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摘要: 半导体的电导率直接依赖于导带中电子和价带中的空穴的多少。电子在半导体中各能级上如何分布的问题是个基本的问题。在热平衡的半导体中,电子和空穴依赖于热激发产生。平衡时电子在各能级上的分布服从一定的统计规律,它与激发电子和空穴的具体过程无关。讨论包括有杂质在内的平衡的半导体中电子和空穴的数目及其随温度的变化。
关键词: 半导体;统计;分布;载流子;导带电子;价带空穴
中图分类号:TN3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0420037-01
1 费米分布波尔兹曼分布
1.1 费米分布。半导体中的电子数目是很大量的,在某一温度下,这数目众多的电子一方面做共有化运动,另一方面又做无规则的热运动。所以,每个电子都有不同的能量状态,就对每一个电子来说其能量也是不断变化的。因此,必须从大量电子的整体来找出其各种参数的统计规律。
费米分布函数描述了热平衡状态下,在一个费米粒子系统中能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。在费米分布中,EF是一个很重要的物理参数,称为费米能级或费米能量。EF与温度、电子系统的性质有关,它可以由系统被所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于系统中电子的总数N来决定,即
∑f(Ei)=N
晶体中作共有化运动的电子的量子能态分裂成能带,能带与能带之间隔着禁带。通常对金属晶体而言,价电子只能部分地填满最外的异带,因而费米能级的位置在异带中。而半导体的价电子却填满了价带,而最外的导带是空的,其费米能级的位置在禁带的范围内,而且随着掺杂浓度以及温度的不同而改变了导带和价带的电子浓度,则改变了共有化能量状态被电子占据的概率。
1.2 波尔兹曼分布。在统计物理中波尔兹曼-麦克斯韦分布是针对非常稀薄的微粒子系统而统计得到的结果。它与费米粒子系统的最大区别是:当粒子系统中的微粒子非常稀少时,粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去了意义。也就是说,当系统粒子非常稀少时每一个量子态不存在有多于一个粒子占据的可能性,所以无需受泡利不相容原理的限制。对这样的微粒子系统一个能量为E的量子态被粒子占据的概率,由统计物理得到
这就是波尔兹曼-麦克斯韦分布函数,常称为波尔兹曼分布函数。
在费米分布函数式中,当E-Ef 〉〉k0T时,上式分母项中1就可以略去,费米分布函数就转化为波尔兹曼分布函数。在一定的温度下,能量为E的量子态被电子占据的概率由指数因子来决定。
在半导体中,导带电子和价带空穴,主要来源于本征激发和杂质电离。在含杂质浓度不是很高的情况下,通常半导体的载流子浓度也不高,无论是导带的电子或价带的空穴都可以看成是稀薄的微粒子系统。因而通常遇到的半导体,在统计载流子的分布时,适用于波尔兹曼分布。从另一角度来看,通常半导体的费米能级EF是在禁带的范围里,因为半导体的禁带宽度在1eV左右,而常温下的k0T为0.026eV。因此,EF于导带底的能量之差或与价带顶的能量之差都远大于k0T,也就是说通常半导体电子系统或空穴系统满足由费米分布函数转化为波尔兹曼分布函数的条件。通常把服从波尔兹曼统计规律的电子系统称为非简并性系统,而服从费米统计分布规律的电子系统称为简并性系统。
2 载流子浓度对费米能的依赖关系
对于给定的半导体,在给定的温度下,EF总是确定的。若已知EF,则可以求出单位体积中导带的电子浓度n和价带空穴浓度p
n=∑f(Ej),p=∑fb(Ei)
式中的求和分别对单位体积晶体中导带和价带的各状态进行。n和p都是EF的函数。向晶体中掺入施主或受主杂质,可以改变能带中的电子数量,从而改变费米能级的位置。
在这一部分中暂时不涉及在各种情形下如何确定EF,而是假定EF为已知,以求出电子浓度和空穴浓度。它们显然依赖于EF的位置。计算主要针对导带电子进行。所得结果容易推广到价带空穴。由于能带中的能级密度很高,在E到E+dE的能量间隔内包含了大量的电子状态。因此可以引入态密度g(E)来描述能带中电子状态的分布。g(E)表示在单位能量间隔内单位体积晶体中的状态数。
2.1 态密度。为了求得由k空间的态密度得到以能量为尺度的态密度g(E),必须就E-K关系作出具体假定。由于在平衡的导带中,电子绝大部分处于导带底,只需着重考察导带底附近的E-K关系和g(E)。设导带可用简单能带模型描述,即导带底在k=0,等能面为球形,并具有抛物性的E-K关系:
