本文研究的内容分别涉及到非负矩阵和算子方程的有关内容。非负矩阵理论产生于20世纪初,随着这一理论的迅速发展,现在已成为现代数学中的一个重要分支。它与物理学,线性系统,经济学和概率统计甚至社会科学以及其他一些数学分支都有着密切联系。近年来,国内外诸多学者对非负矩阵理论深入研究和推广,并不断提出与非负矩阵相关的诸多新的研究方向。例如,完全正矩阵,完全负矩阵,余正矩阵等概念先后被引入,目前这些有关非负矩阵的课题得到了相当广泛的研究。 算子方程历来是数学研究中较活跃的分支之一。对于算子方程,人们较多关注的是算子方程的求解问题以及方程解的性质等。这些对于解决实际问题有很重要的意义。 本文共分四章,具体内容如下: 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,定义和以后各章要用到的一些定理等。第一节介绍了不可约非负矩阵,置换矩阵,外围谱,谱子集及有界线性算子等概念。第二节主要给出一些熟知的定理。如著名的Perron-Frobenious定理等。 第二章首先给出了具有Perron-Frobenious性质的矩阵的刻画,即;若A∈R^n×n,则下列性质等价。（ⅰ）A和A^T具有强的Perron-Frobenius性质;（ⅱ）A是最终正的;（ⅲ）A^T是最终正的。其次,讨论了上述矩阵中类似于不可约非负矩阵的一些性质。最后讨论了具有Perron-Frobenious性质的矩阵的扰动问题。 第三章首先对完全正矩阵进行了讨论,得到双非负矩阵是完全正矩阵的一个充要条件,即:设A=(a_ij)∈DNN_n,如果A=T^TT,那么A∈CP_n当且仅当存在m个非零向量x₁,…,x_m∈S_T^*使得下式成立:x₁x₁^T+x₂x₂^T+…+x_mx_m^T=I_k,其中,T是k×n（k=rank（A））实矩阵。其次,给出一定条件下,A=Aⁿ的充要条件,其中A是可约非负矩阵。即:若A≥0是可约的且r（A）=1,则A-Aⁿ=0当且仅当存在一个置换矩阵P使得下式成立: