论文部分内容阅读
摘 要：“圆锥的体积”是苏教版数学教材六年级下册的知识内容。教材编排是以“提出猜想—实验验证—获得结论”为线索，引导学生通过实验发现圆锥体积公式。文章作者认为，教材上的实验方案过于单一，没有充分体现学生在数学学习中的主体地位，学生的创造思维没有得到充足发展。为此，文章对“圆锥的体积”的教学进行了思考、探究。
关键词：“圆锥的体积”;主体地位;思维发展
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2020-05-14 文章编号：1674-120X（2020）30-0033-02
一、实验思考
“圆锥的体积”教学采用实验法。学生在教师的引导下，用一个圆锥状容器装满水或者沙子，接着将水或沙子倒入一个与它等底等高的圆柱状容器，重复操作三次后，刚好可以装满圆柱状容器。学生回顾实验过程，推导出圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一。从实验本身来看，这样的教学是成功的，学生理解了圆锥体积的推导过程，并且学会了运用圆锥的体积公式解决简单的实际问题。但是，这样的设计着眼于知识本身和教师的预设，排斥了学生的思维和个性，忽视了学生在学习中的主体地位，忽视了学生创造思维的发展。在具体教学中，笔者思考了如下问题：
（一）学生准确的知识生长点在哪里？
教学新知识要从学生的认知实际出发，基于学生已有的知识背景和能力水平。在一般的教学中， 教师往往只注重教学生“怎样做”， 而忽略了 “为什么这样做”，造成了学生知识的片段化，学生只知结果不知起因。圆锥只由两个面构成，一个是圆形，另一个是曲面，在小学教学中比较特殊，圆锥的体积无疑是学生学习的一个难点。六年级学生此前已经学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱。要把圆锥转化成圆柱，学生应该怎样思考？有什么样的选择过程？一开始就出示等底等高的一组圆柱和圆锥，暗示两者体积的必然关系，让学生猜测他们的体积关系，然后进行实验验证，得出结论，这种实验过程没有立足学生现有的知识点，没有重视学生的想象力，思维含量太低。
（二） 如何体现学生在数学学习中的主体地位？
把握知识之间的内在联系，发挥已有知识力量，由学生主动去打通新旧知识的通道，是学生作为学习主体的有力体现。教师在教学本节内容之前，可以让学生利用不同图形之间等积转化的原则，通过切割、拼接等方式，把圆柱转化成和它等底等高的近似的长方体，观察发现圆柱和长方体各边之间的关系，推导出圆柱的体积公式。由于有对圆柱体积相关知识的记忆，学生在学习圆锥体积时很自然就会联想到等积转化。因为等底等高操作的直观、便捷性，教材直接采用不等积转化原则，把3个圆锥转化成一个和它等底等高的圆柱，通过实验发现圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一。对学生来说，前期已有的操作经验是等积转化，如何想到不等积转化的实验方案？如何在教师的指令下验证等底等高，进行3次倒水实验，得到体积公式？
二、实验实践
（一）确定实验方案
让学生回答：要研究圆锥的体积，可以把圆锥转化成学过的哪一种立体图形？
生1：把圆锥转化成长方体，长方体的体积我们学过，很好计算。
生2：我不同意，长方体的长、宽、高都不知道，没有具体的数据，没法计算。
生3：我想把圆锥转化成圆柱，因为圆锥和圆柱的底面一样，都是圆形。
生4：我同意这个想法，因为圆柱可以被削成圆锥，它们的底面积相同，高也相同。
师：同学们经过思考有了结果，都能想到利用学过的知识来解决今天的问题。那么，你准备把已知圆锥转化成什么样的圆柱呢？
