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在这篇论文中，我们主要研究一类二阶非线性微分方程Sturm-Liouville边值问题{-u"(t)=f(t，u(t))，t∈[0，1]，u(0)=u(0)，(1.1.1)u(1)=-u(1)解的存在性与多重性，其中f∈C（[0，1]×R1，R1）. 论文分四章对它进行讨论.在第一章中，我们通过构造一种新的控制函数ψ，ψ，并对它们及f做一些适当的限制后，在锥中应用上，下解方法，得到边值问题(1.1.1)的一个，两个，及多个正解.在方法上，与以往一些作者常采用锥上的不动点理论或单调迭代方法来研究该边值问题有不同之处. 在第二章中，我们先用K的平方根算子K1/2把方程(1.1.1)转化成L2[0，1]中的泛函，再用Morse理论来讨论，得到边值问题(1.1.1)的两个非平凡解的存在性定理.对于该方法，已有不少作者作了应用，但主要以椭圆型边值问题为例，如[1，2，3].在[1，2]中，作者用变分方法把方程转化到H10(Ω)中的泛函,在[3]中则用了Morse理论，他们都得到了比用传统的拓扑度理论如[4，5，6，7，8]更好的解的存在性结果. 在第三，四章中，我们用f(u(t))来代替f(t，u(t)），研究在此情况下问题(1.1.1)解的存在性.具体来说，在第三章中，我们把一个抽象的已知结论做了一个应用，得到了该问题的一个变号解. 在第四章中，我们利用第三章的结论得到问题的三个非平凡解（一个正解，一个负解，一个变号解）的存在性. 下面，我们对本文的主要结果具体阐述如下. 在第一章中，我们主要讨论当f∈C([0,1]×R1+，R1+)，R1+=[0，+∞]时，边值问题(1.1.1)正解的存在性.为此我们先给出两条件: (H1)对任给r＞0，存在Mr＞0，使得当t∈[0，1]，0≤u1≤u2≤r时,有f(t,u2)-f(t,u1)≥-Mr(u2-u1); (H2)设存在M＞0，使得f(t, u2)-f(t，u1)≥-M(u2-u1)，t∈[0，1]，0≤u1＜u2. 则有以下主要结论: 定理1.1.1假设(H1)和下面条件满足: (H3)存在正数a，b且a＞b，使得ψ(a)＜a/A，ψ(b)＞b/A. 则边值问题(1.1.1)有一个正解u*∈K，且σb＜u*＜a. 定理1.1.2假设(H2)和下面条件满足: (H4)存在正数a,b，c且a＞b＞c，使得ψ(a)＜a/A，ψ(b)＞b/A，ψ(c)＜c/A. 则边值问题(1.1.1)有两个正解u*1，u*2∈K. 定理1.1.3假设(H2)和下面条件满足: (H5)存在2n-1个正数a1，a2，…，an, b1，b2，…，bn-1且a1＞b1＞a2＞…＞bn-1＞an，使得ψ（ai）＜ai/A,ψ(bi)＞bi/A，i=1，2,…，n-1，ψ(an)＜an/A. 则边值问题(1.1.1)有n个正解u*i∈K,i=1，2，…，n. 在第二章中，对边值问题(1.1.1)主要结论如下: 定理2.1.1设f满足条件: (A1)f(t,0)=0,t∈[0,1]; (A2)存在a∈（0，λ1/2），使得lim sup x→∞ F(t，x)/x2＜a，关于t∈[0，1]一致成立，其中F(t,x)=∫x0 f(t，y)dy，(t,x)∈[0,1]×R1; (A3) lim sup x→0 f(t，x)/x＜λn+1，关于t∈[0，1]一致的成立; (A4) F(t，x)≥λnx2/2，对所有的(t，x)∈[0，1]×R1成立. 则边值问题(1.1.1)至少有三个不同的解. 在第三，第四章中我们分别有以下结论: 定理3.3.1假设下面条件成立: (H1)f:R→R连续且严格增，且f(0)=0; (H2) lim u→0 f(u)/u=γ，且存在正整数n0，使得λ2n0＜γ＜λ2n0+1; (H3) lim u→-∞ f(u)/u＜36/13. 则边值问题(3.1.1)至少有一个变号解. 定理4.3.1假设下面条件成立: (H1)f:R→R连续且严格增，且f(0)=0; (H2)limu→0 f(u)/u=γ，且存在正整数n0，使得λ2n0＜γ＜λ2n0+1; (H3) lim u→∞ f(u)/u＜λ1. 则边值问题(4.1.1)至少有一个正解，一个负解，一个变号解.