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[摘 要] 数学教学就是思维的教学. 课本例题都是教材编纂者精心选出来的，只有立足于学生的认知去理解教材意图，挖掘课本例题的丰富内涵和广阔外延，才能有效地训练学生的思维. 本例题的教学设计把“由角的数量关系判定直线的位置关系”贯穿始终，通过分解图形，暴露思维；类比实践，沉淀思维；梳理小结，提升思维；例题演变，拓展思维等环节，揭示了“怎么想”到“怎么做”的思维过程，凸显了数学教学的本质.
[关键词] 理解教材；学生现状；例题设计；基本图形；思维教学
例题是知识的聚焦地，是学生思维交锋的战场，是教师实现教学主张的载体. 课本中每一个例题都是教材编纂者精心选出来的，有丰富的内涵和广阔的外延，意在促进学生知识的形成，强化基础知识和基本技能. 在引导学生思维、培养学生能力等方面，有着极大的潜在价值. 在数学教材中，由于篇幅、体系等诸多因素，一些内容被简化或扬弃，有着许多学生看不见的空洞和留白，教师应及时把这些看不见的空白之处暴露出来，让学生经历“再创造”的过程，使教材内容“增值”. 但在具体的教学实施和学生学习的过程中，没有充分使用课本例题，挖掘其教学价值的现象屡屡发生. 一些教师认为课本例题太简单，或为了求新立异等舍弃课本例题；一些教师在教材例题解读上，本位思想严重，没有立足于学生的认知去理解教材意图，因此教学也未能凸显例题教学本质. 下面就一道具体的课本例题的教学过程探索其教学本质.
题目与分析
如图1，∠1=∠2，∠B ∠BDE=180°，指出图中哪些直线相互平行，并说明理由.
1. 教材解答
解：AB∥EF，DE∥BC.
因为∠1与∠2是AB，EF被DE截成的内错角，且∠1=∠2，所以AB∥EF.
理由是：内错角相等，两直线平行.
因为∠B与∠BDE是BC，DE被AB截成的同旁内角，且∠B ∠BDE=180°，所以DE∥BC.
理由是：同旁内角互补，两直线平行.
2. 教材意图
该例题是第7章平面图形的认识（二）中，探索直线平行的条件（第二课时）的内容. 这节课的教学目标是：①会正确识别内错角、同旁内角；②探索并证明直线平行的条件：“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”（下文把它们称为直线平行的第2个、第3个条件）；③经历探索直线平行条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力.
该例题是在学生认识内错角、同旁内角的基础上，对探索归纳出的直线平行的条件的应用. 它具有开放性，要求根据给出的条件，找出图中互相平行的直线，并寻找使这些直线平行的条件. 其作用有两个：一是运用直线平行的第2个、第3个条件进行推理；二是进一步识别内错角、同旁内角.
3. 学生现状
学生已有探索直线平行的条件“同位角相等，两直线平行”的经验，通过第二课时继续探索直线平行的条件，学生能够进一步认识到平行作为两直线的位置关系，与角的大小存在着内在的联系：由角的数量关系判定直线的位置关系，反映了图形与数量之间的关系. 由于学生对新知识的学习有着一定的认知过程，他们对内错角、同旁内角的特征认识还不是很充分，很大程度上在图形中无法清楚识别：已知的两角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的哪类角？即对由“角”找“线”存在困惑、迷茫. 因此很多学生对教材提供的解答，知其然不知其所以然，很难实现教材的意图，达不到应有的教学价值.
教学设计
1. 分解图形，暴露思维
我们知道，教学的价值往往表现在面对问题能自然地做出选择，又不断地优化自己的想法与做法，并在这一思维过程中积累经验，增长智慧. 为了达到这种教学价值，笔者采用华罗庚教授所说的“善于解题就是要善于退，要退到最简单而又不失本质的地方”，立足于学生现有的数学现状，用“退”的思想，设计了从复杂图形中分解出基本图形，由“角”找“线”的教学活动.
