 3
对于u=-x2 2x 3由-x2 2x 3>0解得定义域D=(-1,3),在此定义域下的值域M=(0,4],
对于y=log0.5u,定义域D’=(0,4],在此定义域下的值域M’=[-2, ∞)
(二) 小结
对于y=logm(ax2 bx c),当a<0,b2-4ac>0时,ax2 bx c>0,对于u=ax2 bx c,值域M=0,4ac-b24a,对于y=logmu,定义域D=0,4ac-b24a,值域:当m>1时,M’=-
SymboleB@ ,logm4ac-b24a,当0
五、 情況四:a<0,b2-4ac≤0
对于y=logm(ax2 bx c),当a<0,b2-4ac≤0时,ax2 bx c>0的解集为空,因此这种情况不用讨论。
参考文献:
[1]武增明.用a·b≤|a|·|b|解两类无理函数最值问题[J].数学教学,2006年11期.
[2]胡云浩.再谈两类无理函数的最值问题[J].数学教学,2007年05期.
[3]田彦武.解两类无理函数最值问题的新视角[J].数学教学,2007年06期.
作者简介:
肖天,江苏省南京市,金陵高等职业技术学校。