论文部分内容阅读
摘要：“数形结合”是数学学习重要的思想方法。我国著名数学家华罗庚谈数形结合的好处时指出“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。在小学数学教学中，教师巧妙运用图示表征进行有效的课堂教学，沟通直观到抽象的联系，使内隐数量关系更加明朗，有利于解决问题，有效地促进学生对数学知识结构的建构。
关键词：图示表征；整体知识建构；直观抽象；沟通联系
数学课程标准（2011年版）明确指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要作用。”学会用图形思考是学习数学的基本能力，在小学数学教学中教师如能巧妙运用图示表征进行有效的课堂教学，能有效沟通直观到抽象的联系，能使内隐数量关系更加明朗，有利于解决问题，有效促进学生建构数学知识。
一、 借图示表征促进数学知识的整体把握
数学知识结构既有知识发展的纵向逻辑线索，又有不同内容和方法之间横向的实质性联系。它是具有逻辑性、系统性的整体性结构，借助图示沟通数学知识之间的联系，有利于对相关的数学知识作比较和沟通，整体把握数学知识，获得内容充实、结构相对完善的数学知识系统。
笔者执教人教版五年级下册《长方体与正方体——整理与复习》一课采用画图示表征的方法将所有关于长方体的知识按点、线、面的关联性整理成一张思维导图（如下图），借助思维导图将各知识点连成线，系统化，结构化直观反映各个知识点之间的关联，优化记忆，加深理解，有效促进学生对长方体知识的整体把握。此课例获得了2017年一师一优课评选部优课。
通过对比沟通、深入思考，借助图示表征在头脑里形成系统化、结构化的数学知识体系，可以实现数学知识掌握的举一反三、触类旁通，完成知识体系的完整建构。
例如小数的意义历来是学生理解的难点。如果仅是记住“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”这些抽象的概念语言，学生显然无法从本质上完成概念的整体建构与理解。如何化解这个难题，以笔者在执教“小数的意义”一课为例，老师预设结合图示表征引发概念的自然生长，整体把握小学阶段数的认识的知识体系。笔者先用不完整的色图激起认知冲突。老师从文件夹中一张一张地抽出蓝色正方形纸片，让学生数。在即将数到第8张的时候，学生习惯性地报出“8”，此时老师呈现了一张不完整的色图1（下图1）。
师质疑，还能一块一块地数吗？怎么办？猜想下怎么表示？并说说猜的理由，紧接着呈现图2（下图2），借助图形演示，不完整的色块是把这个正方形平均分成10份，色块占了8份，进而引导学生一份一份地数：1个0.1是0.1，2个0.1是0.2，3个0.1是0.3……数学家华罗庚说：“数[shù]源于数[shǔ]”老师引导学生从数完整的纸片到数不完整的色图，学生水到渠成自然领悟到当无法用整数表示一个物体时可以用小数表示。在数数的过程中通过图示表征顺利实现整数、1、分数、小数之间的关系沟通，将新知识自然纳入已有的知识结构中，整体把握数学知识。
紧接着笔者继续用不规则的色图引发概念生长。如下图3，老师质疑是0.9吗？生：比0.9小一些。老师追问：那么该是多少呢？生思考后：再把那个0.1平均分成10份。顺利借助图示表征将学生认识从一位小数顺利推向两位小数。学生在直观可感中顺利把握了小数的概念。
通过这种采用理清知识联结的方式，可以让学生对所学的知识有一个整体的认识，也有利于数学知识的系统化、结构化，加深了学生对知识的理解，同时也形成了整理知识的能力，发展学生的数学素养。
二、 借助图示表征将内隐关系转为直观可视
图示表征是解决问题的一种重要策略，随着年级的增长，数学问题的信息、关系越来越复杂，从文字叙述中分析理解问题有一定的难度。将文字表述的语言运用图示表征直观形象化，可使内隐的数量关系外显，从而促进学生的理解，可谓一图胜千言。
如教学甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇。各自继续前行到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地40千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
