图像修复、压缩感知与机器学习等科学计算领域中的一些问题常化成带线性等式约束的可分裂凸规划问题,同时在通信系统、控制系统、电力系统、信号处理等工程应用中的一些问题也可以化成广义周期Sylvester矩阵方程。本文主要讨论求解这两类问题的迭代算法,同时分析算法的收敛性质,并通过数值仿真验证所设计算法的有效性。全文共分八章。第一章简要介绍两类问题的研究背景、研究现状及本文的研究内容。通过回顾带线性等式约束的可分裂凸规划与广义周期Sylvester矩阵方程的迭代算法的研究现状,给出了论文中涉及的一些概念、性质,同时证明了一些相关的定理与结论。第二章研究带线性等式约束的凸规划的迭代算法。首先,利用梯度上升法求解该问题的对偶问题,我们可以得到经典的增广拉格朗日方法。为进一步降低该方法在每次迭代时的计算量与提高该方法的收敛速度,我们通过对原始变量对应子问题附加一个带不定正则矩阵的正则项,采取原始变量对应子问题的最优解与目前迭代点的凸组合对该方法进行了改进,提出了一个加速的增广拉格朗日方法。在通常的假设条件下,我们证明了改进方法在点列意义下具有O（1/t2）收敛速度,其中t是一个正整数。同时我们用改进方法求解压缩感知问题,给出了初步的数值实验结果。第三章研究带线性等式约束的两块可分裂凸规划的迭代算法。广义交替方向法的第二个原始变量与拉格朗日乘子的迭代公式中都包含了一个共同的松弛因子α∈（0,2）,数值实验表明当α∈（1,2）时,它的数值效果往往比经典的交替方向法的数值效果好。在本章中,我们给出了一个对称的广义交替方向法,该方法最大的特点是所有变量的迭代公式中都包含了松弛因子,而且松弛因子的取值范围变成了无穷区间[1,+∞)。在通常的假设条件下,我们证明了新方法的收敛结果,包括全局收敛性、遍历意义与点列意义下的O（1/t）收敛速度。同时我们将改进方法与近似交替方向应用到求解压缩感知问题,给出了数值实验结果。实验结果表明当松弛因子取合适值时,在迭代次数和运行时间方面,改进方法的表现优于经典的近似交替方向法。第四章继续研究带线性等式约束的两块可分裂凸规划的迭代算法。由于在每次迭代时两次更新拉格朗日乘子,对称交替方向法的数值表现经常优于其它类型的交替方向法。在实际应用中,人们经常给它的子问题添加带正则矩阵的正则项来降低子问题的求解难度。在本章中,我们将正则矩阵从正定矩阵推广到不定矩阵,提出了一类求解两块可分裂凸规划的带不定正则矩阵的对称交替方向法。在通常的假设条件下,我们证明了新方法的全局收敛性和在遍历意义下的O（1/t）收敛速度。数值实验表明表明不定正则矩阵经常可以提高相应算法的数值效率。第五章研究带线性等式约束的多块可分裂凸规划的迭代算法。基于经典的交替方向法,我们给出了两种近似分裂方法。第一类近似分裂方法充分利用所研究问题的可分裂结构,每次迭代时采用并行策略来更新所有的原始变量。当所研究问题的目标函数是强凸函数时,我们证明了该近似分裂方法的全局收敛性及在点列意义下的O（1/t）收敛速度。第二类近似分裂方法在每次迭代时第一个原始变量与后面的m-1个原始变量之间采用交替更新策略,而后面的m-1个原始变量内采用并行更新策略。当所研究问题的目标函数是凸函数时,我们证明了该近似分裂方法的全局收敛性,同时我们证明了其在遍历意义与点列意义下的O（1/t）收敛速度。最后,我们还将该近似分裂方法应用到稳定主成分分析问题,给出了一些数值结果来验证该方法的有效性及与同类方法相比的数值优势。第六章继续研究带线性等式约束的多块可分裂凸规划的迭代算法。本章提出了一类部分并行的近似交替方向法。相比于求解该问题的其它类型的交替方向法,新方法有如下两个特点:（1）正则参数的取值范围变大了;（2）松弛参数γ只附加在了对偶变量λ的迭代公式中。在通常的条件下,我们证明了新方法的全局收敛性及在遍历意义下的O（1/t）收敛速度。最后,我们给出三组数值实验,通过数值对比来验证新方法的数值优势。第七章研究求解广义周期Sylvester矩阵方程的共轭梯度法。本章提出了两类共轭梯度法。当所研究的问题相容时,第一类共轭梯度法可以在有限迭代步内求出其解（不考虑舍入误差）,而且如果选取特殊的初始点,该方法也可以求出其最小Frobenius范数解。当所研究的问题不相容时,第二类共轭梯度法可以在有限步内求出其Frobenius范数意义下的最小二乘解（不考虑舍入误差）。最后,我们给出了一些数值实验来验证所提方法的有效性。第八章,我们简要概括了本文的研究内容,同时也指出了以后研究工作的方向。