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统计与概率这个板块的内容可以说是新教材中的一大亮点,在每一册数学教材中都有涉及。《众数》这节课是人教版课标教材五年级下册第六单元《统计》的第一课时,是学生在三年级下册学习了平均数和五年级上册学习了中位数的基础上,继续研究数据集中情况的统计量。所以,它既是对前面所学知识的深化与拓展,又是联系现实生活,培养学生应用数学意识和能力的很好素材。
一、注重比较,联系实际
[教学设想]
众数,在学生的眼中是完全陌生的,在我这个刚刚教实验教材的老师眼里也并不熟悉。在翻看了教材之后,知道了一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。因此在准备这堂课的过程中,前期我把大量的时间花在了钻研教材、分析教材、理解编者意图等方面。初步认为学生已经掌握了在一组数据中,用平均数来表示“总体水平”和用中位数来表示“一般水平”的方法。学生可能遇到的困难是:什么时候用众数,什么时候用平均数,什么时候用中位数。我在课前与经历过该知识点教学的同事进行了交流,大家认为,平均数、中位数和众数,连成人在某些时候都难以作出唯一判断(事实上,有些情况的确不能拿唯一的某个统计量来分析)。为了不使刚刚接触此知识的学生在具体问题的判别上将这三种统计量搅和在一起,教师需要在提供的情景上作出甄选,做好语言的引导,包括课堂上合理的活动安排,有效地组织学生进行自主探究和相互交流合作,都是本节课教师需要注意和努力的。
基于以上对教材、对学情的分析,我在设计教学时对本节课教学起点和教学重点的展开都做了适当的调整:尊重教材的编写意图,同时考虑到学生认知的现实基础,本节课的设计应适当提高起点,在组织教学时,开门见山地呈现学生的已有认知,并把“众数”的教学放在与平均数和中位数的比较中展开,由此产生了第一个教学预案。
[第一次教学实践简述]
(一)认识众数,在举例中初步了解众数的意义及作用。
师:今天我们继续学习有关统计的知识,我们来学习一个新的统计量——众数。顾名思义,你觉得众数是怎样的一个统计量?
学生通过讨论、交流、举例建立众数概念,了解众数意义。
(二)在与中位数、平均数比较中深入理解众数的意义。
1.师:除了众数这个统计量外,在统计中我们还学过哪些统计量?在你心目中,平均数是怎样的一个统计量?中位数又是怎样的一个统计量?
让学生在讨论交流中巩固平均数、中位数的意义。
2.师:在上个星期中,我们学校崇实园505班同学进行了一次数学考试,下面我们来看其中第一小组的考试情况:
91 90 93 9998 8998
请你仔细观察这组数据,你们觉得用多少分来代表这组同学这次的考试成绩比较合适?下面请拿出你的草稿本,把你的想法、思考过程写下来。
(学生讨论、交流,重点就为什么不用众数来表示展开讨论)
3.师:下面我们再来看其中第二小组的数学成绩情况:
929794100100489191
请你仔细观察这组数据,你们觉得用多少分来代表这组同学这次的考试成绩比较合适?
说出你的选择理由。(为什么又不用众数来表示?)
4.师:在另外的四组数据中,你觉得哪一组数据比较适合用“众数”来表示这组同学的成绩情况?为什么选择这组?说说你的理由。
5.小结:我们发现用哪个统计量来代表一组数据的总体情况,关键还是要看一组数据的特点,当然还要看我们所关心的问题。比如:同样是考试成绩问题,我们如果要比较哪个班同学的考试情况好一些,你觉得用哪个统计量比较合适?如果要看你的成绩在班级中处于什么水平,你觉得用哪个统计量比较合适?如果要看你们班多数同学的成绩情况,你觉得用哪个统计量比较合适?
