图G的积和多项式由Merris等和Kasum等分别在数学和化学中几乎同时引入,它通过矩阵xI-A（G）的积和式（permanent）来定义,其中I和A（G）分别是单位矩阵和G的邻接矩阵.但Valiant证明了矩阵的积和式的计算是个轷P-完全问题.刻画哪些图类由其谱唯一确定是图谱理论中一个经典问题.van Dam和Haemers系统地研究了该问题,并猜想几乎所有的图都是邻接谱确定的.图的积和多项式的所有根（包含其重数）构成的重集称为图的积和谱Merris等首次提出了积和谱刻画问题,即什么样的图是积和谱确定的?图G是积和谱确定的是指任意与G有相同积和谱的图H,必有H同构于G.此外,他们认为除树外图的积和谱区分图比邻接谱要好一些.最近,柳顺义和张和平开始探讨了一些图类是否是积和谱确定的,证明了星图、完全图、完全正则二部图和奇圈是积和谱确定的.结果表明邻接谱确定的图不一定是积和谱确定的.两个图是积和同谱的是指它们有相同的积和谱.Borowiecki和Jozwiak最早考虑了积和同谱图的构造问题,主要探讨了哪些图对既是积和同谱的又是邻接同谱的.本文中,我们对图的积和谱刻画问题做了系统的研究.证明了完全图删一些边所得子图是积和谱确定的.特别地,我们引入了图的积和零度的概念,即,图的积和谱中零根的数目.利用图的积和零度参数,证明了具有极值积和零度的图是积和谱确定的,并证明了完全二部图是积和谱确定的.此外,借助图的积和零度和其匹配数之间的关系,证明了平衡完全二部图删一些边所得子图是积和谱确定的.最后,我们给出了一些构造图对既是积和同谱又是邻接同谱的方法.第一章介绍了图的积和多项式的研究背景.综述了图的积和多项式和积和谱的研究进展.第二章中我们以Merris等的看法为出发点探讨了哪些完全图删除一些特殊边所得的子图是积和谱确定的.证明了完全图至多删除五条边的所有子图都是积和谱确定的.而Camara和Haemers的结果表明这类图中恰有一对不能由邻接谱所确定.此外,还证明了完全图删一个星,一个匹配以及一个匹配和路P3的不交并的边所得的子图是积和谱确定的.第三章进一步证明了完全图删除六条边的所有子图是积和谱确定的,并考虑了邻接谱刻画问题.发现了任意图中长为4的闭途径与其积和多项式第四个系数之间的关系,并借助于该关系拓展了Camara和Haemers的结果,证明了完全图删六条边的所有子图中仅有两对邻接同谱图,即K5-E（K4）和K5-E（B）,Kn-E（C6）和Kn-E（T2,2,2）分别是邻接同谱的,其中B是一个领结图,n≥7.第四章引入了图的积和零度的概念,并给出了它的一些基本性质.进而完全刻画了积和零度为n-2,n-3,n-4和n-5的图,其中n为图的顶点数.这些图恰好是仅有3,4,5或6个不同积和根的部分图类.利用积和零度参数,证明了积和零度为n-2,n-3,或n-5的图以及积和零度为n-4的非二部图是积和谱确定的.特别地,证明了完全二部图是积和谱确定的.第五章借助图的积和零度和匹配数之间的关系,证明了从平衡完全二部图Kp,p中删除一个星K1,l（l<p）的边所得子图是积和谱确定的.此外,还证明了Kp,p删至多五条边的所有子图中满足其匹配数等于p的图是积和谱确定的.在第六章中我们探讨了哪些图对既是积和同谱的又是邻接同谱的.给出了一个构造方法,得到了无数对森林是这样的图.此外,借助图的粘接运算,可构造了无穷多对图是积和同谱的又是邻接同谱的.最后,我们证明了图G的积和多项式的导数等于其所有删一个顶点的子图的积和多项式之和.特别地,我们讨论并解决了关于图的积和多项式的Gutman问题.