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当问题所包含的对象不能统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出各自的结论，再综合各类结果得到整个问题的解答，这种方法就叫做分类讨论.
在解决某些数学问题时，因为在条件或结论中存在一些不确定的因素，解答无法用同一的方法或结论不能给出统一的表述，但就其解题方法及转化手段而言都是类似的，此时可以根据数学对象本质属性的异同和题目的特点、要求，选择恰当的标准加以分类，逐一研究解决.分类的要求有两个，其一，分类标准统一，其二，分类要不重不漏.
分类讨论是一种重要的数学思想方法，能培养学生思维的逻辑性、探究性以及归纳的条理性、完整性，它渗透于数学的各个分支，在中考试题中占有重要的位置.平方根，绝对值的概念，两圆相切的位置关系，三角形的形状，角的大小范围等等常常是分类的出发点.
例1 （2011 浙江）某计算程序编辑如图1所示，当输入x＝ 时，输出的y=3.
图1
分析 分别计算当x≥3、x<3时，x-3=3、3x+5=3相应的x的值即可.
分别解得x=12或-23.
例2 函数y＝-1|x|图象的大致形状是
（ ）
分析 对于这个函数同学们是陌生的.先考虑定义域，由x非零，排除C选项；再从x＞0,x<0两种情况都可以判断y的值为负数，答案选D.
图2
例3 （2011福建厦门）如图2，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
分析 由图上格点可知AD=1，AB=3，AC=62.要求以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，就要分两种情形：△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值有两个：22,24.
点评 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是注意结合图形进行分类讨论.
图3
例4 (2011四川德阳改编)如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B旋转90°至CB，那么点C的坐标是 .
分析 有两种情形：（1） AB绕点B顺时针旋转.此时，过点C作y轴的垂线，D为垂足，根据三角形全等可以知道：CD=b,BD=a,OD=b-a，则点C的坐标为(-b，b-a)；（2） AB绕点B逆时针旋转，同理可得点C的坐标为(b,a+b).
点评 本题考查了旋转三要素.如果本题改为：以AB为一边作正方形，求其他两个点的坐标.请同学们不妨自己试一试.
例5 已知实数x满足x2+1x2=7，求3x2+x+32x的值.
分析 将x2+1x2=7左边配方，x2+1x2+2=7+2，得x+1x2=9，从而x+1x=±3，将3x2+x+32x变形得32x+1x+12，整体代入求得5或-4.
点评 本题考查开平方的意义、代数式的变形化简以及整体代换的方法，不能漏解.
例6 (2011 北京)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1） 求k的值；
（2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象求出当直线y=12x+b（b 分析 从一元二次方程根的判别式入手，得到k≤3，正整数k的值有1,2,3.然后分别检验方程是否有两个非零的整数根，得到新的函数图象后，把图形的位置变化转化为对字母b计算，此时图象有公共点的情况不唯一，可分类讨论.
解答 （1） 由题意，得Δ=16-8(k-1)≥0，∴ k≤3.
∵ k为正整数，∴ k=1，2，3.
（2） 当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根；
当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根.
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意.
当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6.
图4
（3） 设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A(-3，0)，B(1，0).依题意翻折后图象如图4所示.当直线y=12x+b经过A点时，可得b=32；当直线y=12x+b经过B点时，可得b=-12.
由图象可知，符合题意的b(b<3)的取值范围为-12 点评 本题中因为b值不确定，所以直线y=12x+b表示无数条互相平行的直线，通过平移直线找到与翻折后图象的公共点的不同情形.此题若改成：讨论直线y=m与新图象的公共点的个数，你能给出完整答案吗？
拓展训练 若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为 .
分析 可设上、下底长分别为x,y(x h2+x2=92，h2+y2=112，两式相减得y2-x2=112-92=40，
进而(y+x)(y-x)=40.
∵ 上、下两底长都是整数，
∴ 由40=1×40=2×20=4×10=5×8分情况列方程组求得上、下两底长的整数解，得到梯形的高为62.