ε=E-Ec=h2/2mn*k2
为由导带底EC开始计算的电子能量,它代表导带电子的动能。mn为电子有效质量。容易求出动能小于ε的k空间的体积乘以2/(2π)3.动能小于ε的k空间的体积就是能量为ε的球形等能面所包围的体积,它的半径为/h。于是可得到N(ε)。
2.2 载流子密度。求得了态密度,就可以进一步计算电子浓度n。f(ε)g(ε)代表了电子按能量的分布。我们先把f中的E和EF改作以带边能量Ec作基准计算。
等效态密度NC,NV是温度的函数,随温度的增加而增加。这一方面因为温度越高载流子分布范围越宽;另一方面,温度越高,载流子分布的能量重心越高,因而态密度越大。
至此,在完全没有涉及半导体中EF的具体位置及其如何变化。只有具体知道了EF的位置及其随温度的变化,我们才能最后知道在不同温度下载流子的浓度。但到了这一步,我们还可以指出下面的一个重要结论:对于任何给定的半导体材料,在非简并情形下,不论费米能级的具体位置如何,电子空穴浓度的乘积np的温度关系是确定的。
3 本征半导体的载流子浓度
3.1 本证半导体的电中性条件和费米能级。要求得各种情况下半导体的载流子浓度,就必须知道费米能级EF所谓本征半导体就是完全没有杂质和缺陷的理想纯净和完整的半导体。当温度T=OK时,电子完全未被激发,价带中的量子态完全被填满,而导带则完全是空的。当温度T>0K,由于热涨落,就会有价带中的电子获得足够大的能量跃过禁带的宽度而进入到导带中,同时在价带中留下等量的空穴。这种价带中的电子激发到导带中去的过程称为本征激发。本征激发的一个主要特点就是,每激发一个价带的电子到导带中去,就必定在价带中留下一个空穴。已经知道,导带的电子带负电荷-q,而价带的空穴带正电荷+q。假设由于本征激发产生的导带电子浓度为n0而价带的空穴浓度为p0,不受外场的作用,半导体在任何温度下必须处于电中性状态。这就要求本征半导体导带电子所带负电荷的总数必须等于价带空穴所带正电荷的总数,或者说两种电荷密度的代数和必须等于零。
3.2 本征载流子浓度。本征载流子的浓度只与半导体本身能带结构以及所处的温度有关。当温度一定时,禁带宽度越窄的半导体,本征载流子浓度越大。对给定的半导体,本征载流子浓度主要决定于指数因子,所以本征载流子浓度随温度的升高而迅速增加。
参考文献:
[1]黄昆、谢希德,半导体物理学,北京:科学出版社,1961.
[2][美]施敏,黄振岗译,半导体器件物理第二版,北京:电子工业出版社,1987.
关键词: 半导体;统计;分布;载流子;导带电子;价带空穴
中图分类号:TN3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0420037-01
1 费米分布波尔兹曼分布
1.1 费米分布。半导体中的电子数目是很大量的,在某一温度下,这数目众多的电子一方面做共有化运动,另一方面又做无规则的热运动。所以,每个电子都有不同的能量状态,就对每一个电子来说其能量也是不断变化的。因此,必须从大量电子的整体来找出其各种参数的统计规律。
费米分布函数描述了热平衡状态下,在一个费米粒子系统中能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。在费米分布中,EF是一个很重要的物理参数,称为费米能级或费米能量。EF与温度、电子系统的性质有关,它可以由系统被所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于系统中电子的总数N来决定,即
∑f(Ei)=N
晶体中作共有化运动的电子的量子能态分裂成能带,能带与能带之间隔着禁带。通常对金属晶体而言,价电子只能部分地填满最外的异带,因而费米能级的位置在异带中。而半导体的价电子却填满了价带,而最外的导带是空的,其费米能级的位置在禁带的范围内,而且随着掺杂浓度以及温度的不同而改变了导带和价带的电子浓度,则改变了共有化能量状态被电子占据的概率。
1.2 波尔兹曼分布。在统计物理中波尔兹曼-麦克斯韦分布是针对非常稀薄的微粒子系统而统计得到的结果。它与费米粒子系统的最大区别是:当粒子系统中的微粒子非常稀少时,粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去了意义。也就是说,当系统粒子非常稀少时每一个量子态不存在有多于一个粒子占据的可能性,所以无需受泡利不相容原理的限制。对这样的微粒子系统一个能量为E的量子态被粒子占据的概率,由统计物理得到