小组讨论，汇报，形成了三种实验方案：
A：把圆锥转化成和它体积相等、底面积相等的圆柱。
B：把圆锥转化成和它体积相等、高相等的圆柱。
C：把圆锥转化成和它底相等、高相等的圆柱。
（二）实施实验过程
学生分组选择試验方案，实施实验。汇报时先从等积转化开始。
小组1：我们的实验方案是：体积不变，底面积不变，看看圆锥的高和转化后的圆柱的高有什么关系。选用橡皮泥材质的圆锥，为确保圆锥底面积不变，把圆锥放入一个等底的圆柱内，把圆锥从顶部向底部轻轻挤压，最后圆锥转化成和它等积等底的圆柱。测量发现：等体积等底面积的圆锥的高是圆柱高的1/3。
小组2补充：我们的实验方案和上一组一样。选择一个和圆锥等底的量杯，并在量杯里装部分水，把圆锥放入量杯（一定要把圆锥顶部朝下放置，这样方便水上涨），观察圆锥的体积等于水上升圆柱的体积。实验发现：等体积等底的圆锥的高是圆柱高的1/3。
小组3：我们的实验方案是：体积不变，高不变，看看圆锥的底面积和转化后的圆柱的底面积有什么关系。选用橡皮泥材质的圆锥做实验，把圆锥转化成圆柱。由于半径太难测量，只是感觉底面积变小了，缺乏具体数据，不能准确描述探究结果。
小组4：我们的实验方案是：底面积不变，高不变，看看圆锥的体积和转化后的圆柱的体积有什么关系。选择等底等高的一组圆锥和圆柱，用圆锥装满水倒向圆柱，倒了三次，把圆柱倒满。通过实验发现：等底等高的圆锥是圆柱体积的1/3。
生5补充：我是第4组的。我们第一次把圆锥里的水倒入等底的圆柱时，也感觉转化后圆柱的高是圆锥的1/3，即第一组发现的结果。
（三）归纳实验结论
师：通过刚才的实验过程，你们发现圆锥的体积可以怎样计算？
生6 ：我们把圆锥转化成体积相同、底面积相同的圆柱，发现圆柱的高是圆锥的1/3，所以，圆锥的体积=底面积×
（高×1/3）。
生7：我们把圆锥转化成底面积相等、高相等的圆柱，发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。所以，圆锥的体积=（底面积×高）×1/3。 生8：我根据生6和生7的总结，可以推导出圆锥的体积=（底面积×1/3）×高。
三、实验反思
（一）核心问题引领实验方案
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“教师要善于引导学生从真实的情境中发现问题，有针对性地展开讨论，提出解决问题的思路，使学生的认识逐步得到发展。”传统教材编排实验开始直接出示一个圆柱和一个圆锥，让学生观察两个图形之间底与高的关系，这样的实验方式，限制了学生的合理想象，把学生的思维直接定型在两者之间的必然联系上，阻碍了学生自主发现二者之间体积转化的可能。学生虽然发现圆锥和圆柱之间等底等高的关系，但并不知道为什么要观察这两个图形，为什么要选择等底等高这样的条件进行实验。笔者提出问题“圆锥可以转化成什么图形？”“你想把圆锥转化成什么样的圆柱？”让学生大胆想象，在讨论中发现两者之间的内在联系，最终自主选择把圆锥转化为圆柱。在核心问题的引导下，小组展开讨论，提出了三种圆锥转化成圆柱的实验方案：可以等积等底研究高的关系，可以等积等高研究底的关系，也可以等底等高研究体积的关系。
（二）高质操作保证实验结果
儿童的思维体现在手指尖上。动手操作的过程是一个手脑并用的过程，是培养技能、促进思维发展的一种有效手段。高质有效的操作能够让实验顺利进行，还能保证实验结果准确、有效。教材编排实验材料简单：沙土，等底等高的圆锥和圆柱各一个。在教学时，笔者丰富了实验材料，给学生增添了量杯、橡皮泥材质的圆锥。由于实验具有一定难度，所以组织方式采用小组合作互评互议，让学生在互帮互助中使实验顺利进行。在实验中，学生为了满足等积等高，需要缩底，尝试把圆锥的底面在桌上滚动压缩，还尝试把圆锥底部直接削去，添补在圆锥的顶部。实验的过程很费时，也没有达到学生们的预期效果。但是，经历了实验过程，学生感悟：要想等积等高，底必须缩小，至于缩小的具体关系暂时还无法测量计算。数学学习的过程不是简单地模仿数学家“旧发现”“旧创造”，而是经历一个真正的“再发现”“再创造”的过程。学生通过亲自实践，发现了两种图形之间的多种关系，学有所得，体验到了成功的快乐。