(三)联系情境,应用众数、平均数、中位数。(略)
[首次实践后的探讨与反思]
原设想通过三个环节的教学,学生对众数这个统计量能由表及里,由浅入深,达成比较全面正确的认识。但教学事实说明,这是教师一厢情愿的预设,学生自有学生的认知起点和认知特点。对于大多数学生来说,以这样的方式建立众数的概念,理解众数的意义,显然过于单薄。在众数的概念没有很好建立的情况下,就让学生根据数据的特点选择合适统计量,从而修正自己对众数的理解,显然拔高了要求,以至于学生的参与面不高,参与度不强,也降低了众数在整节课中的地位。
课后,各位听课教师全面剖析、热烈讨论,得出了不少意见和建议,令我深思,并认真分析问题的原因所在,归纳起来有两个层面。
理念层面:1.教学应与学生生活相联系,以调动学生的生活经验和原有认知,使学生感受其生活的意义;2.教学设计需要创设一定的情境,学生有解决问题的需要,有知识矛盾的冲突,才有主动探究的欲望;3.教学不是简单的给予,不能以教师的认识代替学生的认识。
操作层面:1.众数具有很强的现实意义,教学可从现实生活引入,使学生具体感受到生活中众数的存在,同时也让学生体会到众数的统计意义;2.众数的学习与以前学习的平均数、中位数相联系;3.课堂教学中对学生的错误认识教师应紧紧抓住,并充分展开。如以表格方式呈现统计结果时(如37码女鞋卖得最多, 12双),学生往往误以为12就是众数,这时教师应引导学生说清楚这里表示什么意思、哪个数出现的次数最多,并引发学生讨论,从而对众数概念形成正确的理解。
鉴于以上认识,我认为本节课教学设计的关键是:理解“众数”概念的本质,能用“众数”解释生活中的众数现象,并灵活运用众数。
二、理解本质,灵活运用
[第二次教学实践简述]
(一)创设情境,认识众数
1.情境引入
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,其中各种尺码的鞋的销售量如下所示(单位:码):
3736 3836 373738353937 38 403637 3837 373437383637 38 3937 3739 35 38 36
师:请默默地读题,仔细观察这30个数据,你能从中得到一些怎样的信息?
生:我发现37码鞋卖得最多,34码和40码的鞋卖得最少……
师:这些信息你觉得对于鞋店来说有价值吗?有什么价值?
生:有价值,可以为进下一批货提供依据。
师:这家鞋店的经理确实想要参照这些鞋子的销售情况来决定下一批货,如果这位经理想要对这些数据了解得更清楚、更全面,你有什么建议?
生:可以对这些数据进行排序,再进行统计。
师:我们一起对30双女鞋销售情况进行统计……
2.认识众数
师:刚才在统计的时候,老师发现有一个数据出现的次数特别多,是哪个数据?
师:在这里,37码出现了11次,出现的次数是最多的,这样的数在数学中有一个专门的名字叫“众数”。
师:今天,我们就来认识统计中这个重要的统计量——众数。
师:这组数据中的众数是多少?假如你是这家鞋店的经理,你会怎样确定各种鞋的进货数量?
3.加深对众数意义的理解
师:那么在一组数据中的众数会是几个呢?请举例?为什么?
(二)联系生活,拓展众数
1.学生举例
师:今天我们主要学习了众数,生活中到底有没有众数?生活中哪些地方用到众数呢?
生:我们在选举班长时,要用到众数。
师:这里的众数是什么?
生:得票最多的那个同学的名字就是这里的众数。
师:这样看来,众数不单指的是数据,还可以指一个人的名字。
生:商店中经过统计,有两件商品卖得最多,并且一样多,这里的众数就是这两件商品的名称。
生:评选最受欢迎的动画片,这里的众数是这部动画片的名称。
……
2.教师举例
师:如果学校要为我们做校服,你建议学校做的校服以什么颜色为主色调?(现场统计)这里的众数又是什么?
师:我们要评选最受欢迎的课外读物,这里的众数又是什么?
师:在百家姓排行榜中的众数又是什么?
师:有时候,我们这么统计平时成绩:
全班60人数学考试情况统计:
96至100分:32人
91至95分: 15人
86至90分: 8人
81至85分: 2人
66至70分: 1人
41至45分: 2人
这里的众数又是什么?
3.解释“均码”现象
师:上个星期,老师到超市服装柜台前,发现了这么一个现象,有些服装这样标出——尺寸:均码;价格:50元。你觉得这里的均码是怎么回事?