在解决某些数学问题时，因为在条件或结论中存在一些不确定的因素，解答无法用同一的方法或结论不能给出统一的表述，但就其解题方法及转化手段而言都是类似的，此时可以根据数学对象本质属性的异同和题目的特点、要求，选择恰当的标准加以分类，逐一研究解决.分类的要求有两个，其一，分类标准统一，其二，分类要不重不漏.
分类讨论是一种重要的数学思想方法，能培养学生思维的逻辑性、探究性以及归纳的条理性、完整性，它渗透于数学的各个分支，在中考试题中占有重要的位置.平方根，绝对值的概念，两圆相切的位置关系，三角形的形状，角的大小范围等等常常是分类的出发点.
例1 （2011 浙江）某计算程序编辑如图1所示，当输入x＝ 时，输出的y=3.
图1
分析 分别计算当x≥3、x<3时，x-3=3、3x+5=3相应的x的值即可.
分别解得x=12或-23.
例2 函数y＝-1|x|图象的大致形状是
（ ）
分析 对于这个函数同学们是陌生的.先考虑定义域，由x非零，排除C选项；再从x＞0,x<0两种情况都可以判断y的值为负数，答案选D.
图2
例3 （2011福建厦门）如图2，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
分析 由图上格点可知AD=1，AB=3，AC=62.要求以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，就要分两种情形：△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值有两个：22,24.
点评 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是注意结合图形进行分类讨论.
图3
例4 (2011四川德阳改编)如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B旋转90°至CB，那么点C的坐标是 .
分析 有两种情形：（1） AB绕点B顺时针旋转.此时，过点C作y轴的垂线，D为垂足，根据三角形全等可以知道：CD=b,BD=a,OD=b-a，则点C的坐标为(-b，b-a)；（2） AB绕点B逆时针旋转，同理可得点C的坐标为(b,a+b).
点评 本题考查了旋转三要素.如果本题改为：以AB为一边作正方形，求其他两个点的坐标.请同学们不妨自己试一试.
例5 已知实数x满足x2+1x2=7，求3x2+x+32x的值.
分析 将x2+1x2=7左边配方，x2+1x2+2=7+2，得x+1x2=9，从而x+1x=±3，将3x2+x+32x变形得32x+1x+12，整体代入求得5或-4.
点评 本题考查开平方的意义、代数式的变形化简以及整体代换的方法，不能漏解.
例6 (2011 北京)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1） 求k的值；
（2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象求出当直线y=12x+b（b 分析 从一元二次方程根的判别式入手，得到k≤3，正整数k的值有1,2,3.然后分别检验方程是否有两个非零的整数根，得到新的函数图象后，把图形的位置变化转化为对字母b计算，此时图象有公共点的情况不唯一，可分类讨论.
解答 （1） 由题意，得Δ=16-8(k-1)≥0，∴ k≤3.
∵ k为正整数，∴ k=1，2，3.
（2） 当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根；
当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根.
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意.
当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6.
图4
（3） 设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A(-3，0)，B(1，0).依题意翻折后图象如图4所示.当直线y=12x+b经过A点时，可得b=32；当直线y=12x+b经过B点时，可得b=-12.
由图象可知，符合题意的b(b<3)的取值范围为-12 点评 本题中因为b值不确定，所以直线y=12x+b表示无数条互相平行的直线，通过平移直线找到与翻折后图象的公共点的不同情形.此题若改成：讨论直线y=m与新图象的公共点的个数，你能给出完整答案吗？
拓展训练 若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为 .
分析 可设上、下底长分别为x,y(x h2+x2=92，h2+y2=112，两式相减得y2-x2=112-92=40，
进而(y+x)(y-x)=40.
∵ 上、下两底长都是整数，
∴ 由40=1×40=2×20=4×10=5×8分情况列方程组求得上、下两底长的整数解，得到梯形的高为62.