（三）全面归纳丰富实验结论
在课堂教学中，很多教师因为教学时间受限和教学任务的影响，喜欢帮助学生归纳总结，把教师认为最容易教、学生最不易出错的方法，直接归纳教给学生。这些教师觉得这样既可以节省时间，又能保证做题的正确率，让学生少走弯路。殊不知这种省时省力的做法，扼杀了学生的创造性思维。教学中让学生动手操作， 自主思考，全面归纳，是培養学生数学概括能力、提高学生思维能力的有效方法。在课堂中，笔者让每一组都把实验结果进行归纳总结，汇报交流，这样学生才理解书里编排的在“等底等高”情况下研究体积的方法只是众多实验路径之一;简单的圆锥体积公式里蕴含着丰富的内涵，1/3在公式中所处的位置不同，表达了计算圆锥体积时不同的意义。学生通过等底等高的圆锥体积是圆柱的1/3和等积等底圆锥的高是圆柱的3倍，可以推理出等积等高圆锥的底面积是圆柱的1/3。
数学家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径，都是由学生自己去发现、探索、研究，因为这样理解起来更深刻，也最容易掌握其中的规律、性质和联系”。本案例的教学设计中，教师从学生的认知发展水平和已有经验出发，对数学实验过程进行了改变，让学生自主设计实验方案，自主经历实验过程，自主总结实验结论，让学生在获得数学知识的同时，数学思维也得到了发展。
参考文献：
[1]金晓峰.构建学习平台 亲历探索过程——圆锥体积教学案例研究与反思[J].教学月刊·小学版，2007（4）：41-43.
[2]王锦秀.重视操作 激励参与[J].湖北中小学实验室，2000（2）：27.
关键词：“圆锥的体积”;主体地位;思维发展
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2020-05-14 文章编号：1674-120X（2020）30-0033-02
一、实验思考
“圆锥的体积”教学采用实验法。学生在教师的引导下，用一个圆锥状容器装满水或者沙子，接着将水或沙子倒入一个与它等底等高的圆柱状容器，重复操作三次后，刚好可以装满圆柱状容器。学生回顾实验过程，推导出圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一。从实验本身来看，这样的教学是成功的，学生理解了圆锥体积的推导过程，并且学会了运用圆锥的体积公式解决简单的实际问题。但是，这样的设计着眼于知识本身和教师的预设，排斥了学生的思维和个性，忽视了学生在学习中的主体地位，忽视了学生创造思维的发展。在具体教学中，笔者思考了如下问题：
（一）学生准确的知识生长点在哪里？
教学新知识要从学生的认知实际出发，基于学生已有的知识背景和能力水平。在一般的教学中， 教师往往只注重教学生“怎样做”， 而忽略了 “为什么这样做”，造成了学生知识的片段化，学生只知结果不知起因。圆锥只由两个面构成，一个是圆形，另一个是曲面，在小学教学中比较特殊，圆锥的体积无疑是学生学习的一个难点。六年级学生此前已经学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱。要把圆锥转化成圆柱，学生应该怎样思考？有什么样的选择过程？一开始就出示等底等高的一组圆柱和圆锥，暗示两者体积的必然关系，让学生猜测他们的体积关系，然后进行实验验证，得出结论，这种实验过程没有立足学生现有的知识点，没有重视学生的想象力，思维含量太低。