这就是波尔兹曼-麦克斯韦分布函数,常称为波尔兹曼分布函数。
在费米分布函数式中,当E-Ef 〉〉k0T时,上式分母项中1就可以略去,费米分布函数就转化为波尔兹曼分布函数。在一定的温度下,能量为E的量子态被电子占据的概率由指数因子来决定。
在半导体中,导带电子和价带空穴,主要来源于本征激发和杂质电离。在含杂质浓度不是很高的情况下,通常半导体的载流子浓度也不高,无论是导带的电子或价带的空穴都可以看成是稀薄的微粒子系统。因而通常遇到的半导体,在统计载流子的分布时,适用于波尔兹曼分布。从另一角度来看,通常半导体的费米能级EF是在禁带的范围里,因为半导体的禁带宽度在1eV左右,而常温下的k0T为0.026eV。因此,EF于导带底的能量之差或与价带顶的能量之差都远大于k0T,也就是说通常半导体电子系统或空穴系统满足由费米分布函数转化为波尔兹曼分布函数的条件。通常把服从波尔兹曼统计规律的电子系统称为非简并性系统,而服从费米统计分布规律的电子系统称为简并性系统。
2 载流子浓度对费米能的依赖关系
对于给定的半导体,在给定的温度下,EF总是确定的。若已知EF,则可以求出单位体积中导带的电子浓度n和价带空穴浓度p
n=∑f(Ej),p=∑fb(Ei)
式中的求和分别对单位体积晶体中导带和价带的各状态进行。n和p都是EF的函数。向晶体中掺入施主或受主杂质,可以改变能带中的电子数量,从而改变费米能级的位置。
在这一部分中暂时不涉及在各种情形下如何确定EF,而是假定EF为已知,以求出电子浓度和空穴浓度。它们显然依赖于EF的位置。计算主要针对导带电子进行。所得结果容易推广到价带空穴。由于能带中的能级密度很高,在E到E+dE的能量间隔内包含了大量的电子状态。因此可以引入态密度g(E)来描述能带中电子状态的分布。g(E)表示在单位能量间隔内单位体积晶体中的状态数。
2.1 态密度。为了求得由k空间的态密度得到以能量为尺度的态密度g(E),必须就E-K关系作出具体假定。由于在平衡的导带中,电子绝大部分处于导带底,只需着重考察导带底附近的E-K关系和g(E)。设导带可用简单能带模型描述,即导带底在k=0,等能面为球形,并具有抛物性的E-K关系:
ε=E-Ec=h2/2mn*k2
为由导带底EC开始计算的电子能量,它代表导带电子的动能。mn为电子有效质量。容易求出动能小于ε的k空间的体积乘以2/(2π)3.动能小于ε的k空间的体积就是能量为ε的球形等能面所包围的体积,它的半径为/h。于是可得到N(ε)。
2.2 载流子密度。求得了态密度,就可以进一步计算电子浓度n。f(ε)g(ε)代表了电子按能量的分布。我们先把f中的E和EF改作以带边能量Ec作基准计算。
等效态密度NC,NV是温度的函数,随温度的增加而增加。这一方面因为温度越高载流子分布范围越宽;另一方面,温度越高,载流子分布的能量重心越高,因而态密度越大。
至此,在完全没有涉及半导体中EF的具体位置及其如何变化。只有具体知道了EF的位置及其随温度的变化,我们才能最后知道在不同温度下载流子的浓度。但到了这一步,我们还可以指出下面的一个重要结论:对于任何给定的半导体材料,在非简并情形下,不论费米能级的具体位置如何,电子空穴浓度的乘积np的温度关系是确定的。
3 本征半导体的载流子浓度
3.1 本证半导体的电中性条件和费米能级。要求得各种情况下半导体的载流子浓度,就必须知道费米能级EF所谓本征半导体就是完全没有杂质和缺陷的理想纯净和完整的半导体。当温度T=OK时,电子完全未被激发,价带中的量子态完全被填满,而导带则完全是空的。当温度T>0K,由于热涨落,就会有价带中的电子获得足够大的能量跃过禁带的宽度而进入到导带中,同时在价带中留下等量的空穴。这种价带中的电子激发到导带中去的过程称为本征激发。本征激发的一个主要特点就是,每激发一个价带的电子到导带中去,就必定在价带中留下一个空穴。已经知道,导带的电子带负电荷-q,而价带的空穴带正电荷+q。假设由于本征激发产生的导带电子浓度为n0而价带的空穴浓度为p0,不受外场的作用,半导体在任何温度下必须处于电中性状态。这就要求本征半导体导带电子所带负电荷的总数必须等于价带空穴所带正电荷的总数,或者说两种电荷密度的代数和必须等于零。
3.2 本征载流子浓度。本征载流子的浓度只与半导体本身能带结构以及所处的温度有关。当温度一定时,禁带宽度越窄的半导体,本征载流子浓度越大。对给定的半导体,本征载流子浓度主要决定于指数因子,所以本征载流子浓度随温度的升高而迅速增加。
参考文献:
[1]黄昆、谢希德,半导体物理学,北京:科学出版社,1961.
[2][美]施敏,黄振岗译,半导体器件物理第二版,北京:电子工业出版社,1987.