问题1 （1）角是由什么组成的图形？∠1，∠2由哪两条边组成？ 用红色的线标识出这两边，然后画出所标识的部分并标注相应的字母.
（2）观察你所画的基本图形，由于角的边是直线的一部分，因此我们可知∠1和∠2是由哪两条直线被哪条直线所截而成的什么角.
（3）这样由∠1=∠2可知哪两条直线平行？其依据是什么？
设计意图 从学生已有的知识基础和认知经验出发，让学生展开思维活动. 学生识别角时常常没有依据角的定义，没办法把角和直线联系起来. 所以设计时“退”到角的定义，在图中找出角的边，然后分解出如图2的基本图形，接着在基本图形中寻找出基本元素及其关系，找出平行直线也就水到渠成了. 这样的活动过程，为学生搭建了化“抽象”为“直观”的脚手架，暴露了由“怎么想”到“怎么做”的思维过程，使学生获得了数学活动经验，培养了学生的空间观念.
生成预设 对于第（1）問，学生解答不存在问题，老师结合学生的回答在PPT中用红色线标识∠1，∠2的边，待学生尝试画图后，老师再在PPT中演示：从原图形中剥离用红色线标识的∠1，∠2，分解出如图2的基本图形——“Z”型图. 对于第（2）问，让学生思考后回答，如学生有问题可适当提醒学生“三线八角”的知识. 这种从复杂图形中分解出基本图形的方法，帮助学生排除多余的干扰因素，去伪存真，问题（3）的答案也就显而易见了.
2. 类比实践，沉淀思维
通过问题1的探索过程，学生初步积累了由“角”找“线”的数学活动经验，可很大程度上只停留在感知层面，学生是否真正掌握需要实践的检验. 正如波利亚所说：数学解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪和弹钢琴一样，要通过模仿和实践来学习. “由∠1=∠2确定的平行直线”与“由∠B ∠BDE=180°确定的平行直线”在结构和特征上有着共同点和相似处，因此可采用与问题1类比的方法进行研究，突出知识间的联系，有利于学生掌握的系统性及内在联系. 于是笔者提出了以下问题. 问题2 类比问题1的探索过程，请你指出由∠B ∠BDE=180°确定的平行直线，并说明理由.
设计意图 认知心理学认为：学习既是经验的迁移，又是在原有知识上的建构. 初一学生研究平面图形的经验不足，对研究平面图形的思想方法还没有形成一个完备的结构体系，可迁移的经验很少，所以学生对找基本图形感到困难. “类比问题1的探索过程”为学生提供探索问题的方向，把前面在数学活动中获得的思维经验实践于问题2的探索，属于知识的迁移，更是经验积累的过程.
生成预设 学生能仿照问题1的活动过程，找出如图3的基本图形——“C”型图，答案的得出不是难事.
3. 梳理小结，提升思维
问题3 通过上述活动，你能发现什么？
设计意图 让学生反思活动过程，小结活动经验，提升活动理论，主要是将“增强学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”的课程目标，细化为“根据两角的大小关系确定两直线的位置关系”这一课时目标，感悟从复杂图形中分解出基本图形的方法，让学生掌握由“角”找“线”的“数学认识”，培养学生有条理的表达能力.
生成预设 从寻找已知两角的边出发，画出对应的基本图形，结合该基本图形确定已知的两角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的哪一类角，再在该基本图形中寻找出基本元素及其关系.
4. 例题演变，拓展思维
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动. 不仅要将知识迁移，还要学会变化，能够做到举一反三. 笔者围绕“由角的数量关系判定直线的位置关系”的教学目标，对例题适当引申、挖掘，将知识、方法与技巧融入其中，让学生在解题过程中感知题组内的规律，发现题组内蕴含的知识和方法.