题中数量关系隐含于复杂的情境之中，看不到速度，找不到时间，怎么求路程？让学生这样单纯地看题目分析寻找解题思路有些不易，借助图示将数学信息、数量关系直观外显，化模糊为清晰，化抽象为具体。通过读题，第一次相遇时，两车共行了一个全程，如图红、蓝色实线，一个全程甲行了60千米（红色实线）；各自前行到返回时第二次相遇，从图中可以直观看出一共行了3个全程（甲的红色线与乙的蓝色线），一个全程甲行60千米，3个全程甲就行了3个60千米，也就是图中红线是180千米，减去40千米，就是A、B两地的距离。结合图示让学生一步步充分经历把文字转化为图形，再把图形转换成思维的全过程，再详细地解说也比不上这样借助图示表征阐释直观。
图示表征可以将抽象的数学语言与直观图形有机地结合起来，实现表象系统与文字系统的转换，可以使数量及其关系得以直观地集中展现，让隐含的数量关系更加明朗，从而为探索和解决数学问题提供新思路和新方法，促进学生对问题的深入理解。
三、 以图示表征为介沟通直观到抽象的联系
新课标指出：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系。”数学活动仅停留于具体的感性的思维是不够的，充分正确挖掘图示表征的中介功能，巧用图示表征沟通直观到抽象的联系，发展学生抽象的思维能力，是十分必要的。
例如，笔者在执教《小数的意义》一课时，引导学生参与0.35这个小数的创造活动环节，通过阴影图示，学生直观看到两位小数的组成，清楚理解0.35中有3个0.1，5个0.01，借助阴影动态演示创造0.35的过程就是把正方形平均分成100份，取其中的35份，在直观图示表征的助力下有效沟通了抽象的数的意义与组成之间的联系。紧接着，我将涂色3个0.1竖条阴影，借助多媒体演示旋转成水平方向长条，并逐步演绎形成较为抽象的数轴（如圖4）！将数轴的产生建立在直观的图示表征上，借助图示表征沟通直观图形表示小数到用数轴表示小数。成功将数轴上的点与数直接对应！
借助思维图示表征，帮助学生将抽象的文字转化为直观的数学语言，非常简单、便捷地呈现了数学信息，有利于学生更加透彻地理解和掌握知识。
数学研究的主要对象是现实世界的数量关系和空间形式，数量关系常看做数，空间形式常看做形，数与形是同一事物的两个方面，是互相联系，也可以互相转化的。在数学学习中巧妙地借助图形，学会用图示表征思考问题、想象问题，可以更好地感知数学、领悟数学。
作者简介：
侯小卿，福建省漳州市，福建省龙溪师范学校附属小学龙文分校。
关键词：图示表征；整体知识建构；直观抽象；沟通联系
数学课程标准（2011年版）明确指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要作用。”学会用图形思考是学习数学的基本能力，在小学数学教学中教师如能巧妙运用图示表征进行有效的课堂教学，能有效沟通直观到抽象的联系，能使内隐数量关系更加明朗，有利于解决问题，有效促进学生建构数学知识。
一、 借图示表征促进数学知识的整体把握
数学知识结构既有知识发展的纵向逻辑线索，又有不同内容和方法之间横向的实质性联系。它是具有逻辑性、系统性的整体性结构，借助图示沟通数学知识之间的联系，有利于对相关的数学知识作比较和沟通，整体把握数学知识，获得内容充实、结构相对完善的数学知识系统。
笔者执教人教版五年级下册《长方体与正方体——整理与复习》一课采用画图示表征的方法将所有关于长方体的知识按点、线、面的关联性整理成一张思维导图（如下图），借助思维导图将各知识点连成线，系统化，结构化直观反映各个知识点之间的关联，优化记忆，加深理解，有效促进学生对长方体知识的整体把握。此课例获得了2017年一师一优课评选部优课。
通过对比沟通、深入思考，借助图示表征在头脑里形成系统化、结构化的数学知识体系，可以实现数学知识掌握的举一反三、触类旁通，完成知识体系的完整建构。
例如小数的意义历来是学生理解的难点。如果仅是记住“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”这些抽象的概念语言，学生显然无法从本质上完成概念的整体建构与理解。如何化解这个难题，以笔者在执教“小数的意义”一课为例，老师预设结合图示表征引发概念的自然生长，整体把握小学阶段数的认识的知识体系。笔者先用不完整的色图激起认知冲突。老师从文件夹中一张一张地抽出蓝色正方形纸片，让学生数。在即将数到第8张的时候，学生习惯性地报出“8”，此时老师呈现了一张不完整的色图1（下图1）。