生:平均尺码、多数人能穿的衣服……
师:均码到底是怎么回事呢?请看书本是怎么说的。
师:现在你们知道均码是怎么回事了吗?这里说均码蕴含平均数和众数原理。这里众数原理从哪里体现?平均数呢?
(生讨论……)
4.用众数解释生活中的现象
师:老师又来到超市卖米和八宝粥的地方,又见到这么一个现象,大多数的米15千克一袋,八宝粥355毫升一罐。你觉得厂家经历了怎样的过程才产生了这样的数据?
师小结:同学们讲得很有道理,老师更欣赏我们有些同学能用今天所学的众数知识来解释,当然这些数据的产生我想可能有更多方面的原因,但是我相信和我们同学讲到的有很大的关联,生活就是这样,有些看上去很平常的事情中,可能蕴含了很多数学知识。
三、新旧对比,深化众数
1.师:今天我们主要学习了众数这个统计量,在统计中,除了我们今天学过“众数”这个统计量外,还学过哪些统计量?
(多媒体出示一组同学的考试成绩:85、88、88、88、89、93)这组同学成绩的平均数怎么求?中位数怎么求?
2.师:假若有位同学的成绩统计错了,是不是三个统计量都要改变?
3.师:根据一组同学成绩的平均数、中位数、众数,你猜测全班同学成绩的平均数、中位数、众数可能是多少?(得出一组同学不能代表全班同学的结论)
4.师:如果在一组数据中,要用一个数据来代表整一组数据,你会首选哪个数据?说出你的理由。
师小结:用哪个统计量来代表一组数据的总体情况,关键还是要看这组数据的特点,当然还要根据我们所关心的问题进行选择。
四、课堂小结,拓展延伸
[几次实践后的整体教学反思]
后面几次教学和第一次试教相比,教学过程总的来说较流畅,学生也能主动参与学习,对众数的理解也比较到位。几次磨课下来,感觉在“众数”教学中,重点应关注以下几方面:
1.把“众数”放在有意义的现实情境中学习。有了典型的现实情境作支撑,学生自然就能感受到学习众数有趣且有用。如在鞋店的经理想要参照30双女鞋的销售情况来确定下次进货的数量这个活动中,学生感受到了认识众数的必要性,从而也使学生认识和理解了众数的数学意义。这样也符合学生从形象到抽象的认知特点。
2.重视众数个数的讨论,加深对众数意义的理解。众数意义的教学是一个由具体形象到抽象概括的过程。学生的学习认识也是一个由量的积累到质的提升的过程,没有量的积累,质的提升就会生硬、牵强,无法自主实现。本课通过“刚才我们认识了众数,那么在一组数据中的众数会是几个呢?请举例,并说出你的理由”,这样在和众数意义密切联系的讨论中,为学生对众数意义的理解找到更为丰富的表象支撑,从而也加深了对众数意义的理解。
3.注重对生活中众数现象的关注,从而引导学生理解众数的本质。以前学的平均数,为什么学生会这么熟悉?笔者以为是因为学生接触得比较多,用得也比较多,平均数的统计意义和现实意义学生往往容易沟通。所以众数的教学也可找生活中的众数现象,使学生具体感受到生活中众数的广泛存在,同时体会到众数的统计意义和现实意义,找到数学与生活的联结点,沟通学生的生活经验和认知基础,从而把握数学本质,并在此基础上提升学生的数学认识。笔者认为,师生共同举例生活中的众数现象,讨论生活中的“均码”现象,讨论生活中为什么一袋大米通常15千克,一瓶八宝粥通常是355毫升,不仅让学生感受到了众数在生活中的广泛应用,同时也提升了众数的统计意义。
4.注重三个统计量的对比教学,加深对众数本质的理解。在认识众数之前,学生已经认识了平均数和中位数。在本节课的第三个教学环节中,注重了对平均数、中位数、众数的数学意义和统计意义的比较。只有这样,才能对三个统计量的认识逐步完整和深入。当然,三个统计量的比较只有在各自意义理解的基础上进行,这也是第一次教学实践中所缺失的。