变式1 如图1，除∠1=∠2外，若要说明直线AB∥EF，需要什么条件？
设计意图 变式1与例题是一个互逆的过程，它反映了由“线”找“角”，是“由果索因”的数学活动. 学生独立思考后，小组讨论，全班展示，使学生体会到：由于第三条直线不确定导致答案不唯一. 该变式深化例题的丰富内涵，渗透分类讨论的数学思想，旨在培养学生的逆向思维能力，开阔思维的宽度，提高学生的思维品质.
生成预设 每位学生自主探索后，相互交流，得到如下结论：以AC为第三条直线得到如图4的基本图形，由图4可知当∠A=∠FEC时，直线AB∥EF；以DE为第三条直线得到如图5的基本图形，由图5可知当∠DEF ∠BDE =180°时，直线AB∥EF；以BC为第三条直线得到如图6的基本图形，由图6可知当∠B=∠EFC或∠B ∠BFE =180°时，直线AB∥EF.
变式2 如图1，除∠B ∠BDE=180°外，若要说明直线DE∥BC，需要什么条件？
设计意图 同变式1，不再赘述.
生成预设 每位学生自主探索后，相互交流，得到如下结论：以AB为第三条直线得到如图7的基本图形，由图7可知当∠B=∠ADE时，直线DE∥BC；以EF为第三条直线得到如图8的基本图形，由图8可知当∠DEF=∠EFC或∠DEF ∠BFE=180°时，直线DE∥BC；以AC为第三条直线得到如图9的基本图形，由图9可知当∠AED=∠C时，直线DE∥BC.
变式3 如图1，如果∠1=∠EFC，直线DE∥BC吗？请说明理由.
设计意图 很多学生依靠直觉认为∠1与∠EFC是同位角，通过追根溯源，即与“三线八角”的知识比较辨析，通过对比，凸显差异，强化同位角的图形特征. 运用“形相近，意相远”的题目，巩固知识的内涵，培养学生思维的批判性，促使学生进一步养成解题有根有据的良好学习习惯.
生成预设 误认∠1与∠EFC是同位角，得到直线DE∥BC的错误结论. 老师分解出如图10的图形，然后用“三线八角”的知识识别∠1与∠EFC不是同位角.
反思
1. 理解教材是教学设计的基础
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实施数学教学、实现数学课程目标的重要资源. 平时教学中，研读教材，领悟編者意图，在教学设计的各个环节上对教材进行深入思考，寻求更恰当的内容来呈现，以期有效引导学生参与重要的数学知识与方法的产生、发展和运用的过程，实现学生对学习内容更深层次的理解. 本例题的教学设计把“由角的数量关系判定直线的位置关系”贯穿始终，注重该知识的“生长点”与“延伸点”. 又把它置于整体知识的体系中，设计出具有挑战性的三个变式，注重处理局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.
2. 切合学生是教学设计的本源
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 了解学生，是一切教学的基础；适合学生，是因材施教的体现. 再精彩的教学设计都需要通过学生这一主体来落实，这直接关系到教学的有效程度. 如本例题的教学设计，就是在摸透学情的情况下，对可能出现的困难、错误进行一种预设. 运用从复杂图形中分解出基本图形的方法，化繁为简，切合学生的知识能力水平，符合学生的心理年龄特点. 只有这样，学生才会在尝试与体验中积极思考，才能在知识能力、数学思维、问题解决等方面真正得以发展，从而实现有效教学.
3. 暴露思维是教学设计的核心
数学的核心是思维，思维需要拓展，不能停留于“浅滩”，要思维向“青草更深处漫溯”. 本例题三个变式题组的设计，使学生对“由角的数量关系判定直线的位置关系”的认识，既从图形结构特征进行解读，又从数量关系上深入接触到其隐性的内涵知识. 不仅能让学生充分暴露思维本真，而且能开阔思维宽度，丰富学生解决问题方法的多样性，更使得数形结合思想、分类讨论思想的渗透做到灵活自如，自然贴切.