（二） 如何体现学生在数学学习中的主体地位？
把握知识之间的内在联系，发挥已有知识力量，由学生主动去打通新旧知识的通道，是学生作为学习主体的有力体现。教师在教学本节内容之前，可以让学生利用不同图形之间等积转化的原则，通过切割、拼接等方式，把圆柱转化成和它等底等高的近似的长方体，观察发现圆柱和长方体各边之间的关系，推导出圆柱的体积公式。由于有对圆柱体积相关知识的记忆，学生在学习圆锥体积时很自然就会联想到等积转化。因为等底等高操作的直观、便捷性，教材直接采用不等积转化原则，把3个圆锥转化成一个和它等底等高的圆柱，通过实验发现圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一。对学生来说，前期已有的操作经验是等积转化，如何想到不等积转化的实验方案？如何在教师的指令下验证等底等高，进行3次倒水实验，得到体积公式？
二、实验实践
（一）确定实验方案
让学生回答：要研究圆锥的体积，可以把圆锥转化成学过的哪一种立体图形？
生1：把圆锥转化成长方体，长方体的体积我们学过，很好计算。
生2：我不同意，长方体的长、宽、高都不知道，没有具体的数据，没法计算。
生3：我想把圆锥转化成圆柱，因为圆锥和圆柱的底面一样，都是圆形。
生4：我同意这个想法，因为圆柱可以被削成圆锥，它们的底面积相同，高也相同。
师：同学们经过思考有了结果，都能想到利用学过的知识来解决今天的问题。那么，你准备把已知圆锥转化成什么样的圆柱呢？
小组讨论，汇报，形成了三种实验方案：
A：把圆锥转化成和它体积相等、底面积相等的圆柱。
B：把圆锥转化成和它体积相等、高相等的圆柱。
C：把圆锥转化成和它底相等、高相等的圆柱。
（二）实施实验过程
学生分组选择試验方案，实施实验。汇报时先从等积转化开始。
小组1：我们的实验方案是：体积不变，底面积不变，看看圆锥的高和转化后的圆柱的高有什么关系。选用橡皮泥材质的圆锥，为确保圆锥底面积不变，把圆锥放入一个等底的圆柱内，把圆锥从顶部向底部轻轻挤压，最后圆锥转化成和它等积等底的圆柱。测量发现：等体积等底面积的圆锥的高是圆柱高的1/3。
小组2补充：我们的实验方案和上一组一样。选择一个和圆锥等底的量杯，并在量杯里装部分水，把圆锥放入量杯（一定要把圆锥顶部朝下放置，这样方便水上涨），观察圆锥的体积等于水上升圆柱的体积。实验发现：等体积等底的圆锥的高是圆柱高的1/3。
小组3：我们的实验方案是：体积不变，高不变，看看圆锥的底面积和转化后的圆柱的底面积有什么关系。选用橡皮泥材质的圆锥做实验，把圆锥转化成圆柱。由于半径太难测量，只是感觉底面积变小了，缺乏具体数据，不能准确描述探究结果。
小组4：我们的实验方案是：底面积不变，高不变，看看圆锥的体积和转化后的圆柱的体积有什么关系。选择等底等高的一组圆锥和圆柱，用圆锥装满水倒向圆柱，倒了三次，把圆柱倒满。通过实验发现：等底等高的圆锥是圆柱体积的1/3。
生5补充：我是第4组的。我们第一次把圆锥里的水倒入等底的圆柱时，也感觉转化后圆柱的高是圆锥的1/3，即第一组发现的结果。
（三）归纳实验结论
师：通过刚才的实验过程，你们发现圆锥的体积可以怎样计算？
生6 ：我们把圆锥转化成体积相同、底面积相同的圆柱，发现圆柱的高是圆锥的1/3，所以，圆锥的体积=底面积×
（高×1/3）。
生7：我们把圆锥转化成底面积相等、高相等的圆柱，发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。所以，圆锥的体积=（底面积×高）×1/3。 生8：我根据生6和生7的总结，可以推导出圆锥的体积=（底面积×1/3）×高。