回顾“众数”的磨课历程,是一个不断认识、清晰和提高的过程。笔者认为教学“众数”的关键是如何让学生理解“众数”的本质特征,从而使学生灵活运用“众数”。
(浙江省桐乡市实验小学教育集团314500
浙江省桐乡市教研科研室314500)
一、注重比较,联系实际
[教学设想]
众数,在学生的眼中是完全陌生的,在我这个刚刚教实验教材的老师眼里也并不熟悉。在翻看了教材之后,知道了一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。因此在准备这堂课的过程中,前期我把大量的时间花在了钻研教材、分析教材、理解编者意图等方面。初步认为学生已经掌握了在一组数据中,用平均数来表示“总体水平”和用中位数来表示“一般水平”的方法。学生可能遇到的困难是:什么时候用众数,什么时候用平均数,什么时候用中位数。我在课前与经历过该知识点教学的同事进行了交流,大家认为,平均数、中位数和众数,连成人在某些时候都难以作出唯一判断(事实上,有些情况的确不能拿唯一的某个统计量来分析)。为了不使刚刚接触此知识的学生在具体问题的判别上将这三种统计量搅和在一起,教师需要在提供的情景上作出甄选,做好语言的引导,包括课堂上合理的活动安排,有效地组织学生进行自主探究和相互交流合作,都是本节课教师需要注意和努力的。
基于以上对教材、对学情的分析,我在设计教学时对本节课教学起点和教学重点的展开都做了适当的调整:尊重教材的编写意图,同时考虑到学生认知的现实基础,本节课的设计应适当提高起点,在组织教学时,开门见山地呈现学生的已有认知,并把“众数”的教学放在与平均数和中位数的比较中展开,由此产生了第一个教学预案。
[第一次教学实践简述]
(一)认识众数,在举例中初步了解众数的意义及作用。
师:今天我们继续学习有关统计的知识,我们来学习一个新的统计量——众数。顾名思义,你觉得众数是怎样的一个统计量?
学生通过讨论、交流、举例建立众数概念,了解众数意义。
(二)在与中位数、平均数比较中深入理解众数的意义。
1.师:除了众数这个统计量外,在统计中我们还学过哪些统计量?在你心目中,平均数是怎样的一个统计量?中位数又是怎样的一个统计量?
让学生在讨论交流中巩固平均数、中位数的意义。
2.师:在上个星期中,我们学校崇实园505班同学进行了一次数学考试,下面我们来看其中第一小组的考试情况:
91 90 93 9998 8998
请你仔细观察这组数据,你们觉得用多少分来代表这组同学这次的考试成绩比较合适?下面请拿出你的草稿本,把你的想法、思考过程写下来。
(学生讨论、交流,重点就为什么不用众数来表示展开讨论)
3.师:下面我们再来看其中第二小组的数学成绩情况:
929794100100489191
请你仔细观察这组数据,你们觉得用多少分来代表这组同学这次的考试成绩比较合适?
说出你的选择理由。(为什么又不用众数来表示?)
4.师:在另外的四组数据中,你觉得哪一组数据比较适合用“众数”来表示这组同学的成绩情况?为什么选择这组?说说你的理由。
5.小结:我们发现用哪个统计量来代表一组数据的总体情况,关键还是要看一组数据的特点,当然还要看我们所关心的问题。比如:同样是考试成绩问题,我们如果要比较哪个班同学的考试情况好一些,你觉得用哪个统计量比较合适?如果要看你的成绩在班级中处于什么水平,你觉得用哪个统计量比较合适?如果要看你们班多数同学的成绩情况,你觉得用哪个统计量比较合适?