叶圣陶先生说过：“教材只能用为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师善于应用. ”这就告诫我们要善于“用教材”，而不是“教教材”. 只有在理解教材、切合学生、暴露思维的前提下，教师适当对例题进行引申、拓广，充分挖掘其智能因素——或启迪思路，注重方法；或引申问题，丰富内涵；或串联知识，一题多解；或解后思考，扩大成果；或归纳题型，总结规律，从而有效地训练学生的思维能力，提高课堂教学质量.
[关键词] 理解教材；学生现状；例题设计；基本图形；思维教学
例题是知识的聚焦地，是学生思维交锋的战场，是教师实现教学主张的载体. 课本中每一个例题都是教材编纂者精心选出来的，有丰富的内涵和广阔的外延，意在促进学生知识的形成，强化基础知识和基本技能. 在引导学生思维、培养学生能力等方面，有着极大的潜在价值. 在数学教材中，由于篇幅、体系等诸多因素，一些内容被简化或扬弃，有着许多学生看不见的空洞和留白，教师应及时把这些看不见的空白之处暴露出来，让学生经历“再创造”的过程，使教材内容“增值”. 但在具体的教学实施和学生学习的过程中，没有充分使用课本例题，挖掘其教学价值的现象屡屡发生. 一些教师认为课本例题太简单，或为了求新立异等舍弃课本例题；一些教师在教材例题解读上，本位思想严重，没有立足于学生的认知去理解教材意图，因此教学也未能凸显例题教学本质. 下面就一道具体的课本例题的教学过程探索其教学本质.
题目与分析
如图1，∠1=∠2，∠B ∠BDE=180°，指出图中哪些直线相互平行，并说明理由.
1. 教材解答
解：AB∥EF，DE∥BC.
因为∠1与∠2是AB，EF被DE截成的内错角，且∠1=∠2，所以AB∥EF.
理由是：内错角相等，两直线平行.
因为∠B与∠BDE是BC，DE被AB截成的同旁内角，且∠B ∠BDE=180°，所以DE∥BC.
理由是：同旁内角互补，两直线平行.
2. 教材意图
该例题是第7章平面图形的认识（二）中，探索直线平行的条件（第二课时）的内容. 这节课的教学目标是：①会正确识别内错角、同旁内角；②探索并证明直线平行的条件：“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”（下文把它们称为直线平行的第2个、第3个条件）；③经历探索直线平行条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力.
该例题是在学生认识内错角、同旁内角的基础上，对探索归纳出的直线平行的条件的应用. 它具有开放性，要求根据给出的条件，找出图中互相平行的直线，并寻找使这些直线平行的条件. 其作用有两个：一是运用直线平行的第2个、第3个条件进行推理；二是进一步识别内错角、同旁内角.
3. 学生现状
学生已有探索直线平行的条件“同位角相等，两直线平行”的经验，通过第二课时继续探索直线平行的条件，学生能够进一步认识到平行作为两直线的位置关系，与角的大小存在着内在的联系：由角的数量关系判定直线的位置关系，反映了图形与数量之间的关系. 由于学生对新知识的学习有着一定的认知过程，他们对内错角、同旁内角的特征认识还不是很充分，很大程度上在图形中无法清楚识别：已知的两角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的哪类角？即对由“角”找“线”存在困惑、迷茫. 因此很多学生对教材提供的解答，知其然不知其所以然，很难实现教材的意图，达不到应有的教学价值.
教学设计
1. 分解图形，暴露思维
我们知道，教学的价值往往表现在面对问题能自然地做出选择，又不断地优化自己的想法与做法，并在这一思维过程中积累经验，增长智慧. 为了达到这种教学价值，笔者采用华罗庚教授所说的“善于解题就是要善于退，要退到最简单而又不失本质的地方”，立足于学生现有的数学现状，用“退”的思想，设计了从复杂图形中分解出基本图形，由“角”找“线”的教学活动.
问题1 （1）角是由什么组成的图形？∠1，∠2由哪两条边组成？ 用红色的线标识出这两边，然后画出所标识的部分并标注相应的字母.
（2）观察你所画的基本图形，由于角的边是直线的一部分，因此我们可知∠1和∠2是由哪两条直线被哪条直线所截而成的什么角.
