许多实际的物理问题的求解都要归结为求微分方程的解，解的存在性问题有许多种研究方法，如：不动点方法、拓扑度方法等，而变分法已经得到了越来越多学者的关注与应用．17世纪后期，数学家们(他们也是物理学家)在探讨用微积分解决更多物理问题中发现了一些新的数学问题，如微分方程问题，变分问题等(见[37])．历史上第一个变分问题是由牛顿提出并解决的，他在巨著《自然哲学的数学原理》研究了在轴向以常速度运动而使运动阻力最小的旋转曲面必须具有的形状．1696年Johann Bernoulli在《教师学报》上提出了著名的最速降线问题，引起了许多数学家的兴趣；后来，Newton，Leibniz，Johann Bernoulli以及他的哥哥JamesBernoulli得到了正确的解答．因此，Johann Bernoulli常被认为是变分法的发明者．到了18世纪，Euler，Lagrange等人的工作，逐渐形成了一个解决数学物理问题的数学分支一一变分法． 所谓变分法就是把求方程的解归结为求对应泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题．极小极大方法是变分学中的一个重要的方法．应用极小极大方法研究椭圆偏微分方程的解的存在性时，可以用山路引理讨论非平凡解的存在性，它是1973年由Ambrosetti A.与Rabinowitz P.H.得出的(见[3])，它形象地说明，从盆地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉的最低点越过，这个最低点就是泛函的一个临界点．山路引理以及各种山路定理的建立，特别是它们在非线性微分方程各种问题的应用中取得了许多很有意义的新结果，吸引了不少的数学家从事临界点理论的研究，从而使临界点理论及其应用的成果在近20多年取得了重大的进展．山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是一个很有用的定理．除了山路引理外还有环绕定理等都是研究解的存在性的重要定理．在研究方程多解性的时候，常常用到对称山路引理、喷泉定理、还有指标理论等．但是在研究微分方程解的时候需要一个很重要的条件，那就是(PS)c条件，这个紧性条件足应用上述的定理所不可缺少的基本条件． 根据Sobolev嵌入定理，当Ω是RN中的有界区域时，嵌入映射W10p(Ω)→Lq(Ω)在1≤q0，2*(s)=2(N-s)/N-2,0≤s<2，0≤μ<-μ:=(N2-2/2)2，-μ是Hardy不等式C∫RNu2/｜x｜2dx≤∫RN｜△u｜2dx中的最佳常数，，满足(H1)f ∈C(-Ω×R，R)，且存在σ>0，当00；(H2)lim｜t｜→∞f(x，t)/(｜t｜2*(t)-2t)=0，对A X ∈Ω一致成立．同时我们还考虑了一类带临界Sobolev指数的椭圆系统其中ΩС RN是—个有界的光滑区域，F:Ω×R×R→R，(x，s，t)→ F(x，s，t)，Fx=F/s，Ft=F/t，2*=2N/N-2为临界Sobolev指数，F满足下列条件：(F1)F ∈C1(-ΩX R2，R+)，这里R+={x ∈R ｜x>0}．(F2)存在C1>0，2<Υ<2*使得｜Fs(x，s，t)｜+｜Ft(x，s，t)｜≤C1(｜s｜Υ-1+｜t｜Υ-1)．(F3)存在2<μ≤Υ使得对任意(x，s，t)∈-Ω×R2，有0<μF(x，s，t)≤ sFs(x，s，t)+tFt(x，s，t)． (F4)存在k0>1，0<ζ<1/N/2｜Ω｜-1使得对任意(x，s，t)∈-Ω×R2，有F(x,s,t)＞F(x，0，t)≥λk0/2t2-ζ-1/2t2*．其中λk0幻是H10(Ω)上特征值问题-△u=λu的第k0个特征值,S是Sobolev不等式中的最佳常数，｜Ω｜=∫Ω1dx．(F5)F(x，s，t)=F(x，-s，-t)．另外本文还考虑了一类带权重临界Sobolev指数的椭圆方程其中ΩС RN包含原点的有界光滑区域，0≤μ<(√-μ-α)2，-μ：=(N-2/2)2，0 ≤a<√-μ，a≤b0，对Aλ∈(0，λ*)，问题(P1)有一个非平凡弱解uλ∈H10(Ω)，且满足lim‖uλ‖=0． 第四章，用极限指标理论讨论了(P2)，我们得到的结论是，若F满足(F1)-(F5)，则问题(P2)所对应的能量泛函f有k0-1个临界值满足0