(三)联系情境,应用众数、平均数、中位数。(略)
[首次实践后的探讨与反思]
原设想通过三个环节的教学,学生对众数这个统计量能由表及里,由浅入深,达成比较全面正确的认识。但教学事实说明,这是教师一厢情愿的预设,学生自有学生的认知起点和认知特点。对于大多数学生来说,以这样的方式建立众数的概念,理解众数的意义,显然过于单薄。在众数的概念没有很好建立的情况下,就让学生根据数据的特点选择合适统计量,从而修正自己对众数的理解,显然拔高了要求,以至于学生的参与面不高,参与度不强,也降低了众数在整节课中的地位。
课后,各位听课教师全面剖析、热烈讨论,得出了不少意见和建议,令我深思,并认真分析问题的原因所在,归纳起来有两个层面。
理念层面:1.教学应与学生生活相联系,以调动学生的生活经验和原有认知,使学生感受其生活的意义;2.教学设计需要创设一定的情境,学生有解决问题的需要,有知识矛盾的冲突,才有主动探究的欲望;3.教学不是简单的给予,不能以教师的认识代替学生的认识。
操作层面:1.众数具有很强的现实意义,教学可从现实生活引入,使学生具体感受到生活中众数的存在,同时也让学生体会到众数的统计意义;2.众数的学习与以前学习的平均数、中位数相联系;3.课堂教学中对学生的错误认识教师应紧紧抓住,并充分展开。如以表格方式呈现统计结果时(如37码女鞋卖得最多, 12双),学生往往误以为12就是众数,这时教师应引导学生说清楚这里表示什么意思、哪个数出现的次数最多,并引发学生讨论,从而对众数概念形成正确的理解。
鉴于以上认识,我认为本节课教学设计的关键是:理解“众数”概念的本质,能用“众数”解释生活中的众数现象,并灵活运用众数。
二、理解本质,灵活运用
[第二次教学实践简述]
(一)创设情境,认识众数
1.情境引入
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,其中各种尺码的鞋的销售量如下所示(单位:码):
3736 3836 373738353937 38 403637 3837 373437383637 38 3937 3739 35 38 36
师:请默默地读题,仔细观察这30个数据,你能从中得到一些怎样的信息?
生:我发现37码鞋卖得最多,34码和40码的鞋卖得最少……
师:这些信息你觉得对于鞋店来说有价值吗?有什么价值?
生:有价值,可以为进下一批货提供依据。
师:这家鞋店的经理确实想要参照这些鞋子的销售情况来决定下一批货,如果这位经理想要对这些数据了解得更清楚、更全面,你有什么建议?
生:可以对这些数据进行排序,再进行统计。
师:我们一起对30双女鞋销售情况进行统计……
2.认识众数
师:刚才在统计的时候,老师发现有一个数据出现的次数特别多,是哪个数据?
师:在这里,37码出现了11次,出现的次数是最多的,这样的数在数学中有一个专门的名字叫“众数”。
师:今天,我们就来认识统计中这个重要的统计量——众数。
师:这组数据中的众数是多少?假如你是这家鞋店的经理,你会怎样确定各种鞋的进货数量?
3.加深对众数意义的理解
师:那么在一组数据中的众数会是几个呢?请举例?为什么?
(二)联系生活,拓展众数
1.学生举例
师:今天我们主要学习了众数,生活中到底有没有众数?生活中哪些地方用到众数呢?
生:我们在选举班长时,要用到众数。
师:这里的众数是什么?
生:得票最多的那个同学的名字就是这里的众数。
师:这样看来,众数不单指的是数据,还可以指一个人的名字。
生:商店中经过统计,有两件商品卖得最多,并且一样多,这里的众数就是这两件商品的名称。
生:评选最受欢迎的动画片,这里的众数是这部动画片的名称。
……
2.教师举例
师:如果学校要为我们做校服,你建议学校做的校服以什么颜色为主色调?(现场统计)这里的众数又是什么?
师:我们要评选最受欢迎的课外读物,这里的众数又是什么?
师:在百家姓排行榜中的众数又是什么?
师:有时候,我们这么统计平时成绩:
全班60人数学考试情况统计:
96至100分:32人
91至95分: 15人
86至90分: 8人
81至85分: 2人
66至70分: 1人
41至45分: 2人
这里的众数又是什么?
3.解释“均码”现象
师:上个星期,老师到超市服装柜台前,发现了这么一个现象,有些服装这样标出——尺寸:均码;价格:50元。你觉得这里的均码是怎么回事?
生:平均尺码、多数人能穿的衣服……
师:均码到底是怎么回事呢?请看书本是怎么说的。
师:现在你们知道均码是怎么回事了吗?这里说均码蕴含平均数和众数原理。这里众数原理从哪里体现?平均数呢?