（3）这样由∠1=∠2可知哪两条直线平行？其依据是什么？
设计意图 从学生已有的知识基础和认知经验出发，让学生展开思维活动. 学生识别角时常常没有依据角的定义，没办法把角和直线联系起来. 所以设计时“退”到角的定义，在图中找出角的边，然后分解出如图2的基本图形，接着在基本图形中寻找出基本元素及其关系，找出平行直线也就水到渠成了. 这样的活动过程，为学生搭建了化“抽象”为“直观”的脚手架，暴露了由“怎么想”到“怎么做”的思维过程，使学生获得了数学活动经验，培养了学生的空间观念.
生成预设 对于第（1）問，学生解答不存在问题，老师结合学生的回答在PPT中用红色线标识∠1，∠2的边，待学生尝试画图后，老师再在PPT中演示：从原图形中剥离用红色线标识的∠1，∠2，分解出如图2的基本图形——“Z”型图. 对于第（2）问，让学生思考后回答，如学生有问题可适当提醒学生“三线八角”的知识. 这种从复杂图形中分解出基本图形的方法，帮助学生排除多余的干扰因素，去伪存真，问题（3）的答案也就显而易见了.
2. 类比实践，沉淀思维
通过问题1的探索过程，学生初步积累了由“角”找“线”的数学活动经验，可很大程度上只停留在感知层面，学生是否真正掌握需要实践的检验. 正如波利亚所说：数学解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪和弹钢琴一样，要通过模仿和实践来学习. “由∠1=∠2确定的平行直线”与“由∠B ∠BDE=180°确定的平行直线”在结构和特征上有着共同点和相似处，因此可采用与问题1类比的方法进行研究，突出知识间的联系，有利于学生掌握的系统性及内在联系. 于是笔者提出了以下问题. 问题2 类比问题1的探索过程，请你指出由∠B ∠BDE=180°确定的平行直线，并说明理由.
设计意图 认知心理学认为：学习既是经验的迁移，又是在原有知识上的建构. 初一学生研究平面图形的经验不足，对研究平面图形的思想方法还没有形成一个完备的结构体系，可迁移的经验很少，所以学生对找基本图形感到困难. “类比问题1的探索过程”为学生提供探索问题的方向，把前面在数学活动中获得的思维经验实践于问题2的探索，属于知识的迁移，更是经验积累的过程.
生成预设 学生能仿照问题1的活动过程，找出如图3的基本图形——“C”型图，答案的得出不是难事.
3. 梳理小结，提升思维
问题3 通过上述活动，你能发现什么？
设计意图 让学生反思活动过程，小结活动经验，提升活动理论，主要是将“增强学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”的课程目标，细化为“根据两角的大小关系确定两直线的位置关系”这一课时目标，感悟从复杂图形中分解出基本图形的方法，让学生掌握由“角”找“线”的“数学认识”，培养学生有条理的表达能力.
生成预设 从寻找已知两角的边出发，画出对应的基本图形，结合该基本图形确定已知的两角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的哪一类角，再在该基本图形中寻找出基本元素及其关系.
4. 例题演变，拓展思维
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动. 不仅要将知识迁移，还要学会变化，能够做到举一反三. 笔者围绕“由角的数量关系判定直线的位置关系”的教学目标，对例题适当引申、挖掘，将知识、方法与技巧融入其中，让学生在解题过程中感知题组内的规律，发现题组内蕴含的知识和方法.
变式1 如图1，除∠1=∠2外，若要说明直线AB∥EF，需要什么条件？
设计意图 变式1与例题是一个互逆的过程，它反映了由“线”找“角”，是“由果索因”的数学活动. 学生独立思考后，小组讨论，全班展示，使学生体会到：由于第三条直线不确定导致答案不唯一. 该变式深化例题的丰富内涵，渗透分类讨论的数学思想，旨在培养学生的逆向思维能力，开阔思维的宽度，提高学生的思维品质.