师质疑，还能一块一块地数吗？怎么办？猜想下怎么表示？并说说猜的理由，紧接着呈现图2（下图2），借助图形演示，不完整的色块是把这个正方形平均分成10份，色块占了8份，进而引导学生一份一份地数：1个0.1是0.1，2个0.1是0.2，3个0.1是0.3……数学家华罗庚说：“数[shù]源于数[shǔ]”老师引导学生从数完整的纸片到数不完整的色图，学生水到渠成自然领悟到当无法用整数表示一个物体时可以用小数表示。在数数的过程中通过图示表征顺利实现整数、1、分数、小数之间的关系沟通，将新知识自然纳入已有的知识结构中，整体把握数学知识。
紧接着笔者继续用不规则的色图引发概念生长。如下图3，老师质疑是0.9吗？生：比0.9小一些。老师追问：那么该是多少呢？生思考后：再把那个0.1平均分成10份。顺利借助图示表征将学生认识从一位小数顺利推向两位小数。学生在直观可感中顺利把握了小数的概念。
通过这种采用理清知识联结的方式，可以让学生对所学的知识有一个整体的认识，也有利于数学知识的系统化、结构化，加深了学生对知识的理解，同时也形成了整理知识的能力，发展学生的数学素养。
二、 借助图示表征将内隐关系转为直观可视
图示表征是解决问题的一种重要策略，随着年级的增长，数学问题的信息、关系越来越复杂，从文字叙述中分析理解问题有一定的难度。将文字表述的语言运用图示表征直观形象化，可使内隐的数量关系外显，从而促进学生的理解，可谓一图胜千言。
如教学甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇。各自继续前行到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地40千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
题中数量关系隐含于复杂的情境之中，看不到速度，找不到时间，怎么求路程？让学生这样单纯地看题目分析寻找解题思路有些不易，借助图示将数学信息、数量关系直观外显，化模糊为清晰，化抽象为具体。通过读题，第一次相遇时，两车共行了一个全程，如图红、蓝色实线，一个全程甲行了60千米（红色实线）；各自前行到返回时第二次相遇，从图中可以直观看出一共行了3个全程（甲的红色线与乙的蓝色线），一个全程甲行60千米，3个全程甲就行了3个60千米，也就是图中红线是180千米，减去40千米，就是A、B两地的距离。结合图示让学生一步步充分经历把文字转化为图形，再把图形转换成思维的全过程，再详细地解说也比不上这样借助图示表征阐释直观。
图示表征可以将抽象的数学语言与直观图形有机地结合起来，实现表象系统与文字系统的转换，可以使数量及其关系得以直观地集中展现，让隐含的数量关系更加明朗，从而为探索和解决数学问题提供新思路和新方法，促进学生对问题的深入理解。
三、 以图示表征为介沟通直观到抽象的联系
新课标指出：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系。”数学活动仅停留于具体的感性的思维是不够的，充分正确挖掘图示表征的中介功能，巧用图示表征沟通直观到抽象的联系，发展学生抽象的思维能力，是十分必要的。
例如，笔者在执教《小数的意义》一课时，引导学生参与0.35这个小数的创造活动环节，通过阴影图示，学生直观看到两位小数的组成，清楚理解0.35中有3个0.1，5个0.01，借助阴影动态演示创造0.35的过程就是把正方形平均分成100份，取其中的35份，在直观图示表征的助力下有效沟通了抽象的数的意义与组成之间的联系。紧接着，我将涂色3个0.1竖条阴影，借助多媒体演示旋转成水平方向长条，并逐步演绎形成较为抽象的数轴（如圖4）！将数轴的产生建立在直观的图示表征上，借助图示表征沟通直观图形表示小数到用数轴表示小数。成功将数轴上的点与数直接对应！
借助思维图示表征，帮助学生将抽象的文字转化为直观的数学语言，非常简单、便捷地呈现了数学信息，有利于学生更加透彻地理解和掌握知识。
数学研究的主要对象是现实世界的数量关系和空间形式，数量关系常看做数，空间形式常看做形，数与形是同一事物的两个方面，是互相联系，也可以互相转化的。在数学学习中巧妙地借助图形，学会用图示表征思考问题、想象问题，可以更好地感知数学、领悟数学。
作者简介：
侯小卿，福建省漳州市，福建省龙溪师范学校附属小学龙文分校。