可分组3-平衡设计:理论及应用

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可分组t-平衡设计在组合设计理论中有着极其重要的作用,并且被广泛应用于诸多领域。当t=2时,可分组设计是当年组合设计理论奠基人Wilson和Hanani在构造成对平衡设计时所用的递归构造中不可缺少的组成部分。这些设计已被广泛研究。Hanani于1963年第一次提出了两类t=3时的可分组设计,即烛台型设计和可分组3-设计。1994年,Hartman对t=3时的可分组设计给出了更全面的解释说明,使其适用于推广的Wilson(和Hanani)基本构造,并用来构造3-平衡设计。其中可分组3-设计(下面称H-设计)在这个推广的基本构造中起到了重要的作用。斯坦纳四元系是一类特殊的H-设计,有关斯坦纳四元系的研究可追溯到19世纪40年代。直到20世纪60年代,才由Hanani给出这类设计的存在性的两个完整证明。虽然Lenz(于1985年)和Hartman(于1994年)分别给出了它们的简化证明,但现已知的证明仍很繁琐。可分解的斯坦纳四元系,即每个组的大小都是1的可分解H-设计的存在性问题已经彻底解决。该工作是由Hartman,季利均和朱烈共同完成的,前后持续了二十年之久。到目前为止,可分解H-设计的一般存在性问题并没有新的结果。本文在第二、三章中不仅给出了斯坦纳四元系和可分解的斯坦纳四元系存在性的另一种证明,而且几乎彻底解决了可分解H-设计的存在性问题,并构造了一些型不一致H-设计的无穷类。由可分解H-设计的存在性结果,第二章还给出了另一类t=3时的可分组设计,即可分解G-设计存在的充分必要条件,并顺便解决了最大可分解填充,最小可分解覆盖和一类一致可分解3-平衡设计的存在性问题,证明了这些设计存在的必要条件也是充分的。作为3-平衡设计理论的应用,本文研究了组合群试和光纤网络领域中的两个公开问题。第四章彻底解决了由Jimbo等人提出的斯坦纳四元系的区组序列问题。该序列的元素和相邻并的集合所构成的码具有很好的纠错能力。在DNA实验室,这类序列被广泛应用于具有连续阳性显示的可纠错的组合群试中。第五章对于波分复用(WDM)光纤网络中最优容错路的设计进行了研究,成功地将最优容错路的设计问题转化为一类具有特殊性质的(?)-设计的大集问题。利用3-平衡设计理论和可划分烛台型设计,本章几乎解决了整个最优容错路设计问题的三分之一。
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