生成预设 每位学生自主探索后，相互交流，得到如下结论：以AC为第三条直线得到如图4的基本图形，由图4可知当∠A=∠FEC时，直线AB∥EF；以DE为第三条直线得到如图5的基本图形，由图5可知当∠DEF ∠BDE =180°时，直线AB∥EF；以BC为第三条直线得到如图6的基本图形，由图6可知当∠B=∠EFC或∠B ∠BFE =180°时，直线AB∥EF.
变式2 如图1，除∠B ∠BDE=180°外，若要说明直线DE∥BC，需要什么条件？
设计意图 同变式1，不再赘述.
生成预设 每位学生自主探索后，相互交流，得到如下结论：以AB为第三条直线得到如图7的基本图形，由图7可知当∠B=∠ADE时，直线DE∥BC；以EF为第三条直线得到如图8的基本图形，由图8可知当∠DEF=∠EFC或∠DEF ∠BFE=180°时，直线DE∥BC；以AC为第三条直线得到如图9的基本图形，由图9可知当∠AED=∠C时，直线DE∥BC.
变式3 如图1，如果∠1=∠EFC，直线DE∥BC吗？请说明理由.
设计意图 很多学生依靠直觉认为∠1与∠EFC是同位角，通过追根溯源，即与“三线八角”的知识比较辨析，通过对比，凸显差异，强化同位角的图形特征. 运用“形相近，意相远”的题目，巩固知识的内涵，培养学生思维的批判性，促使学生进一步养成解题有根有据的良好学习习惯.
生成预设 误认∠1与∠EFC是同位角，得到直线DE∥BC的错误结论. 老师分解出如图10的图形，然后用“三线八角”的知识识别∠1与∠EFC不是同位角.
反思
1. 理解教材是教学设计的基础
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实施数学教学、实现数学课程目标的重要资源. 平时教学中，研读教材，领悟編者意图，在教学设计的各个环节上对教材进行深入思考，寻求更恰当的内容来呈现，以期有效引导学生参与重要的数学知识与方法的产生、发展和运用的过程，实现学生对学习内容更深层次的理解. 本例题的教学设计把“由角的数量关系判定直线的位置关系”贯穿始终，注重该知识的“生长点”与“延伸点”. 又把它置于整体知识的体系中，设计出具有挑战性的三个变式，注重处理局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.
2. 切合学生是教学设计的本源
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 了解学生，是一切教学的基础；适合学生，是因材施教的体现. 再精彩的教学设计都需要通过学生这一主体来落实，这直接关系到教学的有效程度. 如本例题的教学设计，就是在摸透学情的情况下，对可能出现的困难、错误进行一种预设. 运用从复杂图形中分解出基本图形的方法，化繁为简，切合学生的知识能力水平，符合学生的心理年龄特点. 只有这样，学生才会在尝试与体验中积极思考，才能在知识能力、数学思维、问题解决等方面真正得以发展，从而实现有效教学.
3. 暴露思维是教学设计的核心
数学的核心是思维，思维需要拓展，不能停留于“浅滩”，要思维向“青草更深处漫溯”. 本例题三个变式题组的设计，使学生对“由角的数量关系判定直线的位置关系”的认识，既从图形结构特征进行解读，又从数量关系上深入接触到其隐性的内涵知识. 不仅能让学生充分暴露思维本真，而且能开阔思维宽度，丰富学生解决问题方法的多样性，更使得数形结合思想、分类讨论思想的渗透做到灵活自如，自然贴切.
叶圣陶先生说过：“教材只能用为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师善于应用. ”这就告诫我们要善于“用教材”，而不是“教教材”. 只有在理解教材、切合学生、暴露思维的前提下，教师适当对例题进行引申、拓广，充分挖掘其智能因素——或启迪思路，注重方法；或引申问题，丰富内涵；或串联知识，一题多解；或解后思考，扩大成果；或归纳题型，总结规律，从而有效地训练学生的思维能力，提高课堂教学质量.