(生讨论……)
4.用众数解释生活中的现象
师:老师又来到超市卖米和八宝粥的地方,又见到这么一个现象,大多数的米15千克一袋,八宝粥355毫升一罐。你觉得厂家经历了怎样的过程才产生了这样的数据?
师小结:同学们讲得很有道理,老师更欣赏我们有些同学能用今天所学的众数知识来解释,当然这些数据的产生我想可能有更多方面的原因,但是我相信和我们同学讲到的有很大的关联,生活就是这样,有些看上去很平常的事情中,可能蕴含了很多数学知识。
三、新旧对比,深化众数
1.师:今天我们主要学习了众数这个统计量,在统计中,除了我们今天学过“众数”这个统计量外,还学过哪些统计量?
(多媒体出示一组同学的考试成绩:85、88、88、88、89、93)这组同学成绩的平均数怎么求?中位数怎么求?
2.师:假若有位同学的成绩统计错了,是不是三个统计量都要改变?
3.师:根据一组同学成绩的平均数、中位数、众数,你猜测全班同学成绩的平均数、中位数、众数可能是多少?(得出一组同学不能代表全班同学的结论)
4.师:如果在一组数据中,要用一个数据来代表整一组数据,你会首选哪个数据?说出你的理由。
师小结:用哪个统计量来代表一组数据的总体情况,关键还是要看这组数据的特点,当然还要根据我们所关心的问题进行选择。
四、课堂小结,拓展延伸
[几次实践后的整体教学反思]
后面几次教学和第一次试教相比,教学过程总的来说较流畅,学生也能主动参与学习,对众数的理解也比较到位。几次磨课下来,感觉在“众数”教学中,重点应关注以下几方面:
1.把“众数”放在有意义的现实情境中学习。有了典型的现实情境作支撑,学生自然就能感受到学习众数有趣且有用。如在鞋店的经理想要参照30双女鞋的销售情况来确定下次进货的数量这个活动中,学生感受到了认识众数的必要性,从而也使学生认识和理解了众数的数学意义。这样也符合学生从形象到抽象的认知特点。
2.重视众数个数的讨论,加深对众数意义的理解。众数意义的教学是一个由具体形象到抽象概括的过程。学生的学习认识也是一个由量的积累到质的提升的过程,没有量的积累,质的提升就会生硬、牵强,无法自主实现。本课通过“刚才我们认识了众数,那么在一组数据中的众数会是几个呢?请举例,并说出你的理由”,这样在和众数意义密切联系的讨论中,为学生对众数意义的理解找到更为丰富的表象支撑,从而也加深了对众数意义的理解。
3.注重对生活中众数现象的关注,从而引导学生理解众数的本质。以前学的平均数,为什么学生会这么熟悉?笔者以为是因为学生接触得比较多,用得也比较多,平均数的统计意义和现实意义学生往往容易沟通。所以众数的教学也可找生活中的众数现象,使学生具体感受到生活中众数的广泛存在,同时体会到众数的统计意义和现实意义,找到数学与生活的联结点,沟通学生的生活经验和认知基础,从而把握数学本质,并在此基础上提升学生的数学认识。笔者认为,师生共同举例生活中的众数现象,讨论生活中的“均码”现象,讨论生活中为什么一袋大米通常15千克,一瓶八宝粥通常是355毫升,不仅让学生感受到了众数在生活中的广泛应用,同时也提升了众数的统计意义。
4.注重三个统计量的对比教学,加深对众数本质的理解。在认识众数之前,学生已经认识了平均数和中位数。在本节课的第三个教学环节中,注重了对平均数、中位数、众数的数学意义和统计意义的比较。只有这样,才能对三个统计量的认识逐步完整和深入。当然,三个统计量的比较只有在各自意义理解的基础上进行,这也是第一次教学实践中所缺失的。
回顾“众数”的磨课历程,是一个不断认识、清晰和提高的过程。笔者认为教学“众数”的关键是如何让学生理解“众数”的本质特征,从而使学生灵活运用“众数”。
(浙江省桐乡市实验小学教育集团314500
浙江省桐乡市教研科研室314500)