三、实验反思
（一）核心问题引领实验方案
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“教师要善于引导学生从真实的情境中发现问题，有针对性地展开讨论，提出解决问题的思路，使学生的认识逐步得到发展。”传统教材编排实验开始直接出示一个圆柱和一个圆锥，让学生观察两个图形之间底与高的关系，这样的实验方式，限制了学生的合理想象，把学生的思维直接定型在两者之间的必然联系上，阻碍了学生自主发现二者之间体积转化的可能。学生虽然发现圆锥和圆柱之间等底等高的关系，但并不知道为什么要观察这两个图形，为什么要选择等底等高这样的条件进行实验。笔者提出问题“圆锥可以转化成什么图形？”“你想把圆锥转化成什么样的圆柱？”让学生大胆想象，在讨论中发现两者之间的内在联系，最终自主选择把圆锥转化为圆柱。在核心问题的引导下，小组展开讨论，提出了三种圆锥转化成圆柱的实验方案：可以等积等底研究高的关系，可以等积等高研究底的关系，也可以等底等高研究体积的关系。
（二）高质操作保证实验结果
儿童的思维体现在手指尖上。动手操作的过程是一个手脑并用的过程，是培养技能、促进思维发展的一种有效手段。高质有效的操作能够让实验顺利进行，还能保证实验结果准确、有效。教材编排实验材料简单：沙土，等底等高的圆锥和圆柱各一个。在教学时，笔者丰富了实验材料，给学生增添了量杯、橡皮泥材质的圆锥。由于实验具有一定难度，所以组织方式采用小组合作互评互议，让学生在互帮互助中使实验顺利进行。在实验中，学生为了满足等积等高，需要缩底，尝试把圆锥的底面在桌上滚动压缩，还尝试把圆锥底部直接削去，添补在圆锥的顶部。实验的过程很费时，也没有达到学生们的预期效果。但是，经历了实验过程，学生感悟：要想等积等高，底必须缩小，至于缩小的具体关系暂时还无法测量计算。数学学习的过程不是简单地模仿数学家“旧发现”“旧创造”，而是经历一个真正的“再发现”“再创造”的过程。学生通过亲自实践，发现了两种图形之间的多种关系，学有所得，体验到了成功的快乐。
（三）全面归纳丰富实验结论
在课堂教学中，很多教师因为教学时间受限和教学任务的影响，喜欢帮助学生归纳总结，把教师认为最容易教、学生最不易出错的方法，直接归纳教给学生。这些教师觉得这样既可以节省时间，又能保证做题的正确率，让学生少走弯路。殊不知这种省时省力的做法，扼杀了学生的创造性思维。教学中让学生动手操作， 自主思考，全面归纳，是培養学生数学概括能力、提高学生思维能力的有效方法。在课堂中，笔者让每一组都把实验结果进行归纳总结，汇报交流，这样学生才理解书里编排的在“等底等高”情况下研究体积的方法只是众多实验路径之一;简单的圆锥体积公式里蕴含着丰富的内涵，1/3在公式中所处的位置不同，表达了计算圆锥体积时不同的意义。学生通过等底等高的圆锥体积是圆柱的1/3和等积等底圆锥的高是圆柱的3倍，可以推理出等积等高圆锥的底面积是圆柱的1/3。
数学家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径，都是由学生自己去发现、探索、研究，因为这样理解起来更深刻，也最容易掌握其中的规律、性质和联系”。本案例的教学设计中，教师从学生的认知发展水平和已有经验出发，对数学实验过程进行了改变，让学生自主设计实验方案，自主经历实验过程，自主总结实验结论，让学生在获得数学知识的同时，数学思维也得到了发展。
参考文献：
[1]金晓峰.构建学习平台 亲历探索过程——圆锥体积教学案例研究与反思[J].教学月刊·小学版，2007（4）：41-43.
[2]王锦秀.重视操作 激励参与[J].湖北中小学实验室，2000（2）：27.